一類非局部薛定諤方程的解的存在性*1

厲少軍， 楊敏波

（浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院，浙江金華　321004）

一類非局部薛定諤方程的解的存在性*1

厲少軍， 楊敏波

（浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院，浙江金華321004）

研究了一類擾動(dòng)的Choquard型方程非平凡解的存在性，通過(guò)采用Lyapunov-Schmidt約化方法及Ambrosetti-Badiale理論，證明了該方程的非平凡弱解的存在性定理.

非局部薛定諤方程；變分方法；臨界點(diǎn)；古典解

0　引言

近年來(lái)，許多學(xué)者研究了Gross-Pitaevskii方程

穩(wěn)態(tài)解的存在性.式（1）中：參數(shù)m是玻色子的質(zhì)量；?是普朗克常量；i為虛數(shù)單位；W（x）是位勢(shì)函數(shù).文獻(xiàn)［1］利用臨界點(diǎn)定理研究了Choquard-Pekar方程

在空間H1（R3）中非平凡解的存在性.式（2）中，K（x）是給定的引力位勢(shì).文獻(xiàn)［2］在徑向?qū)ΨQ函數(shù)空間中利用變分方法證明了非線性Choquard型方程

非平凡解的存在性，且當(dāng)R（x）和K（x）滿足一定條件時(shí)，該解為古典解.文獻(xiàn)［3］證明了當(dāng)3≤p＜5時(shí)Schr?dinger-Maxwell系統(tǒng)（也就是Schr?dinger-Poisson方程）

的徑向?qū)ΨQ孤立波的存在性和山路型解的存在性.文獻(xiàn)［4-6］也研究了Schr?dinger-Poisson方程解的存在性；文獻(xiàn)［7-8］對(duì)于有限維空間通過(guò)Lyapunov-Schmidt約化方法建立了研究這一類方程的一些理論.這種方法也被用于其他的一些變分問(wèn)題［9-11］.

本文采用擾動(dòng)方法考慮一類Choquard型方程解的存在性，即考慮擾動(dòng)方程

解的存在性.式（5）中，0＜τ＜min｛4，N｝.

1　一　些命題及引理

命題1［12］（Hardy-Littlewood-Sobolev不等式）若p＞1，r＞1，0＜μ＜N，，f（x）∈Lp（RN）且h（y）∈Lr（RN），則存在獨(dú)立于f（x），h（y）的常數(shù)C（p，μ，N，r），使得

命題2［13］若對(duì)于，則

存在唯一的正的徑向解U，且滿足以下衰減性質(zhì)：

其中：C是一正常數(shù)；I0：H1（RN）→R為

U是C2泛函I0的臨界點(diǎn).記I0的臨界點(diǎn)集組成的一個(gè)N維流形為

設(shè)

下面運(yùn)用命題1和命題2研究擾動(dòng)泛函臨界點(diǎn)的存在性問(wèn)題.設(shè)E是一個(gè)實(shí)的Hilbert空間，其上的一個(gè)擾動(dòng)泛函表示為

式（7）中：I0：E→R；G：R×E→R.I0（u）和G（ε，u）需滿足以下關(guān)系：

1）I0∈C2，G∈C2；

2）G是連續(xù)函數(shù)，且對(duì)于任意的u，有G（0，u）=0；

3）G'（ε，u）和G″（ε，u）分別是R×E→E和L（E，E）上的連續(xù)映射，其中：L（E，E）是E→E的線性連續(xù)算子；

4）Z是一個(gè)d維的C2流形且由I0的臨界點(diǎn)組成，這樣的Z也稱為I0的臨界流形；

5）設(shè)TθZ是Z定義在zθ處的正切空間，流形Z是非退化的，Ker（I″0（z））=TθZ，其中：對(duì)于任意的zθ∈Z，（zθ）是一個(gè)指標(biāo)為0的Fredholm算子；

對(duì)于擾動(dòng)問(wèn)題臨界點(diǎn)的存在性研究，就是考慮I'ε（u）=0解的存在性.現(xiàn)需要尋找形如u=z+w的解，其中，z∈Z，w∈W=（TθZ）⊥.運(yùn)用Lyapunov-Schmidt約化，可以將原來(lái)的問(wèn)題降低到有限維上，即等同于解決下面的問(wèn)題：

其中：P是空間E到W的正交投影.對(duì)u=z+w（ε，z），運(yùn)用Taylor展開，可得

引理1［7-8］若I0（u）和G（ε，u）滿足條件1）～6），且對(duì)?ε＞0，存在δ＞0和z*∈Z，使得

則Iε存在一個(gè)臨界點(diǎn)uε.

2　定理1　及其證明

定理1若且

則方程（5）至少存在一個(gè)非平凡弱解.式（9）中，U是命題2中的徑向解.

下面應(yīng)用命題1、命題2及引理1來(lái)證明定理1.

首先考慮方程（5），其相應(yīng)的能量泛函Iε：H1（RN）→R可以定義為

定理1證明若

則能量泛函Iε（u）可以被表示為

另一方面，由于U在無(wú)窮遠(yuǎn)處按指數(shù)衰減，從而存在Mε，使得對(duì)于θ＞Mε，有

由式（11）和式（12）可得，

同樣地，由命題1可知，

從而

即

又由

可知Γ（0）≠0，從而由引理1可知定理1成立.定理1證畢.

［1］Lions P L.The Choquard equation and related questions［J］.Nonlinear Anal，1980，4（6）：1063-1072.

［2］Menzala G.On regular solutions of a nonlinear equation of Choquard＇s type［J］.Proc Roy Soc Edinb，1980，86（3）：291-301.

［3］d＇Aprile T，Mugnai D.Solitary waves for nonlinear Klein-Gordon-Maxwell and Schr?dinger-Maxwell equations［J］.Proc Roy Soc Edinb，2004，134（5）：1-14.

［4］Ambrosetti A.On Schr?dinger-Poisson systems［J］.Milan JMath，2008，76（1）：257-274.

［5］d＇Avenia P，Mederski J.Positive ground states for a system of Schr?dinger equations with critically growing nonlinearities［J］.Calc Var Partial Differential Equations，2015，53（3）：879-900.

［6］Azzollini A，d＇Avenia P，Luisi V.Generalized Schr?dinger-Poisson type systems［J］.Commun Pure Appl Anal，2013，12（2）：867-879.

［7］Ambrosetti A，Badiale M.Homoclinics：Poincaré-Melnikov type results via a variational approach［J］.Ann Inst H Poincare Anal Non Lineaire，1998，15（2）：233-252.

［8］Ambrosetti A，Badiale M.Variational perturbative methods and bifurcation of bound states from the essential spectrum［J］.Proc Royal Soc Edinb，1998，128（6）：1131-1161.

［9］Ambrosetti A.Semiclassical states of nonlinear Schr?dinger equations［J］.Arch Rat Mech Anal，1997，140（3）：285-300.

［10］Badiale M，Pomponio A.Bifurcation results for semilinear elliptic problems in RN［J］.Proc Roy Soc Edinb，2004，134（1）：11-32.

［11］Ianni I，Vaira G.Non-radial sign-changing solutions for the Schr?dinger-Poisson problem in the semiclassical limit［J］.NoDEA Nonlinear Differential Equations Appl，2015，22（4）：741-776.

［12］Lieb E，Loss M.Analysis［M］.2nd.Providence：American Mathematical Society，2001：1-346.

［13］Ambrosetti A，Malchiodi A.Perturbation methods and semilinear elliptic problems on RN［M］.Basel：Birkh?user Verlag，2006：1-183.

（責(zé)任編輯陶立方）

Existence of nontrivial solutions for a class of nonlocal Schr?dinger equations

LIShaojun， YANG Minbo
（College of Mathematics，Physicsand Information Engineering，Zhejiang Normal University，Jinhua 321004，China）

Itwas discussed the existence of nontrivial solutions for some disturbance Choquard type equations. Some existence results for this equation were established by Lyapunov-Schmidt reduction procedure and Ambrosetti-Badiale＇s theories.

nonlocal Schr?dinger equation；variationalmethods；critical points；classical solutions

O175.25

A

1001-5051（2016）02-0146-04

10.16218/j.issn.1001-5051.2016.02.004

*收文日期：2015-06-08；2015-11-23

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（11271331）

厲少軍（1990-），男，安徽滁州人，碩士研究生.研究方向：非線性泛函分析.

楊敏波.E-mail：mbyang@zjnu.cn