不等式的求解方法

馬影遼寧省鞍山市寶得中學(xué)

不等式的求解方法

馬影
遼寧省鞍山市寶得中學(xué)

數(shù)學(xué)方法具有以下三個(gè)基本特征:是高度的抽象性和概括性;精確性,即邏輯的嚴(yán)密性及結(jié)論的確定性,三是應(yīng)用的普通性和可操作性。

一、代數(shù)法

代數(shù)方法：使用數(shù)學(xué)公式，法則解不等式.代數(shù)方法是學(xué)生解答不等式所選取的最普遍的方法,采用這種方法所使用的公式，法則包括：

(1)同號(hào)為正;不等式兩邊加上或減去同一個(gè)表達(dá)式,不等號(hào)不變;不等式兩邊同乘以分母的平方,不等號(hào)方向不變;不等式兩邊同乘以負(fù)因式,改變不等式的符號(hào)等。

(2)找到二次不等式 ax2+bx+c>0與其相應(yīng)的方程ax2+bx+c=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,利用公式口訣小于”兩根之間“大于”是兩根之外;或先觀察“a”的符號(hào)和△=b2-4ac的符號(hào),并找出相應(yīng)方程ax2+bx+c=0的根,再利用口訣解答不等式。

二、平方法

平方法：在解左右兩邊都帶有絕對(duì)值的不等式或保證不等式符號(hào)兩邊都是非負(fù)的情況下,一般采用兩邊同時(shí)平方。

例2.1解不等式|x-1|>|2x-1|。

解：原不等式可化為：|x-1|2>|2x-1|2,即x2-2x+1>4x2-4x+1。

所以:3x2-2x<0,所以原不等式的解集為

例2.2解不等式｜x＋3｜>｜x－5｜。

解:不等式可化為（x＋3）2>（x－5）2,即x2+6x+9>x2－10 x+25。

所以:16x>16,即x>1,所以,原不等式的解集為｛x｜x>1｝。

說(shuō)明：該不等式兩邊都是非負(fù)數(shù),所以可以對(duì)兩邊進(jìn)行平方,利用|a|2=a2,從而把絕對(duì)值符號(hào)去掉。

三、圖像法

圖像法：指的是先畫(huà)出相應(yīng)的函數(shù)圖像,通過(guò)圖像可以得到不等式的解答.利用“同號(hào)兩數(shù)相乘得正,異號(hào)兩數(shù)相乘得負(fù)”的原理,將一元二次不等式轉(zhuǎn)化一元一次不等式組加以解決.毫無(wú)疑問(wèn),這種解法具有極大的不完整性,這就為二次不等式的圖象法作了必要的鋪墊和準(zhǔn)備(圖像法如表2-1)。

例3.1x2-x-6>0。

所以二次函數(shù)y=x2-x-6與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)。

一元二次方程x2-x-6=0的兩個(gè)根為x1=3,x2=-2。

一元二次不等式的解為x<-2或x>3。

說(shuō)明：通過(guò)例題一達(dá)到讓學(xué)生掌握?qǐng)D象法解一元二次不等式的基本步驟（求根——畫(huà)圖——找解）和基本原理（數(shù)形結(jié)合）.

例3.2-x2+3x+10≥0。

分析：讓學(xué)生注意二次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)時(shí)的處理方法。

解：原式可化為-x2+3x+10≤0,得：-2≤x≤5。

說(shuō)明：通過(guò)圖象解法分類化歸，滲透數(shù)形結(jié)合、等數(shù)學(xué)思想,培養(yǎng)學(xué)生動(dòng)手能力,抽象概括能力,滲透數(shù)形結(jié)合、歸納總結(jié)等系統(tǒng)的邏輯思維能力,培養(yǎng)學(xué)生簡(jiǎn)約直觀的思維方法和良好的思維品質(zhì)。

四根軸法

根軸法：又叫數(shù)軸標(biāo)跟法指的是利用數(shù)軸將不等式所相應(yīng)方程的根在數(shù)軸上用連續(xù)的線段將它們連起來(lái),實(shí)質(zhì)上它是圖像法解不等式的簡(jiǎn)化,用數(shù)軸分區(qū)間法來(lái)確定不等式的解集。

步驟(1)確定零點(diǎn),在數(shù)軸上標(biāo)出零點(diǎn)坐標(biāo)(2)從零點(diǎn)上方最大的數(shù)自右向左畫(huà)出曲線,每經(jīng)過(guò)兩個(gè)點(diǎn)改變一次曲線的方向,數(shù)軸上方的曲線對(duì)應(yīng)的取值使得不等式的值為正,數(shù)軸下方的曲線對(duì)應(yīng)的取值使得不等式的值為負(fù),與x軸相交的交點(diǎn)取值為零點(diǎn),(3)根據(jù)不等式的條件判斷解集,解集是各成立取值區(qū)間的并集,注意零點(diǎn)中的可能取值情況(如圖3-1)。

圖3-1　根軸法

五、零點(diǎn)分段法

零點(diǎn)分段討論法：是解決含有兩個(gè)或兩個(gè)以上絕對(duì)值不等式的問(wèn)題。

例5.1求不等式 |x+2|+|x-1|>3的解集。

分析：據(jù)絕對(duì)值為零時(shí)x的取值把實(shí)數(shù)分成三個(gè)區(qū)間,再分別討論而去掉絕對(duì)值.從而轉(zhuǎn)化為不含絕對(duì)值的不等式。

故可把全體實(shí)數(shù)x分為三個(gè)部分：(1)x<-2,(2)-2≤x<1,(3) x≥1。

所以原不等式等價(jià)于下面三個(gè)不等式組：

不等式組(1)的解集是{x|x<－2}。

不等式組(2)的解集是?。

不等式組(3)的解集是{x|x>1}。

綜上可知原不等式的解集是{x|x<－2或x>1}。

說(shuō)明：在用零點(diǎn)分段法解題時(shí),首先求出使某些式子等于零的字母的值，然后再進(jìn)行分段討論,從而達(dá)到解題的目的。

例5.2解不等式|x－1|＋|2－x|>3－x。

分析：在解題時(shí)，應(yīng)先求出含絕對(duì)值中x對(duì)應(yīng)的零點(diǎn)值,此題與上一題有所區(qū)別,不等式后邊是含有未知數(shù)的式子,但不含有絕對(duì)值,所以它非零點(diǎn)值。

解:由于實(shí)數(shù)1,2將數(shù)軸分成(－∞,1],(1,2],(2,＋∞)三部分,故分三個(gè)區(qū)間來(lái)討論。

(1)當(dāng)x≤1時(shí),原不等式可化為－(x－1)－(x－2)>x＋3,即x<0。故不等式的解集是{x|x<0}。

(2)當(dāng)1x＋3,即x<-2。故不等式的解集是?。

(3)當(dāng)x>2時(shí),原不等式可化為(x-1)＋(x-2)>x＋3,即x>6。故不等式的解集是{x|x>6}。

綜上可知,原不等式的解集是{x|x<0或x>6}。

說(shuō)明：分段討論后，所得出的解取并集后才是原不等式的解。

例5.3已知關(guān)于x的不等式|x－5|＋|x－3|

解：∵x＝5時(shí),|x－5|＝0；x＝3時(shí),|x－3|＝0。

(1)當(dāng)x≤3時(shí),原不等式可化為－x＋5－x＋38－2x, 由x≤3,所以－2x≥－6,故a>2。

(2)當(dāng)32。

(3)當(dāng)x>5時(shí),原不等式可化為x－5＋x－32x－8> 10－8＝2,故a>2。

綜上知a>2。

說(shuō)明：對(duì)于含兩個(gè)以上絕對(duì)值不等式，一般采取零點(diǎn)分段法。

通過(guò)這篇文章使大家對(duì)不等式的類型及主要求解方法有了進(jìn)一步的認(rèn)識(shí),對(duì)這類題形更加熟悉,對(duì)不等式在培養(yǎng)教育學(xué)生能力上有了一定的認(rèn)識(shí).同時(shí)也鍛煉了獨(dú)立思考的精神.上面是我對(duì)一些常用的不等式解法的粗略回顧和總結(jié),可以對(duì)一些學(xué)生有些幫助。