鋼框架結構基于能量的塑性設計方法

胡淑軍，王湛(.南昌大學 建筑工程學院，江西 南昌，33003；.華南理工大學 亞熱帶建筑科學國家重點實驗室，廣東 廣州，50640)

鋼框架結構基于能量的塑性設計方法

胡淑軍1，王湛2
(1.南昌大學 建筑工程學院，江西 南昌，330031；
2.華南理工大學 亞熱帶建筑科學國家重點實驗室，廣東 廣州，510640)

以“強柱弱梁”的屈服機理為前提，結合建筑抗震設計規范和能量平衡原理得到結構的基底剪力和各樓層的剪力，提出鋼框架結構基于能量的塑性設計方法。該方法還需預先確定結構在罕遇地震下的目標位移和耗能折減系數η，并通過塑性設計法對各構件進行設計。利用Perform-3D軟件對所設計結構進行非線性動力時程分析。研究結果表明：該方法可設計不同抗震設防烈度下的鋼框架結構，且無需進行復雜的計算和迭代，就能使結構滿足多遇及罕遇地震下的預定功能。

鋼框架；能量平衡；塑性設計；屈服機理；耗能折減系數

對于普通鋼框架結構，傳統的設計方法首先根據基底剪力法等方法確定結構的基底剪力及各樓層剪力，由此確定各構件的內力和截面[1]。在罕遇地震下，這種基于彈性分析所設計的結構被直接用于非彈性分析中，可能無法真實反映出結構預定的屈服機理和功能，并發生較大的非彈性變形和無法預期的破壞。基于能量的抗震設計方法，主要基于能量守恒定理，通過結構的能量平衡方程，分析地震作用下結構能量的輸入、耗散和轉化，由此控制能量轉化的過程[2-4]。目前對于基于能量的抗震設計方法研究很多，且該方法的基礎研究已趨于完善[5-7]。它的特點主要在于：1)對于給定的結構，地震輸入到結構的能量是1個穩定量，是結構抗震能力的總需求指標；2)設計時需考慮結構體系中耗能部位或耗能構件的合理分布，即結構在罕遇地震下的耗能分布合理，使基于能量設計落實到構件層次；3)在實現結構損傷耗能機制控制的前提下，使結構的總耗能大于預期強震的總輸入能量[5]。將結構等效為理想的彈塑性單自由度體系時，地震輸入到結構的能量可根據結構質量和擬速度譜等參數確定[8]。LEE等[9]通過修正地震作用下結構輸入的能量，重新評估結構在非彈性變形時的能量方程，使所設計的結構更合理和經濟。預先選定結構在罕遇地震下的目標位移，并結合能量平衡的原理，可得到結構的基底剪力[10-11]。此外，CHAO等[12]基于非線性分析所提出的側向力分布方式，可使結構更好地滿足非彈性變形下的預期性能，并得到各樓層的剪力。為保證結構的延性和抗震性能，需預先選定結構的屈服單元，即首先被破壞的構件。基于“強柱弱梁”的設計思想，罕遇地震下純框架結構中的梁應首先屈服，隨后柱底屈服[1]。框架梁作為結構的主要耗能構件，耗散大量地震能量，并保證各樓層柱不被破壞，防止結構發生倒塌。各樓層梁端和底層柱底出現塑性屈服所耗散的總能量大于地震所輸入的能量時，即可保證鋼框架結構的安全性和可靠性。基于該設計思想和各樓層剪力，可使各樓層的框架梁、柱合理分布。本文作者結合基于能量的抗震設計方法，并預先確定結構在罕遇地震下的耗能機理和目標位移，且通過塑性設計法設計各構件，提出鋼框架結構基于能量的塑性設計方法。根據結構在目標位移下所輸入的能量與非彈性變形時各構件所耗散能量相等的原則，得到結構的基底剪力；考慮耗能折減系數能使結構更簡單、合理地滿足規范的要求。通過設計某12層鋼框架結構，采用非線性動力時程分析驗證所提出方法的準確性，并為該方法在鋼框架結構中的分析和應用提出相關建議。

1　鋼框架結構的側向力分布

目前，鋼框架結構的基底剪力和各樓層剪力分布是根據GB 50010—2010“建筑抗震設計規范”[1]中的靜力分析法確定。在罕遇地震下，基于彈性分析所設計的結構將被直接用于非彈性分析，此時可能無法真實反映結構的性能。根據預先選定的目標位移和能量平衡原理，可得到一種基于非彈性分析所得的側向力分布方式和基底剪力，使所設計的結構更合理和經濟[7]。

1.1基于修正的能量平衡法

基于能量的塑性設計方法，需預先確定結構在罕遇地震下的破壞機理和目標位移，并根據能量平衡原理，使結構在目標位移下所作的功與非彈性變形時各構件所耗散的能量相等。

推導鋼框架結構的基底剪力時，根據結構在單向加載下達到目標位移時所作的功，與結構假想為單自由度體系時在彈塑性狀態下譜反應所產生的能量相等，即地震所輸入的能量與耗散的能量相等。因此，基于能量平衡法并考慮能量修正系數，可得到結構在彈塑性狀態時的功能方程為[10]

式中：Ee和Ep分別為結構達到目標位移時所需的彈性和塑性能量；Sv為結構的擬速度設計譜；M為結構的總質量；γ為能量修正系數，由γs和Rμ確定；T為結構的基本自振周期[13]；α1為地震影響系數[1]；g為重力加速度。

圖1所示為結構達到目標位移時所作的功與所耗散的能量，即基于能量的塑性設計方法的基本理論。當圖1中的外功與內功的面積相等時，式可改寫成：

根據圖1可進一步將式改寫成：

目前對于延性系數γs和延性折減系數Rμ的研究已有很多，并對2個參數與自振周期T的關系進行了描述[9]。

AKIYAMA[14]提出了等效單自由度體系的彈性能量方程，可表示為

式中：V和W分別為結構的基底剪力和質量。

將式代入式，可得到塑性能量Ep為

圖1　基于能量的塑性設計的能量平衡圖Fig.1　Energy balance of energy balance-based plastic design

1.2各樓層剪力的分布方式

當結構遭遇罕遇地震作用時，傳統的按彈性分析方法所得的樓層剪力分布方式已不能準確反映結構的實際受力，且可能無法準確模擬結構此時的受力和非彈性變形。基于能量的塑性設計方法中最重要的因素之一，是使用更合理且接近實際的側向力分布方式，能代表結構在非彈性狀態下的側向力。

CHAO等[12]通過對結構的非線性分析，提出了一種新的側向力分布方式，使結構在非彈性變形下產生更均勻的層間位移角，并更容易實現結構中的定點屈服和強柱弱梁等抗震設防理念。基于剪力分布系數βi，各樓層的剪力與頂層剪力可表示為

式中：βi為剪力分布系數；Fi和Fn分別為第i層和頂層的剪力；Wj和Wn分別為第j層和頂層的重力；hj和hn分別為第j層和頂層距地面的高度。

根據式，可得到第i層和頂層的樓層剪力與基底剪力的關系，分別表示為：

因此，第i層的樓層剪力可表示為

式中：βi+1為第i+1層的剪力分布系數，當i=n時，βi+1=0。

1.3基于目標位移法的基底剪力

圖2所示為預先選定的目標位移和屈服機理下的框架反應圖。圖2中基于預先選定結構的屈服機理和目標位移，由外部力對結構產生的塑性能量為

式中：pθ是結構的塑性層間位移角，等于目標位移uθ減去屈服位移yθ。

將式代入式，可得V/W的表達式為

式中：λ為量綱一的參數。當結構的質量和層高度一定時，λ主要與結構的自振周期T和目標側移θphn有關，具體表示為

因此，根據上述基底剪力及樓層剪力的計算公式，可得到結構的非彈性側向力。

圖2　預先選定的目標位移和屈服機理下的框架反應圖Fig.2　Frame structure in target drift response state with pre-selected yield mechanism

2　鋼框架結構基于能量的塑性設計方法

為保證結構的延性和抗震性能，需預先選定結構在罕遇地震下首先屈服的單元。基于“強柱弱梁”的設計思想，罕遇地震下框架梁應首先屈服，隨后柱底屈服。梁作為結構的第1道抗震設防線耗散大量地震能量，并防止各樓層柱被破壞。因此，設計時需首先確定各樓層梁的內力和截面的面積，柱的內力是基于梁而得到。

2.1基于耗能折減系數的框架梁設計

罕遇地震下，為使純框架結構耗散更多的地震能力，并保證主體結構不被破壞，需合理確定結構的破壞機理。如圖1所示，假設每層梁兩端首先屈服并耗散大量能量，隨后底層柱底也出現屈服。基于框架梁與柱底所耗散的能量與外力所做的功相等的原理，可得到各層梁所需塑性彎矩：

式中：Mpbi為第i層梁所需的塑性彎矩；Mpc為底層柱所需的塑性彎矩。

由于結構中各截面面積與受力有關，各樓層沿高度方向的強度應與樓層剪力的分布相同較合理。此時，Mpbi可表示為βiMpbn(其中，Mpbn為頂層梁所需的塑性彎矩)。因此，式可改寫為

基于能量的塑性設計所得的結構，由于假設罕遇地震下所有樓層梁端都屈服，這可能與實際情況不相符，且會導致所設計的梁、柱截面過小，在彈性和彈塑性分析時無法滿足規范的要求。此時，可假設各樓層僅有部分梁端發生屈服并耗能，即考慮結構的耗能折減系數η，并建議取0.5~1.0。通過考慮該系數可增大梁、柱截面，并使所設計結構更容易達到預期性能和滿足規范要求。式可表示為

在罕遇地震下，當結構底層柱底出現塑性鉸時，不僅可以耗散大量的地震能量，而且對結構的整體性能影響不大。選擇合適的底層柱截面，是保證結構底層柱底出現塑性屈服的重要因素。如圖3所示，假設最底層柱的上、下端均出現塑性鉸，考慮底層柱的塑性變形與剪力所作功相等的原則，可表示為

式中：h1為底層樓的高度；φ為考慮構件由于硬變強化所引起的超強系數，建議取1.1[9]；θ為假定的轉角。整理該式可得

當底層柱的塑性彎矩和各樓層的剪力已知時，可得到頂層梁及各樓層梁的塑性彎矩，并確定其他樓層梁截面的面積。

圖3　底層柱形成塑性鉸的鋼框架結構Fig.3　Steel frame with plastic hinge at bottom columns

2.2柱設計

在框架結構中，為保證結構在目標位移下仍能形成預期的“強柱弱梁”的塑性機制，需在梁單元屈服后，柱仍處于彈性。因此，各樓層柱的內力應在框架梁內力的基礎上乘以放大系數ξ。

結構中考慮邊柱和中柱的隔離體如圖4所示。當柱在梁端形成塑性鉸并考慮放大系數ξ時，需重新計算對柱隔離體中各樓層的側向力。此時，各樓層邊柱剪力Fbi和中柱剪力Fzi的分布方式與各樓層梁的內力分布方式相同。

此外，分析時還應考慮各層中梁端剪力對柱產生的彎矩Vpbid/2，如圖4(c)所示，d為柱截面的高度。如圖4(a)，對于邊柱，根據彎矩平衡方程可得

式中：Fbn為頂層邊柱的剪力；Vpbi為第i層梁端的塑性剪力，等于2Mpbi/Li；L為梁的長度；ξi為第i層內力放大系數，建議取1.0~1.1[11]。

如圖4(b)所示，對于中柱，根據彎矩平衡方程可得

式中：Fzn為頂層中柱的剪力；Mpbzi和Mpbyi分別為第i層梁左端和右端的塑性彎矩；Vpbzi和Vpbyi分別為第i層梁左端和右端的塑性剪力。

柱設計時，假定各中柱或邊柱隔離體中所有梁端同時達到塑性屈服可能過于保守，且各樓層的側向力分布是由基本自振周期等因素確定，未考慮高階模態的影響，這對上部樓層的影響會比較大。因此，對所有樓層的梁采用相同的超強系數是合理的。重新確定邊柱和中柱隔離體的頂層剪力Fbn和Fzn后，將圖4中的柱隔離體當成懸臂桿，各層邊柱的彎矩可表示為

式中：Mcb(h)為距地面高度為h處邊柱的塑性彎矩；Fbi是各樓層剪力，等于(βi-βi+1)Fbn；δi為階梯函數[10]，具體表示為

同理，各樓層中柱的彎矩可表示為

圖4　柱的隔離體圖Fig.4　Free body diagram of columns

式中：Mcz(h)是距地面高度為h處中柱的塑性彎矩；Fzi是各樓層剪力值，等于(βi-βi+1)Fzn。

距地面高度為h處柱的軸力可表示為

式中：Pc(h)和Pcg(h)為距地面高度h處柱的軸力和荷載、自重對柱產生的軸力。在分別確定柱的軸力和彎矩后，可對柱進行塑性設計。

3　鋼框架結構基于能量的塑性設計步驟

合理設計的鋼框架結構，強度和延性是2個主要因素。因此，鋼框架的設計可總結為以下2點：

1)合理設計框架梁截面，以滿足強度和變形的要求；

2)基于所得到的框架梁截面，合理設計框架柱，以保證這些構件在罕遇地震下不發生屈服。

合理設計的鋼框架結構不僅具有良好的抗震性能，且有較好的經濟性。本文提出了一種鋼框架結構的基于能量的塑性設計方法，步驟如下。

1)基底剪力和樓層剪力。在預估結構的自振周期、結構總質量和目標側移后，基于能量平衡的原理，可得到結構的基底剪力和各樓層剪力。

2)單元設計。在得到結構的基底剪力和各樓層的側向力后，假設非彈性變形僅發生在各樓層的梁端和底層柱底，并基于能量平衡原理，可得到各層梁的塑性模量，確定梁截面大小；再對邊柱和中柱取隔離體分析，并確定各層柱的彎矩與軸力，即可得到各層柱截面的大小。具體流程如圖5所示。

4　算例

某鋼框架辦公樓，共12層，平面圖和計算簡圖如圖6所示。各層層高均為3.3 m，結構總高度為39.6 m。結構的設防烈度為8度(0.2g，1g=9.8 m/s)，場地類別Ⅱ類，設計地震分組為3類，彈性分析時特征周期是0.45 s，罕遇地震下的特征周期取0.5 s。各樓層的恒荷載(包括120 mm厚的壓型鋼板組合樓蓋)為5.5 kN/m2，活荷載為2.0 kN/m2。

4.1鋼框架結構的設計

采用基于能量的塑性設計對結構設計時，進行2個基本假定：1)結構的屈服位移和極限位移分別為0.5%和2.0%；2)在罕遇地震下，結構的屈服僅發生在各樓層的梁端和底層柱底。

圖5　基于能量的塑性設計方法流程圖Fig.5　Flow chart of energy-based plastic design

圖6　鋼框架結構平面圖和計算簡圖Fig.6　Floor plan and calculation plan of steel frame

根據GB 50009—2012“建筑結構荷載規范”[13]中對結構的基本自振周期近似計算方法，可得T1= 0.15×12=1.8 s，并由GB 50010—2010“建筑抗震設計規范”[1]確定罕遇地震影響系數α1及各參數。由于每層中各榀框架的梁、柱截面相同，取單榀框架分析即可。W為單榀框架中結構的總重力，包括結構的恒載和活載所產生的重力。各設計參數值如表1所示。

在確定各設計參數后，可根據表2中所得到的剪力分布系數βi等，并結合圖5中的方法得到基底剪力和各樓層剪力，由此可得到鋼框架結構中各樓層梁與柱的內力和截面面積。梁柱截面均以截面高度h，翼緣寬度b，腹板厚tw和翼緣厚度bf的H型截面(即h×b×tw×bf，單位：mm×mm×mm×mm，下同)。

4.1.1梁的設計

在得到結構的基底剪力V后，將結構的耗能折減系數η取0.5，并考慮底層柱底可能發生的屈服，可得到底柱底屈服彎矩Mpc=1.1×313×3.3/8=142 kN·m。根據圖5中的相關設計流程，可得到各樓層的梁截面面積，如表2所示。

表1　某十二層鋼框架基于能量的塑性設計參數Table 1　Design parameters for 12-storey energy-based plastic design frame

4.1.2柱的設計

假設柱截面的高度為0.4m，且各樓層的超強系數ξi均取1.1，由式和式計算得到的邊柱和中柱的頂層剪力Fbn和Fzn分別為33.4 kN和65.4 kN。此時各樓層邊柱與中柱的最大彎矩和軸力，以及各層柱截面面積，如表3所示。

4.2驗證分析

表2　某十二層鋼框架基于能量的塑性設計的側向力及梁的設計Table 2　Design lateral forces and steel beams for 12-storey energy-based plastic design frame

表3　某十二層鋼框架鋼柱的內力和截面Table 3　Design forces and sections of steel columns for 12-storey energy-based plastic design frame

彈性分析時，采用Midas-building和Perform-3D軟件對結構進行分析。結構的前3階基本周期分別為2.87，2.61，2.35和2.73，2.49和2.25 s，前3階振型分別以X向平動、Y向平動和扭轉。

根據GB 50010—2010“建筑抗震設計規范”[1]的規定，選擇7組時程曲線，包括6組實際強震記錄和1組人工模擬的地震波，分別為Elcent波、Taft波、Holly波、Oakland波、蘭州波、唐山波和人工波。對所選擇的地震波分析可知，除滿足基底剪力的要求外，與振型分解反應譜法所得的曲線對比，前3階主要振型所對應周期點上的地震影響系數，其平均值相差值均滿足小于20%的要求，如圖7所示。

圖7　七條地震波與反應譜影響系數的對比Fig.7　Comparison of seven seismic waves and response spectrum curve

在多遇地震下，采用2個軟件對結構進行反應譜分析，所得的層間位移角相差較小，驗證了Perform-3D中模型的準確性。采用Perform-3D對結構進行反應譜分析和彈性時程分析時，最大層間位移角分別是1/358 和1/323，滿足規范1/250的要求，且分布較均勻，如圖8所示。其他結果均滿足規范要求。

在罕遇地震下，采用非線性動力時程分析方法評估結構的反應。梁采用彎矩鉸，柱采用P-M-M鉸，各鉸的力學性能基于FEMA356[15]確定。

基于Perform-3D軟件，并采用所選擇的7條地震波對結構進行分析可知，各樓層的最大層間位移角從上至下逐漸增大，且沿樓層均勻分布，如圖9所示。其中，唐山波和Oakland波的最大層間位移角分別為1/53和1/58，接近且滿足規范[1]中1/50的要求。因此，從結構的整體層面上分析可知，所設計的結果滿足要求且與預期性能相近。

從圖8和圖9可知：由基于能量的塑性設計方法所設計的鋼框架結構，能簡單、合理地滿足結構的預定功能和相關規范的要求，驗證了所提出方法的準確性。

在Oakland波作用下結構達到極限狀態時，各構件的屈服順序如圖10所示。各樓層梁端逐漸屈服，隨后柱底也發生屈服，且僅底層柱底發生屈服，與預期的屈服機理吻合較好，滿足預期的“強柱弱梁”的設計思想。此外，所設計結構的頂層位移雖未達到預定的目標位移，但最大層間位移角非常接近規范限值，即認為結構達到了預定目標。

圖8　多遇地震下各樓層的層間位移角Fig.8　Interstory drift ratio under frequent earthquake for steel frame

圖9　罕遇地震下各樓層的層間位移角Fig.9　Interstory drift ratio under rare earthquake for steel frame

從圖10還可看出：該鋼框架結構達到極限狀態時，所有樓層中僅有一半梁端發生屈服，且梁每端是先后進入屈服，所耗散的能量也有不同。因此，結構耗能折減系數η取0.5合理。

圖10　罕遇地震鋼框架在目標位移時的塑性鉸分布Fig.10　Plastic hinges distribution under rare earthquake at target drift for steel frames

5　結論

1)采用推導的基于能量的塑性設計方法對鋼框架結構設計時，無需進行復雜的計算和迭代，就能使所設計結構滿足多遇及罕遇地震作用下的屈服機理、目標側移和規范中的相關要求。

2)在所推導的基于能量的塑性設計方法中，考慮耗能折減系數能使結構更簡單、合理地滿足規范要求。

3)基于能量的塑性設計方法可用于設計不同抗震設防烈度下的鋼框架結構。

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[15]FEMA-356.Prestandard and commentary for the seismic rehabilitation of buildings[S].

(編輯羅金花)

Study of energy-based plastic design method on steel frame structures

HU Shujun1,WANG Zhan2
(1.School of Civil Engineering andArchitecture,Nanchang University,Nanchang 330031,China;
2.State Key Laboratory of Subtropical Building Science,South China University of Technology, Guangzhou 510640,China)

The energy-based plastic design method of steel frame structures was proposed based on the‘strong column weak beam’energy dissipation and yield mechanism under the inelastic seismic behaviors.The base shear and lateral force distribution were derived from modified energy balance equation and the code for seismic design of buildings. Moreover,the pre-selected target drift and the reduced energy dissipation coefficient η were also important to the proposed method,and all the elements were obtained by plastic design method.Nonlinear dynamic time-history analysis was carried out by Perform-3D.The results show that the frames with different seismic precautionary intensities designed by the proposed method can exhibit expected functions during frequent and rare earthquake without complicated iteration and calculation.

steel frame;energy balance;plastic design;yield mechanism;reduced energy dissipation coefficient

胡淑軍，博士，從事鋼結構抗震及優化研究；E-mail:husj.1229@163.com

TU393.2，TU973

A

1672-7207(2016)07-2476-09

10.11817/j.issn.1672-7207.2016.07.040

2015-07-18；

2015-09-22

國家自然科學基金資助項目(51378219，51378009)；江西省博士后科研擇優資助項目(2015KY49)(Projects(51378219, 51378009)supported by the National Natural Science Foundation of China;Project(2015KY49)supported by Jiangxi Postdoctoral Foundation OptimumAid)