將基本幾何性質融入解幾運算
——從一道調研題談解析幾何的解題教學

江蘇省東臺市安豐中學　(224221)

楊志青

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將基本幾何性質融入解幾運算
——從一道調研題談解析幾何的解題教學

江蘇省東臺市安豐中學(224221)

楊志青

1.一道“是非”題

考題在平面直角坐標系xOy中，已知圓C:x2+(y-1)2=5，點A為圓C與x軸負半軸的交點，過A作圓C的弦AB，記線段AB的中點為M，若OA=OM，則直線AB的斜率為_________.

這是2015屆南京市、鹽城市高三第二次調研考試的第12題(注：填空題共計14道小題，每題5分).考生普遍反映該題運算量太大，時間來不及，只能放棄，因而，這道題的得分率相當低，我校人均得分不足0.5分.

這道題也是這次調研考試后議論的焦點.教師對這道題的褒貶不一，大多數教師認為這道題有點“過分”，對于填空題第12題，大多數考生是要力爭完成的，而這道題這么大的運算量，嚴重影響考生的整場考試，若是第13、14題，還好一點；也有少數教師認為這道題還不錯，方法用得巧，很快就能完成.在此，筆者暫不發表個人觀點，先談談個人的解題認識.

2.解法分析

法一:(解析法)如圖1，顯然直線AB的斜率存在.設直線AB：y=k(x+2)，代入圓C方程，整理得(1+k2)x2+2k(2k-1)x+4k2-4k-4=0，

圖1

解析法是高中數學學習的重點，但用解析法解這道填空題，運算量確實有點大，若是中等難度的解答題，倒差不多.幾何法解這道題很簡單，但靈活性強，學生的幾何性質遺忘多，而且也不是高中學習的重點，考生不易想到幾何法.這也是不少教師認為作為填空題不適合的原因.

現在的問題是能不能折中處理：將幾何法融入到解析法中去，以此簡化運算，并且所使用的幾何性質是基本的、學生容易想到的？基于此思考，筆者得出方法三.

法三:先根據題設，運用簡單的幾何知識，得出一些性質.∵M為弦AB的中點，∴CM⊥AB，∵OA=OM，取AM中點N，則AM⊥ON，∴yM=2yN，ON∥CM.接下來，進行解析運算.

解法三運用了初中最基本的兩個幾何性質：圓的“垂徑定理”與等腰三角形的“三線合一”，高中生對此仍然很熟悉.隨后要求解兩個二元一次方程組，運算不難.方法三是該調研題自然合理的解法，是對考生有幫助的一種思維方法.基于此，該題作為填空題的第12題，也不能說不合理，筆者甚至認為，這是一道好題！

3.解題教學思考

上述解法三思路并不復雜，為什么考生想不到？不少教師也想不到？文[1]對該題的“多維辨析”的八種方法也未提到該方法，這說明我們很多教師處理解幾問題時，思維方法的分割嚴重，要么解析法、要么幾何法，而缺少一種思維意識：將基本幾何性質的運用融入到解析運算中去.如此，我們的解析幾何的解題教學就存在一點問題了，學生的低得分率也就不足為怪！

解析幾何解題教學的核心當然是解析法，主要是用代數運算得到幾何結論，而幾何法則是由幾何性質結合題設推理得出幾何結論，這不是解幾教學的重點.需要注意的是，解析法與幾何法不是不相容的，我們的解題教學可以將幾何法融入到解析法中，以減少運算量.

當然，筆者認為幾何法融入度不要大，要適度.幾何法有時能發揮奇效，教師的分析，學生也能聽得懂，但太靈活，碰到具體問題，很多學生還是想不到，效果不會好.我們所期望的是，適度融入最基本的幾何性質，如關于圓、三角形、直線等初中教材要求的基本性質，以及高中學習的圓錐曲線的定義，并且在推理時不深挖，目的是得出一些顯而易見的結論，為解析法減輕運算.

上述關于解析幾何的解題教學的道理很淺顯，關鍵是我們教師要有這種解題意識，并作為一種思考方法在教學中滲透給學生，從而增加解析幾何解題教學的實效，切實提高考生解幾題的得分率.

4.案例剖析

上述解題教學建議是否合理？實用性強不強？帶著這兩個問題，筆者對2015年高考數學的全部解幾題進行了分析，發現部分試題適當運用幾何性質，確實能減少運算量，有助于提高解題速度和運算的準確率.限于篇幅，選取了3道解答題進行剖析說明.

案例1(2015高考新課標Ⅱ卷理科第20題)已知橢圓C:9x2+y2=m2(m>0)，直線l不過原點O且不平行于坐標軸，l與C有兩個交點A，B，線段AB的中點為M．

(Ⅰ)證明：直線OM的斜率與l的斜率的乘積為定值；

簡析:第(Ⅰ)題用點差法可得斜率之積為-9；第(Ⅱ)題需要選擇平行四邊形的判定方法，由于線段AB的中點為M，第(Ⅰ)題得到kABkOM=-9，利用這個結論，易想到對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，只要M為OP中點即可.

(Ⅰ)求橢圓E的方程；

(Ⅰ)求橢圓C的方程；

以上3個案例所用到的幾何性質不復雜，學生都能輕松發現，問題是學生要有這種適度使用幾何法的思維意識，這需要我們教師在解題教學中逐步培養.

[1]徐愛勇.對一道考題的多維辨析與深層思考[J].中學數學教學參考：上旬，2015(7)：32-33.