一道高考解三角形試題的多解與感悟

北京市第十二中學　(100071)

劉　剛　趙　毅

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一道高考解三角形試題的多解與感悟

北京市第十二中學(100071)

劉剛趙毅

三角內容在高中數學中占有重要的地位，是高考的重點．三角中的許多問題，如求值、恒等式(不等式)的證明等，不僅能用代數法解決，還可以找到它的幾何模型，利用幾何法解決．這不僅可以使學生體會數形結合這一重要的數學思想，深刻認識三角問題的本質；還可以培養學生綜合運用數學知識來解決問題的能力，提高解題的靈活性．下面以一道高考求角試題為例，進行解法剖析與變式梳理，以此豐富我們的教學思路．

1.試題

例1(2015湖南，文17)設ΔABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,a=btanA.

(Ⅰ)證明：sinB=cosA；

2.試題特點

本題是一道解三角形問題，主要考查正(余)弦定理、和差角公式、二倍角公式、誘導公式等知識以及三角恒等變換中的數學思想方法，檢驗學生的推理與計算能力．已知條件中邊、角同時存在，通常這類問題有兩種解法：邊化角或角化邊，使得邊角進行統一，本題邊化角較容易轉化，從而證明(Ⅰ)問．(Ⅱ)問既可以通過三角恒等變換用代數法解決，也可以構造圖形用幾何法解決，考查學生的創新能力．

3.解法分析

(Ⅰ)略，(Ⅱ)解法如下：

思路一、代數法

點評:由于A,B,C在已知等式中都有，且它們的和為π，因此可以消元進行求解．消掉哪一個角呢？如果消A或B，那么sinAcosB在展開后就變為3次，那后面就更難求解了，因此可以消掉C，也就是sinC可以用sin(A+B)表示， 在展開后可以與sinAcosB進行合并，這樣問題就可以得到解決，所以要結合代數式的特點進行消元．

點評:解法2還是進行消元處理，結合已知條件得到有兩個角可以用剩下的一個角表示，這樣就得到了關于這個角的方程，然后再利用誘導公式、二倍角公式進行求解．

點評:解法3從等式結構特點出發，先利用積化和差公式變為一次的形式，通過合并再利用和差化積公式進行消元，變換技巧強，對學生的計算、推理能力是一種考驗．

思路二、幾何法

圖1

點評:解法4通過構造直角三角形，把涉及到的三角函數都用邊來表示，然后找出邊的關系，從而使問題得以解決．

圖2

點評:解法5充分利用角A,B之間的關系，過點B構造出一個直角，則剩下的角與A相等，由此分析圖形特點進而得出答案．

圖3

點評:解法6通過化斜為直，分析圖形特點，把三角函數都用邊來表示，找出內在關系，又進一步得到了函數值之間的關系，體現了數形結合的思想方法．

圖4

點評:解法通過作垂直、平行線等添加輔助線方法，利用圖形特征，借助三角形相似、勾股定理等平面幾何知識使問題得以解決，綜合性強．

本題(Ⅱ)問通過代數法和幾何法使問題得以解決．代數法就是運用定義、公式、定理等知識進行代數運算，從而求得答案，具有模式化、套路化、對計算能力要求高等特點．幾何法就是適當添加輔助線構造基本圖形，利用圖形特點，運用平面幾何知識進行解答，計算量通常較小．本題(Ⅱ)問在運用幾何法的過程中，通過化斜為直解題，令人耳目一新，回味無窮，強化了學生數形結合的解題思想．

4　變式梳理

在高考解三角試題中，很多題目都可以化斜為直運用幾何法進行解決，不僅可以避免三角變換中解題技巧，還可以減少計算量，往往能取得較好的效果，下面再舉幾例進行說明．

(Ⅰ)求tanC的值；

(Ⅱ)若ΔABC的面積為3，求b的值．

圖5

點評:在作高時注意判斷要作哪一條邊上的高，本題求角C的函數值，另外角A已知，因此過點B作三角形的高比較容易解決問題．另外還要注意判斷作垂線時垂足的位置．

圖6

點評:本題如果直接考慮代數法，計算量會很大，很多學生解不對或求不出．但如果是結合已知條件作一條高效果就大不一樣了，因此在解題時一定要注意分析圖形特點，適當添加輔助線，然后再代數計算，這是一種常用的思維方式．

例4(2015全國Ⅰ，理16)在平面四邊形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，則AB的取值范圍是.

解析:如圖7，延長BA，CD交于點E，平移AD，

圖7

點評:在解題過程中要注意分析角之間的關系，由此構造了含45°角的直角三角形，使得問題的解決大大得到了簡化．

5　解題感悟

本文介紹了代數法、幾何法在解三角形試題中的應用．實際上，相當多的題目并沒有明顯的幾何特征，用幾何方法是比較困難的，往往要用代數法進行解決．在解題過程中這兩種方法并不是獨立的，通常先用幾何法挖掘圖形特點，適當添加輔助線，然后再用代數法進行解決，這就是通性通法．教師要注意這方面的引導，這樣才能取得較好的解題效果，才能揭示問題的本質，從而提升解題的針對性．