非自治三分量可逆Gray-Scott系統(tǒng)的拉回指數(shù)吸引子*1

田永笑， 周盛凡

·數(shù)學(xué)·

非自治三分量可逆Gray-Scott系統(tǒng)的拉回指數(shù)吸引子*1

田永笑， 周盛凡

（浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院，浙江金華321004）

主要研究用于模擬2個(gè)可逆化學(xué)反應(yīng)的非自治三分量可逆Gray-Scott系統(tǒng)的初邊值問題的拉回指數(shù)吸引子的存在性問題.當(dāng)非自治外力項(xiàng)在局部可積函數(shù)空間里平移有界時(shí)，首先介紹了該系統(tǒng)的解的存在唯一性；其次證明了該系統(tǒng)的解在相空間與稍高正則空間中的最終一致有界性；然后證明了系統(tǒng)的解在一簇正不變閉子集上滿足Lipschitz連續(xù)性，同時(shí)對(duì)兩解之差進(jìn)行“尾估計(jì)”；最后利用拉回指數(shù)吸引子存在性判據(jù)，得到了該系統(tǒng)拉回指數(shù)吸引子的存在性，并且得到拉回指數(shù)吸引子分形維數(shù)的上界及吸引有界集的指數(shù)率估計(jì)式.

非自治；拉回指數(shù)吸引子；可逆的Gray-Scott系統(tǒng)；分形維數(shù)

0　引言

考慮非自治三分量可逆的Gray-Scott系統(tǒng)的初邊值問題：

式（1）中：u（x，t），v（x，t），ω（x，t）是Ω×（τ，+∞）上的實(shí)值函數(shù)；τ∈R；Ω?Rn（n≤3）是具有光滑邊界?Ω的有界區(qū)域；d1，d2，d3，F(xiàn)，k是正數(shù)；G和N是非負(fù)數(shù)；fi（·，t）∈L2loc（R；L2（Ω））是平移有界的，i= 1，2，3，即

三分量可逆的Gray-Scott系統(tǒng)（1）最初由Mahara等［1］提出，用于模擬2個(gè)可逆化學(xué)或生化反應(yīng)問題，后由You［2］經(jīng)無(wú)量綱化得到.對(duì)于自治的三分量可逆的Gray-Scott系統(tǒng)，即非自治項(xiàng)fi（i=1，2，3）與時(shí)間t無(wú)關(guān)，You在文獻(xiàn)［2］和文獻(xiàn)［3］中分別證明了它的整體吸引子的存在性及其魯棒性.對(duì)于非自治系統(tǒng)（1），Gu等證明了其一致吸引子的存在性［4］和拉回吸引子的存在性［5］.整體吸引子、一致吸引子和拉回吸引子吸引軌道或有界集的速度有時(shí)可能很慢且其維數(shù)不一定有界，這給實(shí)際應(yīng)用及模擬帶來(lái)困難.為此，對(duì)于非自治系統(tǒng)，有關(guān)學(xué)者［6-12］提出了拉回指數(shù)吸引子的概念并已應(yīng)用于實(shí)際系統(tǒng).拉回指數(shù)吸引子是一簇正不變的具有有限維數(shù)的緊集且指數(shù)吸引相空間的所有有界集，同時(shí)包含相應(yīng)的拉回吸引子.到目前為止，關(guān)于系統(tǒng)（1）的拉回指數(shù)吸引子尚無(wú)任何結(jié)果.本文利用文獻(xiàn)［7］的方法，證明系統(tǒng)（1）存在拉回指數(shù)吸引子，并由此可知文獻(xiàn)［2-5］中的整體吸引子和拉回吸引子都有有限的維數(shù)且最終一致指數(shù)吸引相空間的有界集，從而推廣了已有的結(jié)果.

1　解的存在唯一　性

令

用‖·‖和〈·，·〉表示H或L2（Ω）的范數(shù)和內(nèi)積，‖·‖Lp（p≠2）表示Lp（Ω）或［Lp（Ω）］3的范數(shù).取‖▽?duì)巍鳛椤巍珽或‖ξ‖H10（Ω）范數(shù)，|·|表示Lebesgue測(cè)度或絕對(duì)值.

由Lumer-Phillips定理可知，線性算子

生成Hilbert空間H上的解析半群.通過嵌入定理和H?lder不等式知，

是局部Lipschitz連續(xù)的映射，其中φ=（u，v，ω）T.

定理1對(duì)任意給定的τ∈R和初值φ（τ）=（u（τ），v（τ），ω（τ））T∈H，問題（1）存在唯一弱解φ（t）=φ（t，τ；φτ）=（u（t），v（t），ω（t））T，滿足φ（τ，τ；φτ）=φτ，φ（·，τ；φτ）∈C（［τ，∞）；H）∩L2loc（［τ，∞）；E）和φ（t，τ；φτ）關(guān)于φτ∈H連續(xù)，并且映射簇U（t，τ）：φτ=（u（τ），v（τ），ω（τ））T∈H|→φ（t，τ；φτ）=（u（t，τ），v（t，τ），ω（t，τ））T∈H，t≥τ，τ∈R，構(gòu)成H上一個(gè)連續(xù)算子過程｛U（t，τ）｝t≥τ.

證明證明類似于文獻(xiàn)［4］中的引理2.1，故略.

2　拉回指數(shù)吸引子的存在性

首先證明系統(tǒng)（1）的解的最終一致有界性，即有下面引理：

引理1過程｛U（t，τ）｝t≥τ在H中存在一致有界閉的吸收球B0=B（0，r0）=｛φ∈H：‖φ‖≤r0｝?H（r0與τ，t無(wú)關(guān)），即對(duì)于τ∈R及任意的有界子集B?H，存在TB≥0，使得當(dāng)t≥TB時(shí)，U（t+τ，τ）B?B0.

取內(nèi)積〈式（3），Gu（t）〉，〈式（4），v（t）〉，〈式（5），GW（t）〉，相加并整理得

在［τ，t+τ］上對(duì)式（6）應(yīng)用Gronwall不等式，由式（2）得

其次考慮系統(tǒng)（1）的解的最終正則性，有下面引理：

引理2存在正數(shù)r1＞0及，使得對(duì)任意φτ∈B0，當(dāng)t≥TB0+1時(shí)，有‖U（t+τ，τ）φτ‖E≤r1.

證明取內(nèi)積〈式（1），（-Δu，-Δv，-Δω）T〉得

根據(jù)Sobolev嵌入不等式知，存在正數(shù)b3，使得對(duì)于所有φ∈E，有‖φ‖L4≤b3‖φ‖E=b3‖▽?duì)铡?于是，對(duì)t≥TB0，由式（8）得

由式（6）知，對(duì)t≥TB0，有

對(duì)任意的t∈R，令

式（12）中，B0是引理1中的一致吸收球.令B1=｛φ∈E：‖φ‖E≤r1｝，則

現(xiàn)在考慮算子過程｛U（t，τ）｝t≥τ在｛Y（τ）｝τ∈R上的Lipschitz連續(xù)性.對(duì)每一個(gè)τ∈R和φjτ∈Y （τ），j=1，2，令

則

式（14）中，

誰(shuí)都知道老虎有吃人的兇殘本性，然而不受任何約束或限制的權(quán)力，與老虎比較而言，可謂“有過之而無(wú)不及”。權(quán)力究竟為何物?盡管人們有許多不同的理解或釋義，但誰(shuí)都知道它是一種“力”，一種不同尋常的“力”。同其他“力”(自然力)相比較，權(quán)力的獨(dú)特之處突出表現(xiàn)在兩個(gè)方面:一是作用領(lǐng)域的廣泛性，二是能量膨脹的自發(fā)性。

由式（13）和引理2知，對(duì)t≥τ，有φ1（t），φ2（t）∈Y（τ）.由式（11）得

引理3存在一個(gè)正值函數(shù)L（t），使得對(duì)于每一個(gè)τ∈R，有

證明用y（t）與式（14）作內(nèi)積（·，·）H，有

由Sobolev嵌入不等式知，存在正數(shù)b4，使得‖φ‖L6≤b4‖φ‖E=b4‖▽?duì)铡瑢?duì)任意φ∈E都成立，從而

于是

易見，D（-Δ）=H2（Ω）∩H01（Ω），并且算子-Δ具有正的特征值｛λm｝m∈N：

記｛em｝m∈N?D（-Δ）是算子-Δ關(guān)于特征值｛λm｝m∈N的特征向量，滿足-Δem=λmem，m∈N，則｛em｝m∈N是L2（Ω）及的一組正交基.記

則

令正交投影

引理4對(duì)任意的τ∈R，φ1τ，φ2τ∈Y（τ），存在正數(shù)T*＞0)和一個(gè)N-維的正交投影P3N：H→［∑N（Ω）］3（N∈Z），使得

證明在H中讓式（14）和y3n=Q3ny作內(nèi)積，得

式（23）的右邊項(xiàng)為

則

在［τ，τ+t］（t≥0）對(duì)式（26）應(yīng)用Gronwall不等式得

由式（20）知，存在T*＞0及

則

引理4證畢.

證明對(duì)任意的τ∈R及初值φτ∈Y（τ），由式（9）得

在［τ，t］（t∈［τ，τ+1］）上對(duì)其積分，有

再對(duì)方程（1）在［τ，t］（t∈［τ，τ+1］）上積分，得

則

引理5證畢.

根據(jù)定理1、引理1—引理5及文獻(xiàn)［7］中的定理1，有下面主要結(jié)果：

定理2由系統(tǒng)（1）的解確定的過程｛U（t，τ）｝t≥τ在H中有一個(gè)拉回指數(shù)吸引子｛A（t）｝t∈R，具有以下性質(zhì)：對(duì)任意的τ∈R，

1）K（τ）?A（τ）?Y（τ）?B0；

3　結(jié)語(yǔ)

本文主要證明了當(dāng)依賴時(shí)間的外力項(xiàng)在局部可積函數(shù)空間里平移有界時(shí)，非自治三分量可逆Gray-Scott系統(tǒng)的解過程存在拉回指數(shù)吸引子，并且得到拉回指數(shù)吸引子的分形維數(shù)的上界及吸引有界集的指數(shù)率估計(jì)式.這些結(jié)果可以給可逆Gray-Scott系統(tǒng)在生化反應(yīng)中的實(shí)際應(yīng)用帶來(lái)新的思路.

［1］Mahara H，Suematsu N J，Yamaguchi T，et al.Three-variable reversible Gray-Scottmodel［J］.JChem Phys，2004，121（18）：8968-8972.

［2］You Yuncheng.Dynamics of three-component reversible Gray-Scottmodel［J］.Disc Contin Dynam Systems，2010，14（1）：1671-1688.

［3］You Yuncheng.Robustness of global attractors for reversible Gray-Scott systems［J］.JDyn Diff Equat，2012，24（3）：495-520.

［4］Gu Anhui，Zhou Shengfan，Wang Zhaojuan.Uniform attractor of nonautonomous three-component reversible Gray-Scott system［J］.Appl Math Comput，2013，219（16）：8718-8729.

［5］Gu Anhui.Pullback-attractor of nonautonomous three-component reversible Gray-Scott system on unbounded domains［J］.Abstr Appl Anal，2013，2013：719063.

［6］Langa JA，Miranville A，Real J.Pullback exponential attractors［J］.Discret Contin Dynam Syst，2010，26（4）：1329-1357.

［7］Zhou Shengfan，Han Xiaoying.Pullback exponential attractors for nonautonomous Lattice systems［J］.JDyn Diff Equat，2012，24（3）：601-631.

［8］Yan Xingjie，QiWei.Pullback exponential attractors for nonautonomous reaction-diffusion equations［J］.Internat JBifur Chaos Appl SciEngrg，2015，25（5）：35-41.

［9］Li Yongjun，Wang Suyun，Zhao Tinggang.The existence of pullback exponential attractors for nonautonomous dynamical system and applications to nonautonomous reaction diffusion equations［J］.JAppl Anal Comput，2015，5（3）：35-57.

［10］Carvalho A N，Sonner S.Pullback exponential attractors for evolution processes in Banach spaces：properties and applications［J］.Commun Pure Appl Anal，2014，13（3）：1141-1165.

［11］Carvalho A N，Sonner S.Pullback exponential attractors for evolution processes in Banach spaces：theoretical results［J］.Commun Pure Appl Anal，2013，12（6）：3047-3071.

［12］Czaja R，Efendiev M.Pullback exponential attractors for nonautonomous equations Part II：Applications to reaction-diffusion systems［J］.J Math Anal Appl，2011，381（2）：766-780.

（責(zé)任編輯陶立方）

Pullback exponential attractors for the non-autonomous three-com ponent reversible Gray-Scott system

TIAN Yongxiao， ZHOU Shengfan
（College of Mathematics，Physicsand Information Engineering，Zhejiang Normal University，Jinhua 321004，China）

Itwas studied the existence of pullback exponential attractor for the nonautonomous three-components reversible Gray-Scott system which was used to simulate two reversible chemical reactions.When the time-depending external forceswere assumed to be translation bounded in the space of locally integrable functions，the existence and uniqueness of solutions for the system could be obtained.The ultimately uniform boundedness of solutions in the state space and amore regular space could be proved also.The Lipschitz continuity of solutions in a family of positive invariant closed subsets could be proved and a"tail estimate"on the difference between two solutions could bemade.The existence of pullback exponential attractor for the system was established by using a criterion concerning the existence of a pullback exponential attractor，moreover，an upper bound of the fractal dimension of this attractor and an estimation of exponentially attracting any bounded setwere also presented.

non-autonomous；pullback exponential attractor；reversible Gray-Scott system；fractal dimension

O175.25

A

1001-5051（2016）02-0121-08

10.16218/j.issn.1001-5051.2016.02.001

*收文日期：2015-09-05；2015-10-17

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（11471290）

田永笑（1991-），男，安徽蕪湖人，碩士研究生.研究方向：微分方程與動(dòng)力系統(tǒng).

周盛凡.E-mail：sfzhou@zjun.cn