賞析2015年高考客觀題中的定義閱讀題

浙江省金華市第六中學　(321000)

虞　懿

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賞析2015年高考客觀題中的定義閱讀題

浙江省金華市第六中學(321000)

虞懿

定義閱讀題是通過新定義一種函數、運算、集合、符號、性質等，要求學生在短時間內閱讀并理解試題所給的新型定義，進而解決問題的一種重要題型．定義閱讀題常以“新定義”為載體考查學生學習新知識的能力，特別是能將所學知識與方法遷移到不同情境中，進而考查學生的理性思維和數學素養．下面采擷幾道典型試題并予以深度解析，旨在探索題型規律，揭示解題方法．

一、定義新函數

“定義新函數”試題是指在現有的函數的圖像和性質的基礎上定義一種新的函數性質等，即給出一定容量的新信息，并運用它解決一些問題．

A．|x|=x|sgnx|B．|x|=xsgn|x|

C．|x|=|x|sgnxD．|x|=xsgnx

解析：當x>0時，|x|=x,sgnx=1,則|x|=xsgnx;當x=0時，|x|=x=0,sgnx=0,則|x|=xsgnx;當x<0時，|x|=-x,sgnx=-1,則|x|=xsgnx,故選D．

評注：破解新定義函數題的關鍵是：緊扣新定義函數的含義，學會語言的翻譯，新舊知識的轉化，便可使問題順利獲解．

A．sgn[g(x)]=sgnx

B．sgn[g(x)]=-sgnx

C．sgn[g(x)]=sgn[f(x)]

D．sgn[g(x)]=-sgn[f(x)]

評注：本題主要考查符號函數、函數的單調性，意在考查考生分析問題、解決問題的能力．

例3(2015年湖北卷理10)設x∈R,[x]表示不超過x的最大整數．若存在實數t,使得[t]=1,[t2]=2,…,[tn]=n同時成立，則正整數n的最大值是().

A．3B．4C．5D．6

評注：取整函數[x]是一個非常重要的數學概念，其定義和性質非常簡單，正因為如此，在解決與之相關的問題時，可以依據的命題、法則不多，規律性不明顯，但解法變化大，靈活性強．需要用到多種數學思想方法，其中較為常見的有分類討論(例如對區間進行劃分)、命題轉換(例如等式轉化為不等式)、數形結合等．

二、定義新符號

“定義新符號”試題是指在現有的符號的基礎上定義一種新符號，運用它解決一些新的問題．

例4(2015年廣東卷文10)若集合Ε={(p,q,r,s)|0≤p

A．50B．100C．150D．200

解析：當s=4時，p,q,r都是取0,1,2,3中的一個，有4×4×4=64種；當s=3時，p，q,r都是取0,1,2中的一個，有3×3×3=27種；當s=2時，p,q,r都是取0,1中的一個，有2×2×2=8種；當s=1時，p,q,r都取0，有1種，所以card(Ε)=64+27+8+1=100.當t=0時，u取1,2,3,4中的一個，有4種；當t=1時，u取2,3,4中的一個，有3種；當t=2時，u取3,4中的一個，有2種；當t=3時，u取4，有1種，所以t,u的取值有1+2+3+4=10種，同理，v,w的取值也有10種，所以card(F)=10×10=100，所以card(Ε)+card(F)=100+100=200.故選D．

評注：求解此類以符號新定義包裝的判斷集合的元素個數題的關鍵是過好兩關：第一關：理解關，即準確理解符號的數學意義，并能適時進行符號語言、文字語言、圖象語言間的轉譯；第二關：分類討論關，即對集合中的元素所具有的特點進行分類討論．

例5(2015年浙江卷理6)設A,B是有限集，定義d(A,B)=card(A∪B)-card(A∩B),其中card(A)表示有限集A中的元素個數.

命題①：對任意有限集A,B,“A≠B”是“d(A,B)>0”的充分必要條件；命題②：對任意有限集A,B,C,d(A,C)≤d(A,B)+d(B,C).則().

A.命題①和命題②都成立

B.命題①和命題②都不成立

C.命題①成立，命題②不成立

D.命題①不成立，命題②成立

解析：由題意，d(A,B)=card(A)+card(B)-2card(A∩B)≥0,對于命題①，A=B?card(A∪B)=card(A∩B)?d(A,B)=0,所以A≠B?d(A,B)>0,命題①成立．對于命題②，由韋恩圖易知命題②成立，下面給出嚴格證明：d(A,C)≤d(A,B)+d(B,C)?card(A)+card(C)-2card(A∩C)≤card(A)+card(B)-2card(A∩B)+card(B)+card(C)-2card(B∩C)?card(A∩C)≥card(A∩B)+card(B∩C)-card(B)?card(A∩C)≥card[(A∪C)∩B]-card(A∩B∩C)-card(B).因為card(A∩C)≥0且card[(A∪C)∩B]-card(A∩B∩C)-card(B)≤0,故命題②成立．故選A.

評注：本題主要考查集合的新定義問題，考生需要運用數形結合思想進行檢驗推證，特別是對于命題②的推理需要分類討論．

三、定義新運算

“定義新運算”試題是指在現有的運算法則和運算律的基礎上定義一種新的運算，運用它解決一些問題．該題型常以數學新的運算符號形式出現，如定義新的運算符號“?、⊕、⊙、*”等．

評注：本題是新定義閱讀題，主要考查利用基本不等式求最值等有關知識，考查考生的閱讀理解能力和運算求解能力．

例7(2015年福建卷理15)一個二元碼是由0和1組成的數字串x1x2…xn(n∈N*),其中xk(k=1,2,…,n) 稱為第k位碼元，二元碼是通信中常用的碼，但在通信過程中有時會發生碼元錯誤(即碼元由0變為1，或者由1變為0)．

現已知一個這種二元碼在通信過程中僅在第k位發生碼元錯誤后變成了1101101，那么利用上述校驗方程組可判定k等于_________．

解析:由題意得相同數字經過運算后為0,不同數字運算后為1.由x4⊕x5⊕x6⊕x7=0可判斷后4個數字出錯，由x2⊕x3⊕x6⊕x7=0可判斷后2個數字沒錯，即出錯的是第4個或第5個數字，由x1⊕x3⊕x5⊕x7=0可判斷出錯的是第5個數字.綜上，第5位發生碼元錯誤．

評注：本題考查新定義、推理等基礎知識，意在考查考生處理新定義問題的能力、推理論證能力以及運算求解能力．求解此類問題的關鍵是讀懂新定義，在領會新定義的基礎上，明晰新定義的內涵和外延，將其轉化并運用到新情境中，進而判斷參數k的值．

四、定義新集合

“定義新集合”試題是指定義一個新集合，其元素滿足某些條件，解此類問題旨在考查對集合中元素特征的研究以及數學解題思想的運用能力．

例8(2015年湖北卷理9、文10)已知集合A={(x,y)|x2+y2≤1,x,y∈Z},B={(x,y)||x|≤2,|y|≤2,x,y∈Z},定義集合A⊕B={(x1+x2,y1+y2)|(x1,y1)∈A,(x2,y2)∈B},則A⊕B中元素的個數為().

A．77B．49C．45D．30

解析：由題意知，A={(x,y)|x2+y2≤1,x,y∈Z}={(1,0),(-1,0),(0,0),(0,1),(0,-1)},B={(x,y)||x|≤2,|y|≤2,x,y∈Z},所以由新定義集合A⊕B可知，x1=±1,y1=0或x1=0,y1=±1.當x1=±1,y1=0時，x1+x2=-3,-2,-1,0,1,2,3,y1+y2=-2,-1,0,1,2,所以此時A⊕B中元素的個數有7×5=35個；當x1=0,y1=±1時，x1+x2=-2,-1,0,1,2,y1+y2=-3,-2,-1,0,1,2,3,這種情形下和第一種情況下除y1+y2的值取-3或3外均相同，即此時有5×2=10,由分類計數原理知，A⊕B中元素的個數為35+10=45個，故應選C.

評注：本題主要考查集合的新定義問題，意在考查考生的閱讀理解能力與數據處理能力．

感悟：結合上述高考試題，可歸納出定義閱讀題的求解通常分三大步驟進行：(1)對新定義進行信息提取，確定化歸方向；(2)對新定義所提取的信息進行加工，探究解決方法；(3)對新定義中提取的信息進行轉換，有效地輸出．其中對新定義信息的提取和化歸轉化是求解的關鍵，也是求解的難點．