振動落砂機系統的擬周期碰撞設計

伍新　文桂林　何莉萍　徐慧東　魏克湘

摘要：首先建立了落砂機系統周期運動的Poincaré映射，考慮到在設計過程中經典的Neimark_Sacker分岔臨界準則需要直接計算特征值帶來的局限性，利用不直接依賴于特征值計算的顯式臨界準則，獲得了系統發生Neimark-Sacker分岔的兩參數區域圖，所獲得的參數區域圖有助于主動設計系統的擬周期碰撞運動。然后應用中心流形正則形方法進一步分析了擬周期碰撞運動的穩定性。最后數值仿真表明在選定的系統參數處能產生穩定的擬周期碰撞運動。

關鍵詞：落砂機；沖擊振動；Neimark-Sacker分岔；擬周期碰撞運動；穩定性

中圖分類號：0322；TB123 文獻標識碼：A

碰撞振動在實際工程領域中普遍存在，由于碰撞和沖擊過程中固有的不連續性造成的強非線性，使得系統的動力學響應十分復雜多變，產生豐富的非線性現象，如分岔和混沌現象等。

振動落砂機是一種利用碰撞振動原理對砂箱進行落砂的機械設備。這種周期碰撞的機械設備工作頻率單一，導致生產效率低、能耗高。而擬周期碰撞是典型的非線性振動，與簡單的周期碰撞相比，擬周期碰撞具有多頻性，以及振動加振蕩之復式激振品質，可提高系統的功能和效率，同時又沒有混沌運動的不可預測性和初始條件敏感性，該特性在實際工程領域具有應用潛力，能有效解決上述存在的一些缺陷。

近來，國內外一些學者對振動落砂機系統非線性特性開展了理論和數值模擬分析。羅冠煒等通過理論分析和數值仿真揭示了振動落砂機周期運動經概周期分岔和倍周期分岔通向混沌的演化過程。丁旺才等使用中心流形范式方法研究了振動落砂機系統在強共振下的兩參數開折的局部動力學行為并通過數值仿真進一步揭示了系統共振點附近的Hopf分岔不變環面和次諧分岔4-4周期運動。

隨著分岔理論和非線性動力學設計方法的發展，人們開始關注如何主動利用分岔特性來提高系統的功能與效率，通過主動選擇系統的參數來設計出具有所期望特性的分岔解。然而上述文獻中對振動落砂機系統的非線性現象的研究大部分是基于特征值的特性來描述的傳統的分岔準則。對于一個四維多參數的落砂機碰撞振動系統，如果按照傳統的Hopf分岔臨界準則，逐點試算特征值是否滿足分岔的存在條件，這對于通過設計來主動實現分岔解具有一定的局限性。針對傳統分岔準則的不足，文桂林等提出了新的離散系統Hopf分岔準則，建立的Hopf分岔準則是由一些系統參數構成的代數等式和不等式組成的顯式分岔臨界準則，并不依賴于特征值的計算，這更適合分岔參數機理分析和設計。

本文以振動落砂機系統為研究對象，針對傳統的映射Hopf分岔臨界準則在主動設計方面存在的局限性，基于Neimark-Sacker分岔（二次Hopf分岔）理論，使用不直接依賴于特征值計算的顯式臨界準則來設計系統的參數，使其產生擬周期碰撞運動。然后，應用中心流形一正則形方法來分析擬周期碰撞運動的穩定性。最后，通過選取適當的系統參數，數值實現了系統穩定的擬周期碰撞運動。

1 力學模型及其運動方程

對于振動落砂機系統的設計，僅考慮垂直方向振動，將振動落砂機系統簡化為圖1所示的兩自由度的質量彈簧阻尼器系統。其中，質量塊M，m分別表示質量為M的振動基座和質量為m的砂箱（包括型砂和鑄件），振動基座和基礎之間用剛度為K的線性彈簧和阻尼系數為C的阻尼器連接，振動基座受到簡諧力Fsin（ωt+δ）的作用。圖中X，Y分別表示基座和砂箱的位移。砂箱和基座不發生碰撞時，砂箱只受重力作用，當基座和砂箱位移相同即X=y，并且相對速度不為零時，它們會發生垂直方向的正碰。為了方便計算，振動落砂機系統采用文獻中的無量綱運動微分方程來描述：

無量綱方程中的“·”表示對無量綱θ求導數，R表示碰撞恢復系數。

2 振動落砂機系統周期運動的Poincaré映射

由無量綱方程（1）和（2）可知，在系統未發生碰撞時，基座和砂箱會遵循方程（1）做連續運動。當發生碰撞時，基座和砂箱的速度會遵循沖擊方程（2）發生突變，得到下一次做連續運動的初始值，因此系統會進行碰撞、連續運動、再碰撞的循環運動。為了使系統產生Neimark-Sacker分岔，求得一個周期沖擊運動。其無碰撞部分的解析表達式如下：

3 振動落砂機系統的擬周期碰撞運動

3.1 振動落砂機系統Neimark-Sacker分岔的顯式臨界條件

為了設計出振動落砂機系統擬周期碰撞運動，主要任務就是確定適當的系統參數，使系統（11）發生Neimark-Sacker分岔。如果采用傳統的分岔臨界準則，需要在參數空間內通過逐點取值來計算和驗證系統的特征值是否滿足Neimark-Sacker分岔的臨界準則，這種數值搜尋的方法具有一定的盲目性和不確定性，非常耗時。另外，雖然可以采用極點配置方法找到滿足特征值分布條件的系統參數點，但該方法也是先確定特征值后再確定參數，確定的參數對于系統仍存在機理不明確問題。特別是對于橫截條件，由于需要求特征值對分岔參數的導數，極點配置方法無法解決。因此為了克服傳統分岔臨界準則的局限性，本文采用不直接依賴于特征值計算的映射Neimark-Sacker分岔的顯式臨界條件來獲得系統參數。

設映射（11）的一個不動點為X^*=（x^*，x^*，y^*，τ^*）^T，在不動點處映射（11）的線性化矩陣的特征多項式為：

這里選取μ=（ρ，β），a_i=a_i（ρ，β）是與分岔參數ρ和β有關的實數，i=1，…，4。針對建立的振動落砂機系統周期運動的Poincaré映射（11），有如下的引理。其中條件（Ⅰ）保證有一對復共軛特征值位于單位圓上；條件（Ⅱ）保證其它的特征值位于單位圓內；條件（Ⅲ）保證映射不動點是合理存在的；條件（Ⅳ）保證在參數擾動下，位于單位圓上的特征值穿越單位圓的速度不為零；條件（Ⅴ）保證Neimark-Sacker分岔是非共振的。

3.2 振動落砂機系統Neimark-Sacker分岔的存在性

選取落砂機系統的參數ζ=0.2，R=0.85，z=2.8，以ρ和β為分岔參數（即μ=（ρ，β））。在（ρ，β）張成的一個二維的參數空間內，根據引理1中的顯式條件，利用Maple軟件得到如圖2所示的兩參數分岔圖。

圖2中白色區域Ⅰ和Ⅱ內的點都滿足引理1的條件（Ⅱ）-（Ⅲ）中的不等式，但在灰色區域Ⅲ和Ⅳ中至少有一個條件（Ⅱ）和（Ⅲ）中的不等式不成立。由曲線EA，AB，BC，CD和DE圍成的白色區域工除了滿足條件（Ⅱ）-（Ⅲ）還滿足△>0，因此白色區域工為系統周期運動的穩定參數區域。曲線DE是由臨界條件（Ⅰ）中的△=0得到，曲線DE上由條件（Ⅴ）得到的點R₃和R₄分別為系統出現3階和4階強共振點。點劃線l和m由橫截條件（Ⅳ）不等式左邊的表達式取等號得到的，這樣兩曲線l和m和曲線DE的交點T₁和T₂不滿足Neimark-Sacker分岔的橫截條件（Ⅳ）。由此在選取系統參數臨界點時應該避開這些強共振點和非橫截點。在由曲線DE，EF，FG和GD圍成的白色區域Ⅱ內，在曲線DE的附近是出現系統擬周期碰撞運動的潛在區域。為了分析分岔解的穩定性，在分岔圖的白色區域內的Neimark-Sacker分岔臨界曲線DE上任取一點μ₀=（ρ₀，β₀）=（0.6，0.95441）作為臨界分岔值。

3.3 振動落砂機系統擬周期碰撞運動的穩定性

振動落砂機系統出現的擬周期碰撞運動的穩定性，也即Neimark-Sacker分岔解（不變圈）的穩定性取決于映射（11）的非線性項。采用中心流形范式方法或者頻域方法都可以分析Neimark-Sacker分岔的穩定性。本文使用投影法來分析分岔的穩定性。

取坐標變換（13）式中的X^*為映射（11）的不動點，μ₀為臨界分岔參數值。

映射（11）經過坐標變換（13）變換成

則通過變量變換后的新映射（14）的不動點和分岔點都轉化為了零點。這樣映射（11）發生Neimark-Sacker分岔后產生的擬周期碰撞運動的穩定性可由引理2來確定。

引理2 如果在臨界分岔值μ=μ₀處，映射（14）的雅克比矩陣在分岔點v=0處有一對復共軛特征值λ₁（v）和λ₂（v）滿足|λ₁（0）|=|λ₂（0）|=1和橫截條件λⁿ₁（0）≠1，N=3，4，并且d|λ₁（N）|/dv|_v=0≠0，而其它的特征值|λ_j（0）|<1，j=3，4，那么在v=0，當α（0）<0（或α（0）>0）時，從X^*（po）分岔出穩定的（不穩定的）Hopf不變圈。其中，α（0）參見下列表達式：

根據（15）和（16），在μ=μ₀計算得到

α（0）=-0.089<0。

因此，根據引理2可判斷系統會產生一個穩定的Neimark-Sacker分岔解，即系統穩定的擬周期碰撞運動。

3.4 數值實驗

為了驗證上述理論分析和研究振動落砂機系統在分岔點附近的動力學行為，其它三個參數不變，臨界參數100不變，變化分岔參數β，在落砂機的分岔臨界點附近設置了6組參數擾動值，并做了相應的數值仿真，文中的數值仿真都采用4000次碰撞。在Poincaré映射分岔圖的白色區域Ⅰ內的分岔臨界曲線DE附近取一組分岔參數μ=μ₀+△μ=（ρ₀，β₀-0.02），其中△μ是臨界參數擾動量，設置映射初始值X=X^*+△X，其中△X=（0，0，0，0.001）^T為不動點擾動量，在該參數點處系統處于穩定的周期運動，即Poincaré映射上一個不動點，如圖3（a）所示。在Poincaré映射分岔圖的白色區域Ⅱ內并且充分接近曲線DE的參數區域內取分岔參數μ=（ρ₀，β₀+00004），在該參數點處系統處于穩定的擬周期碰撞運動，即Poincaré映射上一個不變圈，如圖3（b）所示。繼續變化分岔參數值，當取分岔參數μ=（ρ₀，β₀+0.0456）時，擬周期運動失穩，產生鎖相運動，如圖3（c）所示。當取參數μ=（ρ₀，β₀+0.046）時系統退出鎖相運動，又產生擬周期吸引不變圈，如圖3（d）所示。當取控制參數μ=（ρ₀，β₀+001）時系統產生擬周期吸引不變圈，不變圈幅值更大，如圖3（e）所示。當繼續擾動參數值至μ=（ρ₀，β₀+0.22）時系統經鎖相轉遷為混沌運動，如圖3（f）所示。通過以上仿真分析，振動落砂機系統展示出了豐富的動力學行為，在Hopf分岔臨界點附近作參數擾動，當參數擾動量足夠小的時候由Hopf分岔所產生的不變圈在形狀上類似于一個橢圓。隨著參數擾動量的增大，不變圈不斷增大，其形狀也變得越來越不規則。仿真顯示只有當系統的擾動參數很大時才發生混沌，說明系統的擬周期碰撞運動具有強的魯棒性和較大的穩定域。因此，在設計系統參數時，在白色區域Ⅱ鄰域內靠近分岔臨界曲線DE處取系統參數可以產生穩定的擬周期碰撞運動。

4 結論

1）基于主動利用Neimark-Sacker分岔解特性的思想，通過選定合適的系統參數，設計出了穩定的擬周期碰撞的振動落砂機系統。

2）利用顯式的Neimark-Sacker分岔臨界準則獲得了落砂機系統產生擬周期碰撞運動的兩參數區域圖，此參數區域具有較大的分岔可行域范圍，可保障所產生的擬周期碰撞運動具有較大的穩定域和較強的魯棒性。

3）數值分析實現了落砂機系統產生的穩定的擬周期碰撞運動并調查了附近鎖相和混沌等動力學行為。