含有參數的二次函數最值問題

程國云

二次函數y=a（x-m）2+n，x∈[t，s]求最值的問題是高中數學教學中一大難點，也是高考重點考查的問題之一。一般地，解決此類問題的基本思路：根據對稱軸相對定義域區間的位置，利用分類討論思想方法。為做到分類時不重不漏，可畫對稱軸相對于定義域區間的簡圖分類。

①表示對稱軸在區間[t，s]的左側，②表示對稱軸在區間[t，s]內且靠近區間的左端點，③表示對稱軸在區間內且靠近區間的右端點，④表示對稱軸在區間[t，s]的右側。然后根據口訣“開口向上，近則小、遠則大”；“開口向下，近則大、遠則小”即可快速求出最值。

含參數的二次函數求最值的問題大致分為三種題型，無論哪種題型都圍繞著對稱軸與定義域區間的位置關系進行分類討論。

題型一：“動軸定區間”型的二次函數最值

例1 已知函數g（x）=-x2+2tx-t+1在區間[0，1]上的最大值G（t）及最小值H（t）；求最大值G（t）及最小值H（t）的表達式。

解析：g（x）=-x2+2tx-t+1=-（x-t）2+（t2-t+1），

顯然g（x）的對稱軸為x=t，

由化簡后的表達式可知g（x）的圖像開口向下，函數在對稱軸處取得最高點，則x∈[0，1]。

①若t≤0，則函數g（x）在[0，1]上遞減，故有G（t）=-t+1；H（t）=t

②若t≥1，則函數g（x）在[0，1]上遞增，故有G（t）=t；H（t）=-t+1

③若t∈[0，1]，可知當x=t時取最大值：G（t）=t2-t+1

上述為二次項系數小于0的情況，用同樣的方法還可以求二次項系數大于0的情況。

例如，已知函數g（x）=x2-2tx+t-1在區間[0，1]的最大值G（t）及最小值H（t），求最大值G（t）及最小值H（t）的表達式。在這里就不詳解了。

評注：此類題屬于“動軸定區間”型的二次函數最值，解決此類問題的關鍵是討論對稱軸相對于定義域區間的位置，討論時做到不重不漏。

題型二：“動區間定軸”型的二次函數最值

例2 求函數f（x）=x2-2x+3在x∈[k，k+2]上的最值。

解：f（x）=x2-2x+3=（x-1）2+2

∴此函數圖像開口向上，對稱軸x=1

①當k>1時，k距對稱軸x=1最近，k+2距x=1最遠，

∴當x=k時，ymin=-k2+3，x=k+2時，ymax=k2+2k+3

②當0

∴當x=1時，ymin=2，x=k+2時，ymax=k2+2k+3

③當-1

∴當x=1時，ymin=2，x=k時，ymax=k2-2k+3

④當k≤-1時，k+2距對稱軸x=1最近，k距x=1最遠，

∴當x=k+2時，ymin=k2+2k+3；x=k時，ymax=k2-2k+3

評注：此題屬于“動軸動區間”型的二次函數最值，解決的關鍵是討論對稱軸與定義域區間的位置更便于我們分類討論，然后依據口訣，很快就可解決問題。

最后，我們在用分類討論方法解題中要注意兩個原則：一是分類不重不漏；二是一次分類只能按已確定的同一標準進行。