淺議逆用函數求導公式解題

韓永權

摘要：在使用數學公式解題時，我們可以正用公式、逆用公式、變形使用公式。如兩角和與差的三角公式逆用，引出了輔助角公式；線性規劃的目標函數，常見的有截距、距離、斜率公式的逆用；求定積分的運算就是求導公式的逆用尋找原函數；利用求導的方法可以解決函數的許多性質，如果能熟練逆用求導公式，就可以起到事半功倍的效果。

關鍵詞：導數公式逆用；利用公式解題；熟練逆用公式

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2015）11-0093

本文通過對求導數公式的逆用、構造新函數，并結合函數的單調性、奇偶性來解決問題，希望對大家有所幫助，不妥之處請同行批評指正。

一、常見的函數求導公式

1. 兩個函數和差的導數公式[f（x）±g（x）]′=f′（x）±g′（x） 2. 兩個函數積的導數公式[f（x）·g（x）]′=f′（x）g（x）+f（x）g′（x） 3. 兩個函數商的導數公式[ ]′=

二、對靈活求導公式的舉例

類型一：差導數公式逆用

例1. 設函數f（x），g（x）在[a，b]上均可導，且f′（x）>g′（x），則當a

A. f（x）>g（x） B. f（x）

C. f（x）+g（a）> g（x）+f（a） C. f（x）+g（b）> g（x）+f（b）

解：構造F（x）=f（x）-g（x），則F′（x）=f′（x）-g′（x）>0，∴F（x）為增函數，

∴F（a）

即f（a）-g（a）g（x）+f（b），選D

類型二：積的導數公式逆用

例2. 設f（x），g（x）分別是定義在R上的奇函數和偶函數，當x<0時，f′（x）g（x）+f（x）-g′（x）>0.且g（1）=0.則不等式f（x）g（x）<0的解集是 。

解：構造F（x）=f（x）g（x），則F′（x）=f′（x）g（x）+f（x）g′（x）>0，∴當x<0時，F（x）為增函數，又F（x）為奇函數，由g（1）=0，得F（1）-F（-1）=0，結合F（x）的圖象可得F（x）<0的解集為（-∞，-1）∪（0，1）

例3. 設函數f（x）是定義在（-∞，0）上的可導函數，其導函數為f′（x），且有f（x）+xf′（x）0的解集為（ ）

A. （-∞，-2012） B. （-2012，-0）

C. （-∞，-2016） D. （-2016，0）

解：構造F（x）=xf（x），由f（x）+xf′（x）F（-2），又F（x）在（-∞，0）是減函數，∴x+2014<-2，即x<-2016，故選C。

例4. 設f（x）是定義在R上的可導函數，且滿足f（x）+xf′（x）>0.則不等式f（ ）> f（ ）的解集為 。

解：構造h（x）=xf（x），因為f（x）+xf′（x）>0，h′（x）=[xf′（x）]>0，h（x）在定義域上遞增函數，所以 f（ ）> f（ ），∵x≥1，∴ > ，x<0，解集為[1，2）

例5.設函數f（x）是定義在（-∞，0）上的可導函數，其導函數為f′（x），且有2f（x）+xf′（x）>x2，則不等式（x+2014）2f（x+2014）-4f（-2）>0的解集為（ ）

A. （-∞，-2012） B. （-2012，0）

C. （-∞，-2016） D. （-2016，0）

解：構造F（x）=x2f（x），由2f（x）+xf′（x）>x2，x<0，得2xf（x）+x2f′（x）0，F（x）在（-∞，0）是減函數，所以由F（2014+x）>F（-2）得，2014+x<-2，即x<-2016，故選C。

類型三：商的導數公式逆用：當出現導數差的形式時，可以考慮商的求導公式

例6.已知f（x）函數是定義在R上的奇函數，f（1）=0， 當x>0時，有 >0成立，則不等式f（x）>0的解集是（ ）

A. （-1，0）∪（1，+∞） B. （-1，0）

C. （1，+∞） D. （-∞，-1）∪（1，+∞）

解：構造F（x）= 由當x>0時，有 >0成立，知函數F（x）= 的導函數F′（x）= >0在（0，+∞）上恒成立，所以函數F（x）= 在（0，+∞）上是增函數，又因為函數f（x）是定義在R上的奇函數，所以函數F（x）= 是定義域上的偶函數，且由f（1）=0得F（-1）=F（1）=0，由此，由F（x）= 的圖象，可知不等式f（x）>0的解集是（-1，0）∪（1，+∞）。故選A。

例7. 函數f（x）是R上的可導函數，x≠0時，f′（x）+ >0，則函數g（x）=f（x）+ 的零點個數為（ ）

A. 3 B. 2 C. 1 D. 0

解：構造函數F（x）=xf（x），F′（x）=f′（x）x+f（x），由f′（x）+ >0得， >0，當x>0時，F′（x）>0，F（x）為增函數，當x<0時，F′（x）<0，F（x）為減函數，由F（0）=0，得F（x）≥0時，g（x）=f（x）+ = = 無零點

例8. 設函數F（x）= 是定義在R上的函數，其中f（x）的導函數為f′（x），滿足f′（x）

A. f（2）e2f（0），f（2012）

C. f（2）>e2f（0），f（2012）>e2012f（0） D. f（2）e2012f（0）

解：構造F（x）= ，由f′（x）

例9. 設函數f（x）是定義在（-∞，0）上的可導函數，其導函數為f′（x），f′（x）>f（x），且f（3）=1，解不等式f（x）>ex-3

解：構造g（x）= ，則g′（x）= ，因為f′（x）>f（x），所以g′（x）>0；即函數g（x）在R上為增函數，g（x）>g（3），∴不等式f（x）>ex-3的解集為{x|x>3}。

例10. 若定義在R上的函數f（x）的導函數為f′（x），且滿足f′（x）>f（x），則f（2011）>f（2009）e2與的大小關系為（ ）

A. f（2011）

C. f（2011）>f（2009）e2 D.不能確定

解：構造g（x）= ，則g′（x）= ，因為f′（x）>f（x），所以g′（x）>0；即函數g（x）在R上為增函數，則 > ，即f（2011）>f（2009）e2.故選C。

例11. 若不等式定義在0， 上的函數f（x），其導函數是f′（x），且恒有f（x）

A. f > f B. f < f

C. f >f D. f

解：構造F（x）= ，x∈0， 時，cosx>0，由f（x）0，則F′（x）>0，函數F（x）= 為增函數，由 < ，則 < ，可得 f

例12. 已知定義在R上的奇函數f（x）的導函數為f′（x），當x<0時，f（x）滿足2f（x）+xf′（x）

A. 1 B. 3 C. 5 D. 1或3

解：構造F（x）= 由2f（x）+xf′（x）x2f（x），F′（x）= >0，函數F（x）= 為增函數，當x<0，F（x）0，f（x）<0，f（x）為奇函數，f（x）零點個數為1， 故選A。

例13. f（x）是定義在R上的奇函數，且f（-1）=0，當x>0時，（x2+1）f′（x）-2xf（x）<0，則不等式f（x）>0的解集（ ）

解：構造F（x）= ，由F′（x）= <0，F（x）為減函數，F（x）為奇函數，f（-1）=0，∴F（-1）=0結合F（x）的圖象可得不等式f（x）>0的解集為（-∞，-1）∪（0，1）

例14. 設函數f（x）滿足x2f′（x）+2xf（x）= ，f（2）= ，則x>0時，f（x）（ ）

A. 有極大值，無極小值 B. 有極小值，無極大值

C. 既有極大值又有極小值 D. 既無極大值也無極小值

解：構造函數F（x）=x2f（x），則F′（x）=x2f′（x）+2xf（x）= ，F（2）=4f（2）= 由x2f′（x）+2xf（x）= ，得f（x）= ，∴f′（x）= 。令？漬（x）=ex-2F（x），則？漬′（x）=ex-2F′（x）=ex- = 。∴？漬（x）在（0，2）（0，2）上單調遞減，在（2，+∞）上單調遞增，∴φ（x）的最小值為φ（2）=ex-2F（2）=0，φ（x）≥0，又x≥0，∴f′（x）≥0。∴f（x）f（x）在（0，+∞）單調遞增。∴f（x）既無極大值也無極小值。故選D.

類型四：構造組合函數形式

例15. 定義在上R上的可導函數f（x），滿足f（-x）+f（x）=x2，當x<0時，f′（x）

解：構造g（x）=f（x）- x2，g（x）+g（-x）=0，由g（x）為奇函數，當x<0時，g′（x）=f′（x）-x<0，g（x）為減函數，f（x）+ ≥f（1-x）+x，可得f（x）- x2≥f（1-x）- （1-x）2，即g（x）≥g（1-x） ∴x≤1-x，即x≤

例16. 定義在上R上的可導函數f（x），滿足f（-x）+f（x）=x2，當x>0時，f′（x）>x，若f（2-a）-f（a）≥2-2a，則實數的取值范圍是 。

解：構造g（x）=f（x）- x2，g（x）+g（-x）=0，g（x）為奇函數，當x>0時，g′（x）=f′（x）-x>0，g（x）為增函數，f（2-a）-f（a）≥2-2a，可得f（2-a）- （2-a）2≥f（a）- a2，即g（x）≥g（1-x） ∴g（2-a）≥g（a），2-a≥a，即a≤1

以上列舉了逆用求導公式解不等式的五種類型，在平時的數學試題編擬時，也經常用到逆用公式這種方法，只有我們經常訓練自己的逆向思維能力，才能增強解題能力。