基于排隊論的離散生產線在制品改善研究*

王肖明，李乃梁，黃啟超，孟英晨，王　涵

(中國礦業大學 礦業工程學院，江蘇 徐州　221116)

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基于排隊論的離散生產線在制品改善研究*

王肖明，李乃梁，黃啟超，孟英晨，王涵

(中國礦業大學 礦業工程學院，江蘇 徐州221116)

針對離散生產線加工過程復雜，在制品堆積較多、等待及加工總時間較長的問題，創造性的提出運用排隊論來具體分析解決。首先分析產線在制品堆積問題，應用排隊論建立在制品排隊等待模型，然后根據實際生產狀況改進現有排隊模型，確定最大在制品規模。同時綜合運用動態規劃方法與均衡化生產方式，建立動態規劃模型，確定不同品種產品加工順序，并提出最佳改善方案，最終達到提高設備利用率，減少加工總時間，實現精益生產的目的。現場實施表明，排隊論在離散問題的解決中發揮重要的作用，為離散制造在制品改善提供了重要的依據。

離散制造；排隊論；動態規劃；均衡化生產；在制品改善

0　引言

隨著工業技術的發展，個性化定制與大規模生產共線，靈活且高效的生產模式將逐漸成為未來制造的主要特點，與此同時還要滿足小批量低成本的競爭優勢。而在個性化制造需求模式下，產品交付及時性對于企業來說至關重要。同時，合理數量的在制品是產線正常運轉的重要保證。因此，對于在制品過多以及生產加工不均衡而導致的加工時間過長的離散生產線，更需要對在制品規模進行改善，確定最佳在制品數量，實現最大效益生產。

排隊論又稱隨機服務系統理論，它是研究如何使資源空閑浪費與排隊現象嚴重之間平衡的一門學科[1]。排隊論研究內容包括排隊系統的隊長分布、等待時間和忙期分布等性態問題，以及排隊系統的統計判斷和最優化問題。目前，研究排隊論在生產系統應用的文獻也有很多。張于賢等運用串聯開排隊網絡理論進行生產線量化分析與改進[2]。趙軼磊等在塑殼斷路器裝配線中應用排隊系統建模，提高生產效率[3]。葉峰等實現了系統仿真與遺傳優化算法的有效結合，優化復雜系統的排隊規則，提高了排隊系統的運行效率。黃一鈞借助排隊論模型建立了AGV物料搬運系統小車數量配置計算模型，完成了最小總成本的目標[4]。而將排隊論應用于制造業離散生產線在制品庫存控制的研究文獻很少，本文針對B公司M生產線在制品堆積嚴重、加工時間過長等問題，將排隊論應用于在制品等待模型中，減少等待在制品數并確定最大在制品規模，然后綜合運用動態規劃方法，建立動態規劃模型，計算出5種產品的加工總時間并提出了均衡化生產方式，達到減少在制品等待時間，提高生產效率，實現精益生產的目的。

1　背景介紹

B公司是一家汽車零配件制造服務公司，主要產品為汽車電子安全系統、座椅安全帶系統、電子控制單元、汽車方向盤等。在實習調查發現，安全氣囊的電子控制單元(Electronic Control Unit，ECU)生產線在制品堆積嚴重，生產效率低下，是現場管理亟需解決的問題。本文以在制品管理混亂較為嚴重的內部通路測試(ICT)和內部數據控制(IDC)生產線為研究對象，運用排隊論與工業工程方法相結合來分析在制品的統計平衡狀態并確定最大在制品規模，同時運用動態規劃方法來確定多品種工件的生產加工順序，減少在制品數，降低總體加工時間，提高生產效率，最終實現均衡化生產。

2　M生產線排隊論模型

2.1M生產線排隊系統

通常排隊系統由輸入過程、排隊規則、服務機構三部分組成。由于不同品種在制品加工時間不同，所以M生產線在制品加工排隊系統是一個相對隨機型排隊系統，其排隊系統模型[5-7]如圖1所示。

圖1　排隊系統結構模型

排隊系統結構即為顧客在服務機構前按排隊規則形成合理的排隊機構。研究排隊系統的主要目的是改進和控制現有系統運行狀況，達到系統運行狀態最佳。將M生產線作為一個隨機排隊系統，首先描述排隊系統的運行狀況，通過各項指標對系統進行改善和控制，合理控制在制品庫存，優化產線布局設置，提高系統的生產效率，使系統的運行狀態達到最佳。

2.2離散生產線排隊模型建立

M生產線目前有IDC、Package兩個工位，共5種工件先后經過兩道工序。經過現場調研并繪制現狀價值流圖，從現狀價值流圖上可以看出IDC工位和Package工位在制品庫存現象嚴重，庫存天數分別為0.257天和0.374天。IDC與上一道工序ICT是兩個離散工藝類型工位，加工模式仍按以前推動式順序加工模式，產線布局不合理，生產過程中缺乏信息交流，造成加工等待現象嚴重或者設備空閑嚴重等浪費。

運用排隊論方法來確定在制品超市的最大在制品規模CWIP，IDC工位的布置方式是ICT加工后的在制品被直接搬運到各臺設備前排隊等待加工，因此，將模型解釋為在制品在每一臺IDC設備前排隊，形成3條獨立的隊列，如圖2所示。

圖2　3條獨立隊列排隊模型

在該排隊系統中，平均到達率實際就是ICT的產出率，而平均服務率就是IDC的加工率。測得ICT的工時是16.84s，IDC的工時是14.38s，在沒有經過Dial table壓合之前，產品內部的電路印刷板(Print Circle Board，PCB)需要成套的運輸，其運輸的載體是彈夾magazine。由于magazine的容量設計為20片，所以成套運輸的單位規模為20片。可以計算出：

平均到達率：λ=1/16.84/20=0.0029magazine/s

平均服務率：μ=1/14.38/20=0.0034magazine/s

當3臺IDC設備同時工作時，該排隊系統設備利用率：

表明IDC設備會完全加工完排隊等待的在制品，且不會造成過多等待產品。

IDC設備空閑率:

P0=1-ρ=0.15

表明在生產過程中，IDC設備處于閑置等待在制品的機會為15%。

每臺加工設備前未加工的在制品的平均排隊等待長度：

在該生產系統中的平均在制品總數(包括等待加工和正在進行加工的在制品數之和)：

2.3離散生產線排隊系統改進

為提高生產效率，減少工位間在制品數量，需要對產線工位布局進行優化。如果在上述生產系統中，其他條件都不變，改變排隊方式，使在制品到達IDC加工臺前排列成一隊進行等待，3臺加工設備同時對單隊列在制品進行加工，即M/M/s排隊模型[8-11]，如圖3所示。

圖3　單隊列多服務臺模型

在優化后的單隊列排隊模型中，平均到達率λ=0.0029×3=0.0087magazine/s。其它參數與三條隊列排隊系統相同，對于這種生產系統參數的分析如下。

通過計算λ/μ=2.56>1，說明安排一臺IDC設備，則到達的在制品不能完全被加工，排列的隊伍將趨于無限長。需要滿足ρ<1(每件在制品都能被加工)，且IDC設備利用率ρ盡可能的大，可知最優的IDC設備數量c為3，則在3臺設備同時工作的情況下，設備利用率：

整個排隊系統IDC設備空閑率：

等待加工的在制品的平均隊列長度：

因此，該生產系統中的平均在制品數為Lx=La+cρ=4.12+2.56=6.68，取整數7個。由此，可以確定在這個排隊過程中系統應該容納合理的在制品數量為7個Magazine，共計140個產品。

2.4排隊系統改進效果

將改進后的單隊列系統模型效果與之前三條隊列模型進行對比，如表1所示。

表1　排隊系統改進效果

從改進效果表1中可以看出，優化后的單隊列模型中IDC設備空閑率P0明顯降低，在制品等待數減少，平均在制品數增加，加工效率顯著提高。

2.5離散生產線系統狀態的建立

通過表達系統狀態的概率為計算隊長、等待時間和平均在制品數等指標提供依據。系統的狀態指生產系統中在制品數，如果系統中有n個在制品表明系統的狀態為n，它的取值可能是：

(1)隊長沒有限制時，n=0，1，2，…；

(2)隊長有限制，最大數為N時，n=0，1，2，…，N；

(3)即時制，后續加工設備個數是c時，n=0，1，2，…，c。

這些狀態的概率一般是隨時刻t而變化，所以在時刻t、系統狀態為n的概率用Pn(t)表示。實施改善后，隨機抽取某時段M生產線ICT、IDC兩工位之間的在制品數量，即M生產線系統的狀態。IDC滿負荷加工數量為60個/min，其工件種類不同但加工工藝相同。記錄統計如表2所示。

表2　在制品數目統計表　個/min

這里只顯示15組數據，實際上記錄的數據有100組。每組統計數據包括正在等待數，IDC加工數，在制品總數。為顯示系統在制品庫存狀態，利用測量數據建立Pn(t)關系式圖，如圖4所示。

圖4　t時刻系統狀態概率

因為t是連續變量，而n只取非負整數，所以建立的Pn(t)的關系式一般是微分差分方程(關于t的微分方程，關于n的差分方程)，其解稱為瞬態解。由于瞬態解很難求出，因此在極限存在的前提下求其極限。

稱為穩態，或稱統計平衡狀態的解。穩態即為當系統進行了無限長的時間運作后，初始(t=0)出發狀態的概率分布(Pn(t),n≥0)的影響將變淡消失，而且系統的狀態概率分布不再隨時間變化，達到穩定平衡的狀態。

3　加工總時間進一步改善

3.1利用動態規劃解決加工總時間問題

3.1.1建立動態規劃模型

動態規劃是研究具有多階決策過程的一類問題，這類問題與時間有關。按整體對于時間與空間的特征聯系劃分成密切相關的各個階段，如圖5所示。將多階段決策問題分解為聯系密切的單階段決策問題，然后按序分析解決，進而求出整個問題的最優決策序列[12-14]。

圖5　多階段決策過程

現以機器設備ICT上更換工件的時刻作為時段，以X表示在設備ICT上等待加工的工件集合。以x表示在設備ICT上最后加工完的工件。以t表示在x在設備ICT上加工完成到設備IDC上加工完所需的時間。

選取(X，t)作為描述設備ICT、IDC在生產過程中的狀態變量。f(X,t,i,j)為由狀態(X，t)開始，在設備ICT上相繼加工工件i與j后，按最優加工順序將X中的產品全部加工完成所需要的時間。因此，由定義可得：

f(X,t,i,j)=ai+aj+f[X/{i,j},zij(t)]

其中zij(t)是在設備ICT上從X出發相繼加工完工件i、j的時刻算起，至在設備IDC上加工完成工件i、j所需時間。

將i，j對調，可得：

f(X,t,j,i)=ai+aj+f[X/{i,j},zji(t)]

zji(t)=max[t-ai-aj+bi+bj,bi+bj-ai,bi]

由于f(X,t)為t的單調上升函數，故當zij(t)≤zji(t)時，按先i后j的加工順序可以使總的加工時間短些。而由zij(t)和zji(t)的關系表達式可知，需要下面不等式成立。最終有：

max(bi+bj-aj,bj)≤max(bi+bj-ai,bi)

min(ai,bj)≤min(aj,bi)

即為工件加工順序先i后j的條件。根據這個條件，得到最優排序。先作工件的加工時間的工時矩陣如下：

3.1.2利用動態規劃解決加工總時間問題

現有5種工件在ICT、IDC設備上加工，加工順序為先ICT后IDC，單個工件所需加工時間如表3所示。

表3　工件工時統計表　/s

因此，工件的加工工時矩陣為：

根據動態規劃最優排序規則，故最優加工順序為：

1→3→5→4→2

總加工時間為8+15+16+12+16=67s。

3.2實現均衡化生產

為進一步改善加工總時間，保證生產效率最大化，需要平衡生產波動，實現均衡化生產[15]。要實現均衡化生產必須保持單位時間內各品種有均等的比率進行生產，同時達到總量與品種的均衡。不均衡是不增值的浪費與員工或設備負荷過重之間波動的結果。因此，實現均衡化生產需要做到：

(1)采用混流生產方式，按平均生產節拍配置人員；

(2)實現快速轉換技術減少切換時間損失；

(3)保持零部件使用量穩定，達到設備和人力負荷穩定化；

(4)制定周生產計劃、月生產計劃來維持生產與實際需求的均衡；

(5)加強操作員工的培訓，實現員工多能工操作。

4　結論

本文以在制品管理混亂較為嚴重的M離散型生產線，即內部通路測試(ICT)和內部數據控制(IDC)生產線為研究對象，運用排隊論與工業工程方法相結合來分析控制在制品的統計平衡狀態，將排隊系統三條隊列改為單隊列排隊，減少在制品數并確定最大在制品規模，同時運用動態規劃方法來確定多品種工件的生產加工順序，降低總體加工時間，提高生產效率，最終實現均衡化生產。

實踐表明，排隊論在解決離散生產線在制品庫存控制問題方面具有獨特作用，也為離散制造企業產線平衡分析提供重要依據。

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(編輯李秀敏)

Research on Inventory of WIP Improve in Discrete Production Line Based on the Queuing Theory

WANG Xiao-ming，LI Nai-liang，HUANG Qi-chao，MENG Ying-chen，WANG Han

(School of Mines，China University of Mining and Technology，Xuzhou Jiangsu 221116，China)

According to the complexity of discrete production line process, more WIP,longer total time processing,creative proposed the use of queuing theory to solve the specific analysis.First analysis of production line of work in process accumulation,application of queuing theory to establish the WIP queuing model and according to the actual production condition improved existing queuing model to determine the largest WIP.Then comprehensive using the dynamic programming method and balanced production, dynamic programming model is established,determine the different varieties of products processing sequence,and the best improvement scheme is put forward, and ultimately to improve equipment utilization rate,reduce the total processing time,achieve the purpose of lean production.Site implementation shows that queuing theory plays an important role in the solution of the discrete problem,and provides an important basis for discrete manufacturing WIP improvement.

discrete manufacturing;queuing theory;dynamic programming;balanced production;WIP improvement

1001-2265(2016)07-0139-04DOI:10.13462/j.cnki.mmtamt.2016.07.039

2016-02-27

江蘇省青年自然科學基金(BK20150197)

王肖明(1991—)，男，山東青島人，中國礦業大學碩士研究生，研究方向為精益生產、質量管理，(E-mail)wxmyyall@163.com。

TH140；TG506

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