基于尖點突變理論的路堤填筑下伏溶洞頂板穩定性研究

何忠明，劉森峙，胡慶國，劉清芳(1.長沙理工大學 特殊環境道路工程湖南省重點實驗室，湖南 長沙，410114；2.廣西交通投資集團有限公司，廣西 南寧，50022；.長沙理工大學 交通運輸工程學院，湖南 長沙，410114)

基于尖點突變理論的路堤填筑下伏溶洞頂板穩定性研究

何忠明1,2,3，劉森峙3，胡慶國3，劉清芳3
(1.長沙理工大學 特殊環境道路工程湖南省重點實驗室，湖南 長沙，410114；
2.廣西交通投資集團有限公司，廣西 南寧，530022；
3.長沙理工大學 交通運輸工程學院，湖南 長沙，410114)

為了分析路堤填筑過程中下伏溶洞頂板穩定性，基于尖點突變理論建立穩定性判定的數學模型；以湖南省益婁(益陽—婁底)高速公路巖溶路段地質條件為研究背景，基于上述穩定性判定模型，設計不同厚度的溶洞頂板填筑時的工況，采用FLAC3D軟件模擬分析每層路堤填筑時的頂板穩定性變化規律。研究結果表明：隨著路堤填筑高度增加，頂板會逐漸發生失穩變形，頂板厚度與路堤極限填筑高度之間呈二次函數關系；當路堤填筑高度超過極限填筑高度時，上部黏土層與頂板的沉降等值線連通，沉降值最大區域從黏土層移動至頂板中部，塑性區向上延伸發展至地表貫通，對路堤建設產生危害。

尖點突變理論；溶洞；路堤填筑；頂板穩定性；極限填筑高度

隨著公路建設的發展，在巖溶地區修筑高速公路較常見。在巖溶地區的公路建設中，需要特別考慮路堤填筑的施工過程對溶洞頂板穩定性的影響。天然溶洞或人工洞室頂板不穩定現象，會逐漸向上延伸破壞最終使得地表塌陷，對建筑環境會造成潛在危害[1]。溶洞頂板作為基礎的持力層，其穩定性與溶洞頂板厚度、圍巖特性、巖溶發育程度、基礎尺寸、頂板跨度以及工作荷載等多種因素密切相關[2-3]。近年來，國內外不少學者[1,4-7]對于建筑物下方溶洞頂板穩定性的評價以及安全厚度的確定，逐漸由傳統的定性方法發展為半定量及定量方法。由于溶洞頂板具有非線性失穩破壞的特性，大量學者采用突變理論探討路基溶洞頂板的穩定性，得到了較合理的結論[8-9]。但現階段對溶洞穩定性方面的研究較側重于路基溶洞頂板穩定性影響因素的分析[10]、頂板安全厚度的確定[5-8]以及采用強度折減法[7,9-12]探討安全系數，而對于路堤填筑過程及填筑高度對隱伏溶洞頂板穩定性影響的研究較少。為此，本文作者根據極限平衡的思想，基于尖點突變理論建立路堤填筑過程中溶洞頂板失穩判定的數學模型，探討不同溶洞頂板厚度下路堤填筑過程中頂板穩定性及其極限填筑高度，以便為工程實踐提供參考。

1　溶洞頂板穩定性判定數學模型的建立

1.1頂板極限平衡狀態判據及極限填筑高度確定

溶洞頂板的受力狀態可簡化為受致塌力(如巖土體的自重和外界荷載，以F表示)以及抵抗力(由巖土體自身強度決定，以f表示)兩者共同的作用；溶洞的穩定狀態由致塌力和抵抗力兩者之間的比值決定。

在巖溶區，溶洞上方路堤填筑施工前，溶洞處于穩定狀態，隨著路堤填筑高度的不斷增加，溶洞所受的致塌力不斷加大，溶洞頂板從穩定狀態向非穩定狀態發展。當F=f時，頂板處于極限平衡狀態，此時，溶洞上方路堤的填筑高度為極限填筑高度，設為[H]。路基溶洞頂板的受力狀態較復雜，極限平衡狀態的判據也較困難。路基溶洞的沉降變形會隨路堤填筑高度的增加而增大，可以對溶洞頂板最易發生沉降的部位設置監測點，分析沉降剛要發生突變時的狀態，以此作為路堤填筑下伏溶洞頂板極限平衡狀態的判據是較可取的方法。因此，本文作者建立溶洞頂板中點的豎向沉降Z隨溶洞上方路堤填筑高度h的數學函數關系式Z(h)，再將其轉化為尖點突變模型的勢函數，計算分叉集值來確定溶洞頂板的極限平衡狀態。

記錄每層填筑的路堤荷載p作用下的溶洞頂板中點豎向沉降Z，將二者擬合為泰勒級數形式的關系曲線。為獲得尖點突變勢函數的標準形式，截取至函數4次項：

式中：a0，a1，a2，a3和a4均為不確定系數；p=γh；γ為路堤填土的容重，kN/m3；h為填筑高度，m。故式(1)可轉化為

式(2)可參考文獻[9]和[12]中方法進行變換：令hi=m-n，n=b3/(4b4)，則式(2)可通過矩陣

化為

對式(4)進一步化簡得

式中：

分別對式(5)求一階導數和二階導數得：

式(7)與(8)均與系數C無關，故可根據以上各式的推導，確定溶洞上方路堤填筑的尖點突變理論標準勢函數模型為

在路堤填筑溶洞頂板的系統中，該系統的狀態由控制變量u和v以及狀態變量m確定。在由(m，u，v)所構成的三維狀態空間中(如圖1所示)，平衡曲面M為所有平衡點的集合，平衡點應滿足

M在(m，u，v)空間中為1個具有褶皺的光滑曲面，具有突跳、雙模態、滯后、發散及不可達等特征[13]。對于突變點應滿足：

它們在控制變量u-v平面的投影就構成分叉集Δ。聯立式(10)和式(11)消去m可得

平衡曲面的空間圖形由上葉、中葉和下葉構成，當系統控制變量u和v位于交叉集外區域即Δ＞0時，相應的平衡曲面空間點在曲面的上葉或下葉平衡變化，溶洞頂板穩定；當Δ＜0時，空間點位于中葉，中葉是不穩定的，故系統處于不穩定狀態，巖溶頂板發生塌陷；當Δ=0時，空間點位于中葉或上葉邊緣，相應點即將發生突跳，故此時系統處于臨界穩定狀態也就是極限平衡狀態，同時確定路堤的極限填筑高度[H]。

圖1　尖點突變模型示意圖Fig.1　Model of cusp catastrophe

1.2路堤填筑下伏溶洞頂板穩定性判定的過程

在本文中，對于溶洞頂板穩定性的研究，采用Mohr-Coulomb模型，并假設溶洞頂板巖體完整，且能產生大變形。Mohr-Coulomb破壞準則的表達式為[14]

式中：I1和J2為應力張量第 1不變量和應力偏量第 2不變量；θ0為應力羅德角；c和φ分別為黏聚力和內摩擦角。基于尖點突變理論的路堤填筑下伏溶洞頂板穩定性判定過程為：先利用FLAC3D軟件建立溶洞幾何模型并劃分網格，進行初始應力平衡，設置路堤填筑前的初始應力條件；采用Mohr-Coulomb模型進行彈塑性求解至收斂；模擬溶洞上方路堤逐層填筑的過程，記錄各層填筑高度hi下洞頂中點的沉降zi，并分別將hi填筑高度及其之前記錄的所有的(h,z)數據點進行4次函數的曲線擬合，設為Z(h)i；將函數變換為突變數學模型，計算交叉集的值，對溶洞頂板系統的穩定性進行判定，從而確定路堤極限填筑高度。

需說明的是：本文對路堤填筑的模擬，每層填筑增加的高度都相等，因此，在分析過程中，當確定某一層填筑后系統為穩定，而下一層填筑后為不穩定，將默認該層路堤填筑后的系統狀態為極限平衡狀態。具體判定過程如圖2所示。

1.3穩定性判定的可靠性驗證

為驗證數學模型判定的可靠性，在本文中利用有限差分數值分析軟件FLAC3D對鄭穎人等[11]作過的隧洞模型實驗進行模擬。由于本文討論溶洞頂板穩定性，故選取文獻[11]中的淺埋隧洞模型，其尺寸及力學參數均不變，材料采用Mohr-Coulomb本構模型。FLAC3D軟件對整個模型共劃分5 360個單元，對隧洞周圍單元劃分較密，其他區域依次變疏，模型的幾何形狀以及網格劃分結果如圖3所示。

室內模擬試驗的過程是對模型逐級增加荷載，并記錄每級荷載下模型洞頂中點的豎直沉降。頂板沉降位移發展趨勢如圖4所示，沉降位移隨荷載逐級增加而增大，當荷載超過25 kN時，沉降趨勢明顯，此時可將各監測點之前所有數據點進行曲線擬合。表1所示為荷載高于27 kN時部分擬合曲線的函數關系式，各曲線的擬合系數R2均大于0.96，故各擬合曲線能反映系統的沉降位移趨勢。從表1可知：當荷載≤27.24 kN時，尖點突變模型的交叉集Δ大于0，判定隧洞模型的頂板未破壞；當荷載≥27.30 kN時，Δ小于0，可以判定隧洞模型頂板已經發生破壞，由此可以確定模型隧洞的極限荷載為27.24~27.30 kN，由于兩者相差不大，極限荷載默認為27.24 kN。選取文獻[11]中室內模型試驗的破壞狀態與27.24 kN下的數值模擬塑性區云圖進行對比(見圖5)，可知二者的破壞模式較一致，且數值計算得到的極限荷載為27.24 kN，與室內試驗的28 kN接近，由此說明采用尖點突變的數學模型判定路堤填筑荷載下溶洞頂板穩定性是合理、可靠的。

圖2　判定過程流程圖Fig.2　Flow chart of determination process

圖3　數值模擬的有限差分網格Fig.3　Finite difference grids of numerical simulation

圖4　荷載-頂板沉降曲線Fig.4　Relationship between loads and displacements of roof

圖5　模型實驗的破壞狀態[11]與數值分析的塑性區云圖Fig.5　Failure situation of model test[11]and plastic zone of numerical simulation

表1　各荷載下的位移擬合曲線、尖點突變模型控制變量及ΔTable 1　Displacements fitting curves,control variables and Δ of cusp catastrophe models under different loads

2　數值模型建立

2.1工程概況及計算模型

湖南省益婁高速公路沿線多個路段巖溶發育，部分路段勘測出有大型溶洞，溶洞的形狀接近橢球形，并埋藏于土層下方。溶洞圍巖屬微風化巖，上層依次覆蓋有坡積黏土和粉質黏土。為簡化分析最易發生塌陷地段，本文截取其中一溶洞橫斷面最大路段，取道路行車方向長度1 m，并假設填筑的路堤位于溶洞的正上方。

采用FLAC3D軟件建立如圖6所示的數值計算模型，模型長×寬×高為60 m×1 m×36 m，溶洞位于模型正中部，橢圓形溶洞的長軸為12 m，短軸為6 m，溶洞頂板厚度為2 m，上層覆蓋的坡積黏土及粉質黏土的厚度分別為4 m和2 m。模型各巖土地層的力學參數如表2所示。

對于計算模型的邊界條件設置為：模型的兩側均為水平方向位移約束，模型底部為水平和豎直方向位移約束，模型頂部為自由界，整個模型的行車方向位移約束。

圖6　計算模型Fig.6　Numerical model

表2　巖土體力學參數Table 2　Mechanical parameters of geotechnical

2.2路堤填筑過程模擬

根據公路路基設計規范(JTG D30—2015)[15]，路堤施工應進行分層鋪筑。本文采用FLAC3D中的apply命令施加應力來代替路堤填土的填筑，路堤荷載的應力hγσ=，應力分布采用gradient命令模擬路堤梯形應力的分布；為模擬路堤每層壓實后的填筑，每級應力的增加相當路堤填筑高度增加20 cm，路堤填筑高度增加時保持路基寬度(包括路肩、行車道和中間道)26 m[16]不變以及路堤邊坡坡率1:1.5不變，以此確定極限填筑高度時的路堤橫斷面形式。為簡化分析，在本文中未考慮行車荷載和其他外界條件的影響，且假設路堤填土為均質土，路堤填筑僅考慮溶洞頂板的沉降位移，不考慮路堤的變形作用。

3　結果分析

3.1路堤填筑不同厚度的下伏溶洞頂板穩定性

采用上述的模擬過程和方法探討頂板厚度為2 m的工況下路堤填筑過程中溶洞頂板的穩定性，得到各填筑高度下頂板系統控制變量和分叉集的值，從而分析頂板的穩定狀態，結果如表3所示。

表3　路堤填筑過程中頂板穩定狀態Table 3　Stability of roof in process of embankment filling

由表3可知：在路堤填筑高度為4.4 m時，系統分叉集Δ大于0，可判定頂板未失穩破壞；當填筑高度達到4.6 m時，溶洞頂板中點的沉降位移達130 mm，且Δ小于0，系統產生突變，頂板失穩。因此，可以確定2.0 m厚溶洞頂板上方路堤的極限填筑高度為4.4 m。在實際工程中，考慮到車輛荷載和其他外界環境的影響，路堤填筑高度應不超過4 m。

通過大量試算和判定，確定了頂板厚度為1.5，2.0，2.5，3.0和3.5 m各工況下，極限填筑高度分別為2.2，4.4，7.2，9.8和14.2 m，二者關系如圖7所示。從圖7可見：隨著頂板厚度增加，路堤填筑的極限高度增加。經多次擬合，二者的關系最符合二次函數關系，擬合系數R2=0.997。分析得知各厚度頂板上路堤的填筑高度超過極限填筑高度時，溶洞頂板將產生失穩破壞。

3.2路堤填筑下伏溶洞頂板沉降趨勢分析

當頂板厚度為2 m，路堤高度為2.0，3.0和4.4 m時的溶洞頂板沉降分布見圖8。由圖8可見：在路堤高度未達到極限填筑高度時，頂板的沉降不大，路基沉降最大的區域位于頂板正上方的黏土層。這是由于上方路堤荷載未超過頂板的強度，路堤的填筑使頂板產生的沉降變形不大，而頂板以上黏土層的模量較小，在路堤荷載下產生壓縮變形。隨著路堤高度達到極限填筑高度，最大沉降區域由黏土層移動至頂板中心，最大沉降達到93 mm，沉降將產生突變，并且溶洞頂板與黏土層的沉降等值線連通，頂板將會發生失穩破壞。

圖7　頂板厚度與極限填筑高度關系Fig.7　Relationship between thickness of roof and ultimate filling height

圖8　沉降分布Fig.8　Vertical displacement distributions

3.3路堤填筑下伏溶洞頂板的塑性區分布

圖9所示為在路堤填筑過程中(頂板厚度為2 m)，填筑高度逐漸達到和超過極限填筑高度下的模型塑性區分布。從圖9可知：在路堤高度為2 m時，頂板受到上部土層和路堤的荷載作用，已經開始產生塑性區，與一般的水平頂板不同，橢圓溶洞的拱形頂板具有一定的應力傳遞效應，使得頂板兩側所受的應力也較大；頂板上部及兩側區域主要產生拉伸破壞和剪切破壞，而上層土體的塑性區面積較小，對上方建筑物的穩定影響不大；當填筑高度為3 m時，塑性區發展開始向上延伸，并在黏土層與巖層界面處產生一定的剪切破壞。對比路堤高度為4.4 m和4.6 m下的塑性區可知，當路堤超過極限填筑高度時，溶洞上方的塑性區向地表處延伸并貫通，頂板的失穩破壞將對路堤建設造成較大危害。

圖9　塑性區分布Fig.9　Plastic zone distributions

4　結論

1)建立了路堤填筑過程中溶洞頂板穩定性判定的尖點突變理論數學模型，驗證了該方法對溶洞頂板穩定性判定的可靠性，是一種較合理的定量分析方法。

2)以湖南省益婁高速公路的巖溶路段地質條件為例，確定了溶洞頂板厚度分別為1.5，2.0，2.5，3.0 和3.5 m工況時，路堤的極限填筑高度分別為2.2，4.4，7.2，9.8和14.2 m，頂板厚度與極限填筑高度之間較符合二次函數關系。

3)在未處治的情況下，當溶洞上方的路堤填方高度超過極限填筑高度時，溶洞頂板的失穩破壞將延伸至上方地表，對路堤建設造成較大危害。

[1]PARISE M,LOLLINO P.A preliminary analysis of failure mechanisms in karst and man-make underground caves in Southern Italy[J].Geomorphology,2011,134(1/2):132-143.

[2]陽軍生,張軍,張起森,等.溶洞上方圓形基礎地基極限承載力有限元分析[J].巖石力學與工程學報,2005,24(2):296-301. YANG Junsheng,ZHANG Jun,ZHANG Qisen,et al.Finite element analysis of ultimate bearing capacity of circular footing above karst cave[J].Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering,2005,24(2):296-301.

[3]胡慶國,張可能,陽軍生.溶洞上方條形基礎地基極限承載力有限元分析[J].中南大學學報(自然科學版),2005,36(4): 694-697. HU Qingguo,ZHANG Keneng,YANG Junsheng.Finite element analysis of ultimate bearing capacity of strip footing above karst cave[J].Journal of Central South University(Science and Technology),2005,36(4):694-697.

[4]韓紅艷,吳燕舞,黑亮,等.巖溶路基溶洞頂板穩定性分析[J].工程地質學報,2012,20(6):1078-1082. HAN Hongyan,WU Yanwu,HEI Liang,et al.Stability analysis of karst cave roof beneath highway subgrade[J].Journal of Engineering Geology,2012,20(6):1078-1082.

[5]HATZOR Y H,WAINSHTEIN I,MAZOR D B.Stability of shallow karstic caverns in blocky rock masses[J].International Journal of Rock Mechanics&Mining Sciences,2010,47(8): 1289-1303.

[6]JIANG Chong,LIU Lang,WU Junping.A new method determining safe thickness of karst cave roof under pile tip[J]. Journal of Central South University,2014,21(3):1190-1196.

[7]曹文貴,程曄,趙明華.公路路基巖溶頂板安全厚度確定的數值流形方法研究[J].巖土工程學報,2005,27(6):621-625. CAO Wengui,CHENG Ye,ZHAO Minghua.Studies on numerical manifold method for determination of safe thickness of karst roof in roadbed[J].Chinese Journal of Geotechnical Engineering,2005,27(6):621-625.

[8]張建華.基于突變理論的巖溶區路基頂板安全厚度分析[J].鐵道科學與工程學報,2009,6(3):52-55. ZHANG Jianhua.Analysis of cave roof safe thickness in karst region based on catastrophe theory[J].Journal of Railway Science and Engineering,2009,6(3):52-55.

[9]ZHAO Yanlin,PENG Qingyang,WAN Wen,et al.Fluid-soild coupling analysis of rock pillar stability for concealed karst cave ahead of a roadway based on catastrophe theory[J].International Journal of Mining Science and Technology,2014,24(6): 737-745.

[10]蔣沖,趙明華,胡伯學,等.路基溶洞頂板穩定性影響因素分析[J].公路工程,2009,31(1):5-9. JIANG Chong,ZHAO Minghua,HU Boxue,et al.Stability factors analysis for subgrade karst roof[J].Highway Engineering, 2009,31(1):5-9.

[11]鄭穎人,徐浩,王成,等.隧洞破壞機理及深淺埋分界標準[J].浙江大學學報(工學版),2010,44(10):1851-1856. ZHANG Yingren,XU Hao,WANG Cheng,et al.Failure mechanism of tunnel and dividing line standard between shallow and deep bury[J].Journal of Zhejiang University(Engineering Science),2010,44(10):1851-185.

[12]趙延林,吳啟紅,王衛軍,等.基于突變理論的采空區重疊頂板穩定性強度折減法及其應用[J].巖石力學與工程學報, 2010,29(7):1424-1434. ZHAO Yanlin,WU Qihong,WANG Wenjun,et al.Strength reduction method to study stability of goaf overlapping roof based on catastrophe theory[J].Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering,2010,29(7):1424-1434.

[13]凌復華.突變理論及其應用[M].上海:上海交通大學出版社, 1987:123-124. LINGFuhua.Catastrophetheoryanditsapplications[J]. Shanghai:Shanghai Jiaotong University Press,1987:123-124.

[14]Itasca Consulting Group.Theory and background[R].Minnesota: Itasca Consulting Group,2002.

[15]JTG D30—2015,公路路基設計規范[S]. JTG D30— 2015,Specificationsfor design of highway subgrades[S].

[16]鄧學鈞.路基路面工程[M].北京:人民交通出版社,2013: 62-63. DENG Xuejun.Road subgrade and pavement engineering[M]. Beijing:China Communications Press,2013:62-63.

(編輯陳燦華)

Stability of karst cave roof during embankment filling based on cusp catastrophe theory

HE Zhongming1,2,3,LIU Senzhi3,HU Qingguo3,LIU Qingfang3
(1.Key Laboratory of Special Environment Road Engineering of Hunan Province, Changsha University of Science&Technology,Changsha 410114,China;
2.Guangxi Communications Investment Group Co.Ltd,Nanning 530022,China;
3.School of Traffic and Transportation Engineering,Changsha University of Science&Technology, Changsha 410014,China)

In order to analyze the stability of karst carve roof in the process of embankment filling,a mathematical model for stability determination based on the cusp catastrophe theory was established.Based on the geological conditions of the construction section in Yi—Lou highway of Hunan Province and the above stability determination model,the working conditions of the karst cave roof with different thicknesses were designed,and the FLAC3Dsoftware was used to analyze the stability of the roof when the embankment was filled.The results show that the roof gradually exhibits instability deformation with the increase of embankment filling height,and the relationship between the height of roof thickness and the ultimate filling height of the embankment is the quadratic function.When the embankment heightexceeds the limit filling height,the displacement contours of the upper clay layer is connected with the roof,the largest area of the vertical displacement moves from the clay layer to the middle part of the roof,and the plastic zone extends up to the surface and perforating,which is harmful to the construction of the embankment.

the cusp catastrophe theory;karst cave;embankment filling;roof stability;the ultimate filling height

何忠明，博士(后)，副教授，從事道路工程的教學與研究工作；E-mail:hezhongming45@126.com

U49

A

1672-7207(2016)07-2456-07

10.11817/j.issn.1672-7207.2016.07.037

2015-11-20；

2016-01-10

國家自然科學基金資助項目(51508042)；湖南省交通運輸廳科技進步與創新計劃項目(201417)；長沙理工大學特殊環境道路工程湖南省重點實驗室開放基金資助項目(kfj140501)；湖南省教育廳科學研究重點項目(14A007)(Project(51508042)supported by the National Natural Science Foundation of China;Project(201417)supported by Transportation Department Scientific&Technological Progress and Innovation Plan of Hunan Province;Project(kfj140501)supported by the Open Fund of Key Laboratory of Special Environment Road Engineering of Hunan Province,Changsha University of Science&Technology;Project(14A007)supported by the Research Foundation of Education Burea of Hunan Province)