特殊支承條件下連續箱梁橋的約束扭轉分析

朱德榮，張元海，林麗霞，王麗娟

（1. 蘭州交通大學 土木工程學院，甘肅 蘭州，730070；2. 中鐵上海設計院集團有限公司，上海，200070）

特殊支承條件下連續箱梁橋的約束扭轉分析

朱德榮1， 2，張元海1，林麗霞1，王麗娟1

（1. 蘭州交通大學 土木工程學院，甘肅 蘭州，730070；2. 中鐵上海設計院集團有限公司，上海，200070）

為了分析特殊支承連續箱梁橋的扭轉力學性能，提出一個特殊支承箱梁單元，該單元考慮軸向拉壓、豎向彎曲及約束扭轉變形。通過引入位移變換矩陣，將箱梁軸線處的位移向特殊支承點處變換，以便滿足特殊支承截面的位移約束條件。選取箱梁約束扭轉微分方程的齊次解作為單元扭轉位移函數，在初參數解的基礎上，推導箱梁單元的約束扭轉剛度矩陣。利用所提出的箱梁單元對一特殊支承3跨連續箱梁模型進行計算，其應力計算值與ANSYS殼單元計算值和實測值均吻合較好，驗證該單元的可靠性。分析特殊支承連續箱梁與相應常規箱梁在偏心荷載作用下的扭轉力學性能。研究結果表明：與常規箱梁相比，特殊支承箱梁具有更大的扭矩、雙力矩、扭轉角及廣義翹曲位移，特殊支承箱梁的內力和位移具有更加復雜的分布規律。

連續梁橋；箱形梁；約束扭轉；特殊支承；有限梁段單元

在城市高架道路和高速公路設計中，由于受到線路環境條件的限制，往往會采用特殊支承的橋梁。這種特殊支承的橋梁具有顯著的彎扭耦合受力性能，而箱形截面具有較大的抗扭剛度，故往往是特殊支承橋梁采用較多的截面形式。與常規的正交箱梁橋相比，特殊支承箱梁橋具有復雜的空間受力性能，目前對于這類橋梁受力性能研究深度還遠不如對正交橋梁性能的研究［1-3］。近年來，國內外學者對特殊支承橋梁開展研究［4-7］。徐若昌等［8］用平面梁格模擬特殊支承箱梁橋，并結合模型試驗，對各縱向梁格的內力橫向分配進行了理論分析與試驗研究。雖然梁格模擬方法可以方便地考慮特殊支承的影響，對寬橋和異形橋梁具有較好適應性，但該方法難以全面客觀地反映整體箱梁橋的扭轉力學特性。黃平明等［1， 9-10］假設特殊支承橋梁沿支承線方向具有無限大的抗彎剛度，通過建立單梁模型分析特殊支承橋梁的力學性能，對于梁的抗扭特性，他們只考慮了自由扭轉而忽略了約束扭轉的影響。王榮輝等［11］將組成閉口箱梁截面的各板件離散為板梁，在斜坐標系下建立描述各板件子單元的位移模式，提出了斜交箱梁空間分析的斜形板梁有限單元法。該法可較全面地反映斜交箱梁橋的空間受力性能，但不便于在工程實踐中應用。張謝東等［12］在矩陣位移法和傳遞矩陣法基礎上，提出了一種計算斜支承連續梁內力的矩陣混合法，但該方法尚難用于斜交箱梁橋的約束扭轉分析。空間有限元方法可以全面反映斜交箱梁橋的受力性能。蘇燕東等［13-16］借助空間有限元軟件，對斜交連續箱梁橋的應力分布和受力性能進行了計算分析，但所得到的箱梁各板件的應力結果仍不便于按基于內力的現行橋梁設計規范進行結構設計。張元海等［17-18］應用有限梁段單元分析了特殊支承連續箱梁橋的剪力滯效應。本文作者選取約束扭轉微分方程的齊次解作為箱梁單元的扭轉位移函數，導出單元扭轉剛度矩陣，并與平面梁單元的剛度矩陣相組合，通過建立特殊支承截面支點處與梁軸處的位移變換關系，提出一種特殊支承箱梁單元，并對特殊支承連續箱梁橋和相應常規支承箱梁橋的不同扭轉性能進行對比分析。

1　特殊支承箱梁單元的提出

圖1所示為特殊支承附近的箱梁簡圖，墩頂支承點C，D連線與梁軸線之間夾角的余角α為斜支承角，當α=0時，則為常規支承情況。在任一支點所在橫截面上，例如在支點D所在截面I-I上，只有支點D處梁的豎向位移為 0 mm，而梁軸處的豎向位移并不為0 mm，因此，圖1（a）中箱梁單元e1～e4均為具有特殊支承的箱梁單元。為了便于在梁段有限元分析中處理這種特殊支承條件，需將箱梁軸線處的各位移向支點處變換。圖1（b）中：梁軸處的各內力和位移分別為軸力N和軸向位移u，Q為剪力，w為撓度，M為彎矩，θ為彎曲轉角，T為扭矩，φ為扭轉角，B為扭翹雙力矩，-β'為廣義位移。

圖1　特殊支承箱梁簡圖Fig. 1　Diagram of box girder with special supports

本文作者提出的箱梁單元具有2個節點10個自由度。單元i端軸線處的節點位移列向量δi和節點力列向量Fi分別為

同理，可寫出單元j端軸線處的節點位移列向量δj和節點力列向量Fj，則單元軸線處的節點位移列向量δ和節點力列向量F分別為

對于單元兩端偏心支承點處的節點位移列向量和節點力列向量，可在前述表達形式基礎上加注下標D。

當梁軸處發生彎曲轉角θ時，在支承點D處將引起軸向位移ryθ，梁軸處發生扭轉角φ時，在支承點D處引起的豎向位移為rxφ（其中rx和ry分別為支承點至梁軸的水平距離和豎向距離，見圖1（b），則可建立單元兩端軸線處和支承點處的位移變換關系：

式中：R為單元的位移變換矩陣，Ri和Rj分別為單元i端和j端的位移變換子矩陣，即

根據變換與逆步變換規則，單元節點力的變換關系為

由式（3）和式（4）可知聯系單元兩端支承點處節點位移和節點力列向量的單元剛度矩陣為

式中：K為聯系單元兩端軸線處節點位移和節點力列向量的剛度矩陣。

作用在單元軸線處的外荷載所產生的等效節點力以及作用在梁軸節點處的外荷載，也需相應地向支承點處變換后才能組集形成總荷載向量。考慮各支承點處的實際位移約束條件對總剛度矩陣和總荷載向量進行約束處理后，通過求解總剛度方程，即可得到各特殊支承箱梁單元在支承點處的節點位移列向量δD，則梁軸處的單元節點力列向量為

式中：FP為單元跨間荷載引起的節點力。

2　單元剛度矩陣及等效節點力

對于與扭轉角和扭翹廣義位移自由度相應的剛度系數，可在選取箱梁約束扭轉微分方程的齊次解作為單元位移函數的基礎上，利用初參數解進行推導。

根據箱梁約束扭轉微分方程的初參數解可知，扭轉角、廣義翹曲位移、雙力矩及扭矩分別為［19］：

式中：φ0，β'0，B0和T0為4個初參數，它們分別為起始端的扭轉角、廣義翹曲位移、雙力矩及扭矩；Jd為抗扭慣性矩；k為約束扭轉特性參數；μ為翹曲變形約束系數，μ=1-Jd/Jρ，Jρ為極慣性矩；μ與 k之間具有關系式μGJd=k2EIω，Iω為扇性慣性矩。

根據單元剛度系數的物理意義并注意式（1）和式（2）中的節點位移自由度排列順序可知：當兩端固定單元i端發生單位扭轉角φi=1而其余位移為0（β'i=φj=β'j=0）時，單元兩端的相應節點力即為單元剛度矩陣中的第4列元素。按此原理，在式（7）和式（8）中令φ0=1， β'0=0，并利用單元 j端位移條件 φj=β'j=0，即可解得初參數T0和B0，注意到有限元中的節點力和約束扭轉解析理論中的內力在正負號方面的差異性后，將求得的 T0和B0反號即得到單元剛度矩陣第4列元素k4，4和k5，4。再將T0和B0代入式（9）和式（10）中并令z等于單元長度l，可得元素 k10，4和 k9，4。同理可求得單元剛度矩陣中相應于扭轉位移自由度的其他各列元素。本文作者推導的單元剛度矩陣中與扭轉位移自由度相應的各上三角元素如下：

其中：Δ=kls inhkl+2μ（1-coshkl ）。

借助式（7）和式（8）表達單元兩端節點的扭轉角和廣義翹曲位移，并聯立解出各初參數后，再代入單元扭轉角位移函數式（7），可得

式中：Nf為相應于單元扭轉角的形函數矩陣。

在式（11）基礎上，即可運用虛功原理求得單元相應于約束扭轉位移自由度的各等效節點力。當單元上作用有分布扭轉力矩荷載mt時，相應于約束扭轉位移自由度的等效節點力向量為

必須注意的是將所推導的約束扭轉剛度矩陣各元素與其他元素按單元節點位移自由度順序排列后，得到的剛度矩陣為與單元兩端軸線處節點位移和節點力相應的剛度矩陣K，該剛度矩陣必須按式（5）向特殊支承點處變換后，才可組集為總剛度矩陣，等效節點力必須按式（4）變換后才可組集總荷載列陣。這里不再列出按式（5）和式（4）變換后的單元剛度矩陣和等效節點力向量，而是在編制的有限元程序中實現上述變換運算。

3　模型試驗驗證

基于所提出的特殊支承箱梁單元，本文作者編制了特殊支承箱梁扭轉力學性能分析的梁段有限元電算程序SSCB，利用該程序對文獻［17］中的模型梁進行計算。該特殊支承連續箱梁模型用有機玻璃材料制作，支承在4個橋墩上，兩端的橋墩為常規墩，中間兩橋墩為斜交墩，斜支承角為30°，每個墩頂布置2個支承點，位于箱梁的邊腹板與底板交匯處。箱梁在各墩頂處沿支承線方向均設有橫隔板。材料彈性模量E=3.3 GPa，泊松比μ=0.375。模型簡圖如圖2所示。

在箱梁中跨跨中斷面梁頂邊腹板位置施加豎向集中偏心荷載P=980 N，其具體作用位置參見圖2（a）。用所編制的梁段有限元程序SSCB和通用有限元軟件ANSYS中的SHELL63殼單元分別對模型梁進行了計算，這里只列出特殊支承點所在橫截面 I-I的應力結果，截面I-I上各計算點位置如圖2（c）所示。I-I截面頂板和底板各點處應力計算值連同有關實測值如圖 3和圖4所示。

圖2　特殊支承箱梁模型簡圖Fig. 2　Diagram of box girder model with special supports

圖3　I-I斷面頂板應力分布Fig. 3　Stress distribution in top flange of cross section I-I

圖4　I-I斷面底板應力分布Fig. 4　Stress distribution in bottom flange of cross section I-I

從圖3和圖4可以看出：按本文提出的特殊支承箱梁單元計算的應力與ANSYS計算值和實測值總體上吻合良好，從而驗證了本文箱梁單元和所編程序的可靠性。從圖3可知：在箱梁懸臂板上的應力存在一定偏差，這主要是本文未考慮箱梁畸變翹曲效應所致。

4　與常規箱梁的比較

為了揭示特殊支承連續箱梁在豎向偏心荷載作用下的扭轉性能，用所編制的梁段單元程序SSCB對前述特殊支承3跨連續箱梁及相應常規支承箱梁的約束扭轉內力和位移進行計算和比較。

圖5所示為偏心荷載作用下兩類箱梁的雙力矩分布曲線。從圖5可以看出：在中跨跨中偏心荷載作用下，特殊支承連續箱梁的雙力矩分布圖不再具有對稱性，在距中跨跨中截面較近的2個特殊支承點所在截面處，雙力矩的差值增大，在距離偏心荷載作用點較近的支點截面處，出現了很大的雙力矩。在偏心荷載作用的中跨跨中截面處，2類箱梁的雙力矩完全相同。

圖5　偏載作用下的雙力矩分布曲線Fig. 5　Curves of bi-moment under eccentric load

圖6所示為偏心荷載作用下2類箱梁的扭矩分布曲線。從圖6可以看出：在偏心荷載作用下，常規支承箱梁的扭矩主要分布在荷載作用跨即中跨內，扭矩并沒有傳遞到2個邊跨。然而，特殊支承連續箱梁在每個跨內均有扭矩產生，而且具有不規則的分布形式，除在荷載作用跨即中跨內出現最大扭矩外，在特殊支承截面處也產生了不小的扭矩。在偏心荷載作用的中跨內，特殊支承箱梁的最大扭矩發生在跨中截面至距離偏心荷載較近的特殊支承點所在截面之間的梁段內。

圖7～9所示分別為偏心荷載作用下2類箱梁的撓度、扭轉角及翹曲廣義位移分布曲線。

圖6　偏載作用下的扭矩分布曲線Fig. 6　Curves of torque under eccentric load

圖7　偏載作用下的撓度分布曲線Fig. 7　Curves of deflection under eccentric load

從圖7可以看出：與相應常規支承箱梁不同，特殊支承箱梁的撓度曲線不再對稱于中跨跨中截面，而且特殊支承箱梁的中跨正撓度和邊跨負撓度都小于常規支承箱梁的相應撓度。在所分析的偏心荷載作用下，特殊支承箱梁的中跨跨中撓度比相應常規支承箱梁減小約9.8%，更值得注意的是，在2個邊跨的最大負撓度（相應于縱向坐標z1=562 mm和z2=2 582 mm）分別減小了5.5%和24.9%，充分反映出特殊支承箱梁在偏心荷載作用下的彎扭耦合作用對邊跨的不同影響程度。

從圖8可以看出：在偏心荷載作用下，常規箱梁的扭轉角只集中在中跨內，兩側邊跨內并無扭轉角。對于特殊支承箱梁，在偏心荷載作用下，梁的扭轉角分布于全梁范圍，除中跨跨中截面產生最大扭轉角外，在特殊支承點所在橫截面處扭轉角也較大。值得指出的是，在偏心荷載作用的中跨跨中截面處，特殊支承箱梁和相應常規箱梁的扭轉角非常接近。

從圖9可以看出：特殊支承箱梁的扭轉翹曲廣義位移具有更復雜的分布規律。在所分析的偏心荷載作用下，常規支承箱梁的扭轉翹曲廣義位移主要分布在中跨范圍內，而且對于中跨跨中截面呈反對稱分布，在中跨跨中截面處恰好為0 rad/m。特殊支承箱梁的扭轉翹曲廣義位移分布于全梁內，在2個邊跨內的數值較小，最大翹曲廣義位移發生在中跨跨中截面至距離偏心荷載最近的特殊支承截面之間的梁段內。與扭矩分布類似，特殊支承箱梁在中跨跨中截面至距離偏心荷載最近的特殊支承截面之間的梁段內同樣具有顯著的翹曲廣義位移，設計中應引起注意。

圖8　偏載作用下的扭轉角分布曲線Fig. 8　Curves of twist angle under eccentric load

圖9　偏載作用下的翹曲廣義位移分布曲線Fig. 9　Curves of generalized warping displacement under eccentric load

5　結論

1） 采用所提出的箱梁單元對一特殊支承三跨連續箱梁模型的應力進行了計算，計算值與通用有限元軟件ANSYS中的殼單元計算值及實測值均吻合良好，表明所提出的箱梁單元是可靠的。

2） 特殊支承連續箱梁除在豎向偏心荷載作用的跨中截面出現最大雙力矩外，在特殊支承截面還出現了不規則分布的較大雙力矩，這與相應常規箱梁的雙力矩對稱分布規律完全不同。

3） 特殊支承三跨連續箱梁在中跨跨中偏心荷載作用下，在全梁內均有扭矩產生，最大扭矩發生在跨中偏心荷載作用截面至距離偏心荷載較近的特殊支承點所在截面之間的梁段內，而常規箱梁的扭矩只發生在荷載作用跨。

4） 特殊支承連續箱梁在豎向偏心荷載作用下的撓度均小于相應常規箱梁的撓度，翹曲廣義位移最大值發生在偏心荷載作用截面至距離偏心荷載較近的特殊支承點之間的梁段內。

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（編輯 羅金花）

Restraint torsion analysis of continuous box girder bridge with special supports

ZHU Derong1， 2， ZHANG Yuanhai1， LIN Lixia1， WANG Lijuan1

（1. School of Civil Engineering， Lanzhou Jiaotong University， Lanzhou 730070， China；2. China Railway Shanghai Design Institute Group Co.， Ltd.， Shanghai 200070， China）

A special-support box girder element was presented to analyze the torsional mechanical behavior of the continuous box girder bridge with special supports. The deformations of axial extension， vertical bending and restraint torsion were considered in the element. The displacements at the beam axis were transformed to the special support point by introducing the element displacement transformation matrix to satisfy the displacement constraint condition at the special support section. The homogeneous solution to the restraint torsion differential equation was adopted as the torsional displacement function of the element and the element stiffness matrix for restraint torsion was derived by applying the initial parameter solution. A three-span continuous box girder model with special supports was analyzed by using the element presented and the calculated results of stresses are in good agreement with the shell element results of ANSYS and the testing results， which verifies the effectiveness of the box girder element. The torsional mechanical behaviors of the continuous box girder with special supports and the corresponding regular box girder under eccentric load were analyzed in detail. The results show that the torque moment， bi-moment， torsion angle and generalized warping displacement of the box girder with special supports are larger than those of the corresponding regular box girder. The distribution of the internal force and displacement of the box girder with special supports is more complicated than that of the regular box girder.

continuous beam bridge； box girder； restraint torsion； special support； finite segment element

U448.213

A

1672-7207（2016）04-1312-07

10.11817/j.issn.1672-7207.2016.04.030

2015-04-02；

2015-06-02

國家自然科學基金資助項目（51268029，51068018，51468032）（Projects （51268029， 51068018， 51468032） supported by the National Natural Science Foundation of China）

張元海，博士，教授，博士生導師，從事橋梁結構設計理論研究；E-mail：zyh17012@163.com