裂縫面非均勻流入的低滲透油藏壓裂水平井非穩態產量計算

曾凡輝，程小昭，郭建春

（西南石油大學 油氣藏地質及開發工程國家重點實驗室，四川 成都，610500）

裂縫面非均勻流入的低滲透油藏壓裂水平井非穩態產量計算

曾凡輝，程小昭，郭建春

（西南石油大學 油氣藏地質及開發工程國家重點實驗室，四川 成都，610500）

基于瞬時點源函數和疊加原理，考慮壓裂水平井裂縫段產量非均勻流入、裂縫內變質量以及多裂縫間的相互干擾，采用空間和時間離散技術，建立低滲透油藏壓裂水平井儲層滲流和裂縫流動相耦合的非穩態產量計算模型。研究結果表明：以往將裂縫考慮為無限導流或者將裂縫考慮為均勻產量流入的平面徑向流假設使得計算結果比實際產量偏高；在早期非穩態流動階段，裂縫產量在井筒附近出現局部峰值，并且儲層滲透率越高，裂縫導流能力越小，峰值越明顯；在擬穩態生產階段，低導流能力裂縫的流量分布趨于均勻，而高導流能力裂縫內流量分布進一步非均勻化；為了獲得壓裂水平井的最佳生產效果，存在與儲層滲透率相匹配的最優裂縫導流能力。

壓裂水平井；點源函數；非均勻流入；非穩態

儲層中由于流體采出或注入引起的壓力響應可由滲流偏微分方程表示，求解壓裂井儲層滲流的實質就是求解含有不同裂縫的地層滲流模型問題。采用瞬時點源函數是求解儲層滲流問題的有效方法，將瞬時點源解關于時間疊加后就能得到連續點源解［1-3］。在利用源函數求解壓裂水平井的產量問題時，涉及對于存在裂縫的儲層內滲流和裂縫內流動時2個基本過程的描述。在描述儲層內滲流過程時，一般是將壓裂水平井的裂縫處理成有限個點匯，利用疊加原理或積分變換，建立多個點匯同時存在時在裂縫尖端的壓力響應［4-13］。對于裂縫內的流動描述，目前主要的處理方法是：1） 假設流體沿裂縫面均勻流入裂縫［14-18］；2） 流體在裂縫內滿足平面徑向流的流動規律流入到水平井筒［4， 7-13］。該方法的缺陷在于將儲層滲流和裂縫內流動分成了2個相對獨立的過程，并且沒有考慮流體沿裂縫面非均勻不斷流入裂縫的實際情況。因此，盡管目前的壓裂水平井產量預測模型考慮了儲層滲流和裂縫內流動，但對于流體在儲層和裂縫內流動的耦合描述并不全面，導致傳統壓裂水平井產量模型的計算結果與實際情況存在較大差別。本文作者針對傳統壓裂水平井產量預測模型的不足，將壓裂水平井多裂縫離散為有限長度的點源，基于瞬時點源函數和疊加原理，采用空間和時間離散技術，綜合考慮裂流量沿裂縫面非均勻流入、裂縫內變質量流動以及多裂縫的相互干擾情況，建立壓裂水平井產量預測模型，通過實例驗證模型的可靠性，并分析影響壓裂水平井裂縫產量分布的因素。

1　數學模型的建立

在建立壓裂水平井的產量計算模型前，進行以下基本假設：儲層上下封閉、水平無限大等厚均質；油藏流體微可壓縮，在儲層中為等溫非穩定達西滲流，忽略重力的影響；儲層流體沿裂面非均勻流入裂縫，再經過裂縫流入到水平井筒；同一條裂縫寬度恒定，流體在裂縫內遵循達西流動規律；各條裂縫的長度和寬度可以相等或者不相等；水平井筒具有無限導流能力，即忽略流體在水平井筒內的壓力降落。

1.1油藏滲流模型

考慮無限大油藏中的1口水平井模型見圖1（上頂下底封閉），水平井被分成若干段，油藏中流體首先流向裂縫再流向水平井筒。水平井半徑為rw，長度為L，井在油藏中心位置坐標為（x0， y1， z0）～（x0， y2， z0）（其中，y1和y2分別表示水平井筒的起點和終點），且與y軸平行。油藏均質各向同性，厚度為 h，孔隙度為 φ，滲透率K為常數；在水平井段壓裂出N條垂直裂縫，裂縫間距、裂縫長度和裂縫寬度可以相等也可以不相等，第k條裂縫單翼縫長為xfk，裂縫寬度為wfk；油藏初始壓力為常數pi。

圖1　上頂下底封閉無限大油藏壓裂水平井模型Fig. 1　Physical model of fractured horizontal well in infinite reservoir

由于壓裂裂縫貫穿油層，因此，無限大地層壓裂水平井整個系統的流動可簡化為平面油藏內的徑向流動，裂縫可簡化為一線（點）匯［16］。為了便于求解，將任意1條裂縫單翼分成ns段，這樣就將裂縫離散成了ns個裂縫線匯微元段（見圖 2）。每個微元段長為Δxfk，i（1≤i≤ns），可將每一微元裂縫段等效為1口直井。定井底流壓生產時油井產量隨時間不斷變化，但若將時間間隔取得很小，則可以近似地認為該段時間內產量為定值，地層中任意1點壓降可以按照無限大均勻地層線匯定產量壓降公式計算［7， 17］。在平面直角坐標系下（見圖 2），微元段 M（xfk，i，ykf）（產量為 qfk，i）對微元段O（xfk+1，j，yfk+1）在生產時間t后的壓降公式為［7-8］

圖2　二維平面分段及離散化示意圖Fig. 2　Sectional schematic of fracture and reservoir node in model

當裂縫k上存在ns個微元段時，根據疊加原理，可以得到第k條裂縫上ns個微元段同時生產時對O點的壓力響應；類似地，也能得到N條裂縫同時生產時在O點的壓力降落方程：

式中：pi為原始地層壓力，MPa；pfk+1，j為第k+1條裂縫的第j微元段井壁處壓力，MPa；N為壓裂水平井裂縫條數，條；ns為裂縫單翼線匯數；qfk，i為第k條裂縫的第i微元段產量，m3/s；（xfk，i，yf，k）為第k條裂縫的第i微元段中心坐標；（xfk+1，j，yf，k+1）為第k+1條裂縫的第j微元段中心坐標；μ為原油黏度，mPa.s；B為無因體積系數次；K為油藏滲透率，10-3μm2；h為儲層厚度，m；η為導壓系數，η=K/（μcφ）；c為綜合壓縮系數，MPa-1；φ為巖石孔隙度；，表示微元（xfk，i，yf，k）對微元（xfk+1，j，yf，k+1）的影響作用；k為裂縫編號；i和j為微元編號。式（2）是利用空間離散和疊加原理建立的考慮壓裂水平井各線匯相互干擾的滲流方程。

為了利用式（2）計算壓裂水平井非穩定階段的產量，可以通過時間疊加原理來得到。以微元段O（ xfk+1，j，yfk +1）的壓降計算為例，在t=Δt時刻，可以得到

當t=nΔt時，利用時間疊加原理，可以得到第 n個時間步（t=nΔt）的壓力降落方程：

針對每一個微元段均可以寫出類似的方程。

1.2裂縫流動模型

假設流體經過裂縫面進入裂縫后向水平井筒的流動為一維線性流動（圖3）。為了便于計算，將每個微元段處理成矩形進行計算，裂縫寬度為wfk+1，以計算流體在裂縫中流動時的壓力降落。

由達西定律計算第 k+1條裂縫第 j微元段（點Ofk+1，j）流動到水平井筒（點Ofk+1，0）間的壓差為

式中：Kfk+1為第k+1條裂縫滲透率，10-3μm2；h為儲層厚度，m；wfk+1為第k+1第裂縫寬度，m。

式（5）中右邊第1項表示第k+1條裂縫第j及之前微元段產量在裂縫內流動時產生的壓降；第2項表示第k+1條裂縫第j微元段產量在裂縫內流動時產生的壓降。

圖3　裂縫內流動單元示意圖Fig. 3　Sketch map of flow unit in fracture

1.3耦合流動模型

油藏流動在裂縫壁面處壓力與裂縫流動在裂縫壁面處的壓力相等，即可根據觀察點 Ofk+1，j點壓力連續由式（4）和（5）建立壓力連續方程；由于考慮井筒無限導流，在定井底流壓生產時水平井筒壓力為常數，各裂縫與水平井筒相交處Ofk+1，0的壓力相等：

式中：pfk+1，0為k+1條裂縫與水平井筒相交處的壓力，MPa；pwf為水平井筒井底流壓，MPa。聯立方程（4）～（6）即可得到第k+1條裂縫第j微元段的油藏-裂縫耦合流動方程，共有N×2ns個。這樣，利用空間離散和時間疊加建立壓裂水平井的非穩態產量預測新模型。

1.4求解方法

該模型的求解包括油藏滲流和裂縫內流動2個過程。首先根據壓裂水平井基本參數，將裂縫離散成微元段并計算各微元段對觀測微元段的壓力降落（式（4）；計算觀測微元段在裂縫內流動的壓力損失（式（5））；將計算流體在油藏滲流和裂縫內流動的方程聯立，由于沒有引入新變量，針對每個微元段均能建立1個獨立方程，這樣就會得到1個含有N×2ns個未知數qfk，i（1≤i≤N×2ns），N×2ns個方程可封閉求解的方程組。由于未知數間滿足線性變化關系，采用 Gauss全主元消去法求解該方程組。

2　計算實例及敏感性分析

為了研究壓裂水平井產量模型的可靠性以及生產時間、儲層滲透率、裂縫導流能力等對壓裂水平井流入動態的影響，對某油田1口實際壓裂水平井進行計算。基礎參數如下：油藏厚度為12 m，地層滲透率為0.003 5 μm2，地層孔隙度為10%，水平井長度為400 m，井筒半徑為0.12 m，體積系數為1.084，原油黏度為8 mPa·s，原油密度為870 kg/m3，壓縮系數為0.000 35 MPa-1，生產壓差為5 MPa，裂縫寬度為5.0 mm，裂縫單翼縫長為75 m，滲透率為30 μm2，壓裂后在水平井筒上形成4條均勻分布的垂直裂縫。

2.1模型的驗證

分別按照本文建立的裂縫有限導流非均勻流量分布模型、裂縫有限導流均勻流量模型［7-8］以及裂縫無限導流模型計算的對比結果見表1。從表1可以看出：本文模型的預測結果從開始生產到擬穩定生產階段與實際產量最接近， 驗證了模型的可靠性，而裂縫無限導流模型的計算結果遠高于實際結果，表明不能忽略裂縫內壓力損失的影響；裂縫均勻流量模型在生產初期的計算結果高于實際結果，而在生產后期差別變小。

2.2水平井產量與時間的關系

圖4所示為水平井產量與時間的關系曲線。從圖4可以看出：剛開始生產時流動狀態很不穩定，產量下降很快。這是因為壓力波還未擴散到大部分流動區域，流體僅從裂縫周圍的基巖向裂縫線性流動，此時處于早期非穩態階段；隨著時間增加，壓力波逐漸向外擴散，產量趨向于定值，流動達到擬穩態階段。從不同位置裂縫的產量看，在生產初期，裂縫間還沒有發生干擾，各條裂縫產量基本相等（裂縫1和4產量為6.151 m3/d，裂縫2和3產量為6.054 m3/d）；而在擬穩態階段（t=120 d），由于裂縫間的相互干擾，2條中間裂縫之間流動區域的產量下降很快， 而外部裂縫具有更大的泄油區域，使得水平井段兩端裂縫的產量（裂縫1 和4為1.883 m3/d）高于內部裂縫的產量（裂縫2和3為1.320 m3/d）。

表1　不同模型產量計算結果對比Table 1 Comparison of Simulated solution and actual productivity m3/d

圖4　水平井產量與時間的關系Fig.4 Relationship between daily production and time

圖5　裂縫流量分布與時間的關系Fig. 5　Relationship between production distribution and time for different models

圖5所示為3種模型裂縫1在不同生產時間下（t 為0.1 d和100 d）的流量分布。本文模型考慮了裂縫無限導流以及流量非均勻分布，在生產初期（t=0.1 d），裂縫中間產量高兩端產量低，裂縫產量在井筒附近出現局部峰值。這是因為此時壓力還沒有大范圍擴散，地層各點壓力基本上為原始地層壓力，而裂縫內存在壓力損失，越靠近井筒附近，生產壓差越大，使得裂縫產量越高；隨著生產時間增加（t=100 d），峰值顯著程度降低，裂縫的產量分布趨于均勻，裂縫內產量分布近似為雙“U”型分布，這是壓裂水平井裂縫段之間存在相互干擾所致［18］。無限導流模型由于沒有忽略裂縫內的壓力損失，在生產初期（t=0.1 d）裂縫的流量為“U”型分布，裂縫兩端流量較高；隨著生產時間增加（t= 100 d），由于裂縫段內的干擾增強，裂縫內流量非均勻分布進一步加強，這與文獻［16］中的規律一致。

2.3裂縫流量分布與時間的關系

圖6所示為裂縫1在生產不同時刻下的裂縫流量分布結果。從圖6可以看出：在生產初期（t=0.1 d），由于裂縫之間還沒有產生干擾，距離水平井筒段越近裂縫內壓力越低，產量主要是從裂縫中間段產出；隨著生產時間增加，壓力逐漸向外傳播和產生干擾，使得裂縫中間段產量逐漸降低，而裂縫兩端的產量逐漸上升（t=10 d）；隨著時間進一步增加，裂縫上的產量分布趨于穩定和均勻，基本上呈現出均勻產液的特征（t=100 d）。

圖6　裂縫流量與裂縫位置的關系Fig. 6　Relationship between flow distribution and distance

2.4裂縫流量分布與儲層滲透率的關系

圖7所示為壓裂水平井第1條裂縫的流量分布與儲層滲透率的關系。從圖 7可以看出：在生產初期（t=0.1 d），由于地層滲透率越高產量越大，裂縫內的壓力損失越顯著，井筒附近裂縫產量峰值越明顯，裂縫上的產量分布越不均勻；隨著地層滲透率降低，裂縫面上的產量分布越均勻。隨著生產時間增加，裂縫產量分布趨于均勻，并且儲層滲透率越低，裂縫產量越均勻。

2.5裂縫流量與裂縫導流能力的關系

圖8所示為壓裂水平井裂縫1產量分布與裂縫導流能力的關系。從圖8可以看出：對于一定滲透率的儲層，在生產初期（t=0.1 d），裂縫產量在井筒附近出現局部峰值，并且裂縫導流能力越小，峰值越顯著；隨著時間增加，低導流能力裂縫（kf=3 μm2·cm，kf= 15 μm2·cm）的產量從裂縫中間向兩端轉移，裂縫上的產量趨于均勻和穩定；而高導流能力裂縫（kf=30 μm2·cm） 的產量從裂縫兩端向中間轉移，進一步加劇了裂縫產量的非均勻分布。

圖7　裂縫流量分布與儲層滲透率的關系Fig. 7　Relationship between flow distribution and formation permeability

圖8　裂縫流量分布與裂縫導流能力的關系Fig. 8　Relationship between production distribution and fractures conductivity

3　結論

1） 基于瞬時點源函數和疊加原理，采用空間和時間離散技術，考慮裂縫上的非均勻流入以及裂縫內摩阻變化，建立壓裂水平井非穩態產量計算新模型。該方法實用性強，計算方法簡單，求解穩定可靠，能夠計算壓裂水平井、裂縫以及微元段的產量。

2） 裂縫的產量分布與生產時間、儲層滲透率以及裂縫導流能力等密切相關。在生產初期，產量主要是從裂縫中間段產出，裂縫產量在井筒附近出現局部峰值，呈現出非均勻分布特征，并且儲層滲透率越高，裂縫導流能力越小，峰值越明顯；在擬穩態生產階段，低導流能力裂縫的產量分布趨于均勻，高導流能力裂縫的產量分布進一步非均勻。

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（編輯 陳燦華）

Calculation of unsteady productivity of fractured horizontal wells

ZENG Fanhui， CHENG Xiaozhao， GUO Jianchun

（State Key Laboratory of Oil and Gas Reservoir Geology and Exploitation，Southwest Petroleum University， Chengdu 610500， China）

A dynamic model that coupled seepage in reservoir and fluid flow in fractures was built using spatial and time discrete technique in fractured horizontal well， taking into account the non-uniform flow rate of fracture segments，fracture inner variable mass flow and fracture segments mutual interference， and the solution method was also given. The results show that when regarding the inflow to the fractures as uniform and neglecting the pressure drop in the fractures，there may be higher deviation in productivity calculation of fractured horizontal well compared with actual production. In the early stage of unsteady flow， the fracture segments closer to the horizontal wellbore， the higher production of the segments， the smaller the fracture conductivity and the higher the peak. In the quasi stable production stage， the flow rate distribution of the low-conductivity fractures tends to be more uniform， while further non-uniform of the high-conductivity fractures. In order to get the best production of fractured horizontal well， there exists the optimal fracture conductivity matching with the fracture permeability.

fractured horizontal well； point source function； non-uniform flow； transient state

TE112.222

A

1672-7207（2016）04-1353-06

10.11817/j.issn.1672-7207.2016.04.035

2015-04-10；

2015-06-22

中央財政支持地方高校發展專項資金資助項目（20150727）；國家自然科學基金資助項目（51525402， 51504203）（Project （20150727） supported by the Central Government Finance for the Development of Special Funds for Local Colleges； Projects （51525402，51504203） supported by the National Natural Science Foundation of China）

曾凡輝，博士研究生，講師，從事油氣藏開采研究；E-mail：zengfanhui023024@126.com