平面截圓錐(圓柱)的截口曲線
——對2015年浙江高考數學文科第7題的探究

浙江省嘉興市第一中學　(314500)

吳旻玲　沈新權

?

平面截圓錐(圓柱)的截口曲線
——對2015年浙江高考數學文科第7題的探究

浙江省嘉興市第一中學(314500)

吳旻玲沈新權

一、試題呈現

圖1

如圖1，斜線段AB與平面α所成的角為60°，B為斜足，平面α上的動點P滿足∠PAB=30°，則點P的軌跡是( ).

A．直線B．拋物線

C．橢圓D．雙曲線的一支

二、試題解析

此題是2015年浙江省高考數學文科的第7題，主要考查圓錐曲線的定義，考查學生的空間想象能力．第一眼看到此題，感覺似曾相識，因為類似的問題曾在2008年浙江省高考數學理科試卷中出現過(見文后的試題鏈接)，但仔細思考以后我們就發現它們又是有差別的，2008年的試題考查的是用一個與圓柱的軸不垂直的平面去截圓柱所得的截口曲線的軌跡，而這個問題中的AP是以AB為軸的圓錐的母線，且母線與圓錐的軸的夾角為30°，要求的則是用一個平面α(直線AB與平面α所成的角為60°)去截此圓錐所得的截口曲線的軌跡．命題看似俗套卻又不乏新穎，而且試題的命題背景源于教材．人教A版選修2-1第二章《圓錐曲線》的章頭引言里有這樣一句話：“用一個不垂直于圓錐的軸和平面截圓錐，當截面與圓錐的夾角不同時，可以得到不同的截口曲線，它們分別是橢圓、雙曲線、拋物線．”因此，此題的答案可能是橢圓，也可能是雙曲線、拋物線，對大多數考生來講，它是一道“熟悉的陌生題”，是一道既能夠考查學生用幾何知識求點的軌跡的能力的試題，也能夠考查學生用代數(向量)方法來求解點的軌跡的能力的試題，因此，作為高考試題來講，它是一道不可多得的好題目，但對不少考生來說，它則是一道具有一定挑戰性的題目．

三、試題解法

方法一：由于試題是選擇題，而且答案唯一，所以我們可以用排除法來找到答案．

圖2

如圖2，若記點A在平面α內的射影為M，則∠MAB=30°，所以點M在所求軌跡上，延長MB至N，使AB=BN，則∠NAB=30°，因此點N在所求軌跡上，在運動過程中，點P將從點M運動到點N，且必為封閉圖形．因此，排除選項A、B、D，答案為C．

圖3

方法二：易知，點P在以AB為軸的圓錐上，該圓錐的母線與軸成30°．因為點P在平面α內，因此P的軌跡是平面α截該圓錐所得截口曲線．因為平面α與軸成60°，根據直觀的感覺，我們知道這個曲線是橢圓(如圖3)，原因是什么呢?下面我們先用坐標法來證明截口曲線為橢圓．

圖4

四、試題推廣

1.問題提出

若把試題中的斜線段AB與平面α所成的角以及圓錐的母線與軸所成的角一般化，那么結果又會怎么樣？即若設斜線段AB與平面α所成的角為θ(0°≤θ≤90°)，∠PAB=φ(0°<φ<90°)，則點P的軌跡是什么？

2.坐標法求解

分析：(1)若線段AB與平面α垂直(θ=90°)，也即用一個與底面平行的平面去截一個圓錐，顯然，所得截口曲線為圓．

3.一般結論

我們把平面截圓錐問題先降維到二維空間，可得到直線截三角形(如圖5)的一般結論：

圖5

結論1在平面中，AD是等腰ΔABC底邊上的高，∠BAD=θ，直線l與AD的夾角為φ，則(1)θ>φ時，直線l與AB(或AB延長線)、AC均相交；(2)θ=φ時，直線l與AB不相交；(3)θ<φ時，直線l與BA的延長線、AC均相交．

類似地，若將等腰三角形拓廣為圓錐、直線拓廣為平面，那么在三維空間中，結合前面的分析，可得到：

圖6

結論2在空間中，直線l與l′相交于O點，其夾角為φ，直線l′圍繞直線l旋轉得到以O為頂點、l′為母線的圓錐面，平面α(不過圓錐的頂點)與軸l所成角記為θ(0°≤θ≤90°)，則(1)若θ=90°，平面α與圓錐的交線為圓；(2)若θ<90°，①θ>φ時，交線為橢圓；②θ=φ時，交線為拋物線；③θ<φ時，交線為雙曲線．如圖6所示．

4.幾何證明

對于結論2，上文已用坐標法給出了證明，下面我們將從幾何定義出發來證明．

我們把兩個球嵌入圓錐的內部，分別位于平面α的上、下方，并且與平面α及圓錐都相切(這兩個球也稱為Dandelin雙球)．這里僅證明橢圓和雙曲線的情況．

圖7

當θ>φ時，設兩個球與平面α的切點分別為F1,F2，與圓錐相切于圓S1,S2．在截口的曲線上任取一點P，連接PF1、PF2，如圖7所示．過點P作母線分別交圓S1,S2于點Q1,Q2，于是PF1,PQ1是從P出發的兩條切線，因此PF1=PQ1，同理，PF2=PQ2．所以，PF1+PF2=PQ1+PQ2=Q1Q2(定值)．因此，截口的曲線是以F1,F2為焦點的橢圓．

圖8

當θ<φ時，平面α與圓錐的上下兩個部分都相交，如圖8所示．此時，在圓錐上下部分切入Dandelin球，則|PF1-PF2|=|PQ1-PQ2|=Q1Q2(定值)．因此，截口的曲線是以F1,F2為焦點的雙曲線．

5.焦點-準線的定義證明

比利時數學家G.F.Dandelin還用這個模型證明了圓錐曲線幾何定義與焦點-準線定義的等價性，下面我們介紹焦點-準線的定義證明．

圖9

圖10

若取曲線上任意一點P，則∠APB=θ，∠Q1PB=φ，因此∠APB=∠Q1PB，所以PA=PQ1，又PQ1=PF，所以PA=PF．即點P到直線m的

距離PA與它到點F的距離相等，因此點P的軌跡是一條拋物線．

圖11

五、試題鏈接

(2008年浙江高考卷理科第10題)如圖11，AB是平面α的斜線段，A為斜足，若點P在平面α內運動，使得ΔABP的面積為定值，則動點P的軌跡是().

A．圓B．橢圓

C．一條直線D．兩條平行線

圖12

分析：若ΔABP的面積為定值，由于線段AB的長度固定，因此點P到直線AB的距離為定值，即點P在以AB為軸的一個圓柱面上．所以，本題的本質在于討論用一個平面截圓柱面，截口是什么曲線．我們知道，拿一個平面去截圓柱，若平面與圓柱的軸垂直，則截口曲線為圓；若平面與軸平行，截口曲線為矩形；若平面與軸既不平行也不垂直，則截口曲線為橢圓．因此答案為B．

下面，我們也用前文提到的雙球模型來證明截口為橢圓的情況．

設平面α是與圓柱的軸既不平行也不垂直的一個平面，它與圓柱側面相交．在圓柱中放入兩個小球，使它們分別與圓柱側面、底面和平面α都相切，如圖12所示．記上下兩個小球與平面α的切點分別為F1、F2，與圓柱面的交線分別為圓S1、S2．在截口曲線上任取一點P，過點P作與軸平行的直線分別與圓S1、S2交于點Q1、Q2．則有PF1+PF2=PQ1+PQ2=Q1Q2(定值)，因此點P的軌跡是以F1、F2為焦點的橢圓．

[1]金衛國．”切香腸”與”Dandelin雙球”[J] ．高中數學教與學．2011(5).

[2]周之夫．圓錐截線特征的新證[J] ．數學通報．1998(1).

[3]項武義．圓錐截線的故事[J] ．中學數學月刊．2004(4).

[4]陳麗萍．平面截圓柱生成截口曲線為橢圓的相關問題[J] ．課程教育研究．2015(3).