對一道解幾與數列交匯試題的探究

安徽省寧國中學　(242300)

陳曉明

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對一道解幾與數列交匯試題的探究

安徽省寧國中學(242300)

陳曉明

圖1

(1)求直線l的方程；

(2)若a1=0，求圓C1的方程；

(3)若a1=0，求數列{an}的通項公式．

圖2

(1)證明：{rn}為等比數列；

變式題再現(“江淮十校”2016屆高三第一次聯考數學理科壓軸題)(以下簡稱試題3)：

如圖3,在xOy平面上有一系列點P1(x1,y1),P2(x2,y2),…,Pn(xn,yn),…對每個正整數n，點Pn位于函數y=x2(x≥0)的圖像上，以點Pn為圓心的圓Pn與x軸都相切，且圓Pn與圓Pn+1又彼此外切.若x1=1，且xn+1

圖3

試題對比試題2與1，3的區別主要是圓心：

(2)離原點越來越遠(試題1，2)變到離原點越來越近(試題3)．

試題1解法探究

解法1反思：(1)通性通法，樸素自然，由三個條件得三個結論，聯立得解，一目了然；(2)考查了直線與圓，圓與圓相切的性質，點到直線的距離公式，線性規劃，由數列遞推公式求通項公式的方法；(3)考查了消元的思想，轉化與化歸的能力．

解法2反思：(1)運用了角平分線定理的逆定理對條件進行了轉化，化復雜為簡單，巧妙！與解法1可謂異曲同工；(2)靈活運用直線斜率與傾斜角的關系，從而引入直線的點斜式方程，滲透了方程思想；(3)由數列的遞推公式轉化為等比數列來求通項公式，抓住了問題本質．

解法3：如圖1，過點Cn向Cn+1An+1作垂線CnDn+1，垂足為Dn+1．易知∠Cn+1CnDn+1=30°．

解法4反思：巧妙避開了累加法，充分利用解三角形知識，簡單易行！

解法小結及啟示通過上述解法可看出，試題1對解幾與數列中的諸多知識點都有考查，覆蓋面可謂“超廣”！是一個解幾與數列交匯的典范！

正如著名數學教育家波利亞所說：“一個專心的認真備課的老師能夠拿出一個有意義的但又不太復雜的題目，去幫助學生挖掘問題的各個方面，使得通過這道題，就像通過一道門戶，把學生引入一個完整的理論領域”．[2]

陶哲軒在《解題· 成長·快樂》序言中引用古希臘哲學家普羅克洛斯的話：“這，就是數學：她提醒你靈魂有不可見的形態；她賦予自己的發現以生命；她滌盡我們有生以來的蒙昧與無知……”[3]．

[1]陳曉明．對一道數列題的追根溯源及拓展研究[J]．理科考試研究，2015(5)：19.

[2]于世章．挖掘課本習題價值上好復習課[J]．數學通報，2014(12)：36.

[3]張曉東．說題與數學青年教師的專業成長[J]．中學數學教學參考，2015(3)：67.