一維均勻費米體系的有限溫度性質*1

俞玄平， 高先龍（浙江師范大學數理與信息工程學院，浙江金華　321004）

一維均勻費米體系的有限溫度性質*1

俞玄平， 高先龍
（浙江師范大學數理與信息工程學院，浙江金華321004）

運用牛頓法數值求解了有限溫度下一維費米體系Gaudin-Yang模型的熱力學Bethe-ansatz方程，得到了相關熱力學量的數值結果；給出了在排斥和吸引相互作用下粒子數密度隨化學勢和溫度的變化，以及在排斥相互作用下壓縮率、比熱和Luttinger參數關于溫度和化學勢的圖像.由此分析得到了均勻體系在量子臨界區的性質.

Gaudin-Yang模型；熱力學Bethe-ansatz方程；壓縮率；比熱；Luttinger參數；量子臨界區

0　引言

1995年7月，美國科羅拉多大學實驗天體物理聯合研究所（JILA）的Wieman，Cornell和麻省理工學院的Ketterle利用冷卻氣態堿金屬的方法在實驗上率先實現了玻色-愛因斯坦凝聚（BEC）［1］，這極大地激發了研究人員對超冷原子物理這一領域的研究熱情.自從玻色子凝聚在實驗上實現之后，研究者又致力于費米子的凝聚.玻色子遵從玻色統計（一個量子態上占據的粒子數不受限制），而費米子由于受到泡利不相容原理（即一個量子態最多只允許一個費米子占據）的限制，所以要實現費米子的凝聚更加困難，需要的溫度更低.伴隨著原子冷卻技術的快速發展，特別是近20多年以來，激光冷卻技術的快速發展，使得實驗上可以獲得更理想的低溫.1999年，Jin小組［2］利用鉀原子的2個不同內態等比例混合所組成的2組分費米氣體，并把費米氣體束縛在磁勢阱中蒸發冷卻到0.5TF，從而實現了費米子的凝聚.2007年，山西大學的張靖小組［3］也實現了量子簡并費米氣體的凝聚.

一維體系由于維度的限制，使得體系中的每一個粒子運動必然會影響著它近鄰的粒子，如此往復就會形成體系的集體運動，因此，體系的粒子之間具有關聯性.同時，在一維冷原子體系中會有更強的量子漲落現象.由于激光技術的發展，利用光晶格技術，通過外加一個束縛勢滿足徑向角頻率（ωr）遠大于軸向角頻率（ωz）的磁場，從而使粒子被束縛在準一維體系中.

均勻體系下的一維問題可以通過Bethe-ansatz的方法得到解析解，即一組無窮多的熱力學Betheansatz耦合方程.數值上可以對耦合方程進行截斷并運用牛頓法，通過迭代從而自洽求解得到相應的熱力學量.對所得的熱力學量進行分析，可以進一步理解低溫體系下的熱力學性質及量子漲落.

1　模型和理論方法

本文主要研究一維均勻連續費米體系的Gaudin-Yang模型［4-5］在有限溫度下具有的性質.體系的哈密頓量可以表示為

式（1）中：m表示粒子質量；N表示體系總粒子數；g1D是描述體系粒子間短程相互作用的參數.g1D＞0表示排斥相互作用，g1D＜0表示吸引相互作用.且g1D=2?2/（ma1D）；a1D為一維散射長度.

體系的吉布斯自由能為

式（2）中：G為吉布斯自由能；T為體系的溫度；Ξ為巨配分函數；E為體系的能量；μ為體系的化學勢；S為體系的熵；P為體系的壓強；L為體系的尺寸大小.

在熱力學極限（N→∞，L→∞，N/L為有限值）下，運用熱力學Bethe-ansatz方程求解式（1），得到以下基本熱力學量的耦合方程［6-8］：

式（3）～式（6）的耦合方程可以簡化為以下耦合方程：

且有：

把式（9）～式（11）這n+1個耦合方程在n=nc處截斷，得到nc+1個耦合方程，通過牛頓法進行迭代自洽求解，前后2次相對誤差滿足10-5的精度要求，從而可以求得相關的熱力學物理量.

2　數值結果

筆者通過數值求解，得到上述基本熱力學量，為計算方便，以下圖像的數據無量綱化處理為：kB=2m+?=1，ε=?2g21D/2m為能量單位，相互作用強度γ=g1D/n.

圖1　粒子數密度n及其平方n2隨溫度T和化學勢μ變化的圖像.

圖1展示了相互作用強度|γ|=100時體系的粒子數密度分布圖像.無論是排斥相互作用還是吸引相互作用，體系粒子數密度隨溫度和化學勢的分布趨勢相同，但在吸引相互作用下，由于相反自旋的粒子發生配對形成庫伯對，粒子的數密度增加.從圖1（a）～（d）可看出，在低溫且化學勢為負時，體系的粒子數密度很小，此時粒子與粒子之間的距離遠大于其熱波長，粒子滿足玻爾茲曼統計或體系處于經典區.從圖1（a）～（d）可看出，在低溫時，粒子分布和化學勢滿足μ∝n2的關系（在零溫無相互作用時有μ=π2n2［9-10］）.在有限溫度的相互作用體系中，粒子有激發，此時，有μ=π2n2［1-16ln2/（3γ）］的解析結果［10］.隨著溫度的升高，熱漲落使粒子密度分布增加，此時粒子分布和化學勢具有μ∝n的關系.一般說來，溫度越低，體系的量子漲落越強，量子性質越明顯.溫度越高，熱漲落越強，體系熱激發，趨于經典體系.

圖2（a）和圖2（b）畫出了體系的壓縮率隨化學勢的分布，在低溫且化學勢為零處，壓縮率發生突變，即體系發生相變.圖2（c）給出了在排斥相互作用γ=100時，體系的熵密度s對化學勢μ的偏導數?s/?μ關于化學勢μ的圖像.可以看出，在化學勢為零附近，?s/?μ存在峰值，溫度越低越尖銳.遠離相變點（μ=0），?s/?μ→0，即熵密度與化學勢無關.在化學勢μ＜0并遠離相變點時，體系處于低密度的經典區.在化學勢μ＞0的相變點附近，粒子數（化學勢）增加，體系的量子關聯和漲落增強，體系進入量子臨界區.進一步增大粒子數（化學勢），體系的熵密度減少，體系進入Luttinger液體區［11］.所以在確定的溫度下，隨著化學勢的增加，體系有一個從經典區（即量子臨界區）到量子區的轉變.下面進一步用熵和比熱來度量這樣的相變.

圖2　熱力學量對化學勢的二階導數隨溫度T和化學勢μ變化的圖像

圖3　體系的熵密度s和比熱Cv隨化學勢μ和溫度T變化的等高線圖

圖4　體系的Luttinger參數關于溫度T及化學勢μ的圖像

圖3給出了相互作用強度γ=100時體系的熵密度與溫度和化學勢的圖像.筆者發現，低溫且化學勢為負時體系的熵密度很小，這和上面圖1（a）粒子數密度在該區域的分布很小相符，此時體系的粒子滿足經典的玻爾茲曼統計.隨著溫度的升高和化學勢的增加，體系的熵增加，這時體系進入量子臨界區.之后，低溫區體系的熵隨著化學勢的增加而減小，此時體系發生相變由臨界區進入Luttinger液體區［11］.溫度越高，熱漲落越大，而且高溫會增加體系粒子的激發，進一步增加體系的熵，所以，溫度越高量子臨界區越寬.從圖3（b）可以看出，體系的比熱隨化學勢的變化會出現2個突變的峰，表示體系在此發生相變.2個相變邊界之間的區域正是圖2所對應的量子臨界區.利用2個峰值可以界定體系的量子臨界區，這與文獻［11］中的結果能夠很好地相符.

圖4給出了強相互作用γ=100時Luttinger參數 K關于溫度和化學勢的圖像.Luttinger參數可以描述體系對關聯函數的漸進行為.從圖3可以看出，在低溫情況下參數K很快達到1，在化學勢為零處，K從零突變增加到1并保持不變.這個結果與在強相互作用下的解析結果［11］

能夠很好符合.

3　結論

筆者用牛頓法數值求解了熱力學Bethe-ansatz方程，得到了在強相互作用下體系的粒子數密度分布.對于排斥相互作用和吸引相互作用，體系的粒子數密度分布變化趨勢相同.低溫到高溫的過程中，由于熱漲落和熱激發，使更多的體系粒子被激發而趨向經典體系，體系的壓縮率K*在化學勢為零處發生突變，這一結果可作為體系發生相變的條件之一.當溫度確定時，體系的比熱Cv在化學勢中的分布會發生2次突變，這一結果也可以作為體系發生相變的條件之一.筆者發現，比熱的2個突變的峰值對應的化學勢之差隨溫度的升高而增加，量子臨界區的邊界就是體系比熱隨化學勢的突變的峰所構成的邊界線，隨著化學勢的增加，體系由低密度的經典相向高密度的量子相轉變，并且中間出現量子臨界區［12-13］，Luttinger參數在一維強排斥相互作用的費米體系中會趨向于1等.進一步的研究可考慮冷原子體系中的束縛勢，并研究束縛勢變化情況下體系的激發問題.

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［13］張天寶，俞玄平，陳阿海.有限溫度下一維Gaudin-Yang模型的熱力學性質［J］.物理學報，2015，64（15）：156402.

（責任編輯杜利民）

Finite temperature properties of one-dimensional homogeneous Ferm i systems

YU Xuanping， GAO Xianlong
（College of Mathematics，Physics and Information Engineering，Zhejiang Normal University，Jinhua 321004，China）

The thermodynamic Bethe-ansatz equations of Gaudin-Yang Fermimodelwas numerically solved by using Newton＇smethod.At the repulsive and attractive interaction，the particle number density as a function of chemical potential and temperature，and the compressibility，specific heat and the Luttinger parameter as a function of the chemical potential and temperaturewere obtained.The properties of the homogeneous system in the quantum critical regime were analyzed.

Gaudin-Yangmodel；thermodynamic Bethe-ansatz equations；compressibility；specific heat；Luttinger parameter；quantum critical regime；

O562.4

A

1001-5051（2016）02-0164-05

10.16218/j.issn.1001-5051.2016.02.007

*收文日期：2015-12-13；2012-02-26

國家自然科學基金資助項目（KYZKJY11118）

俞玄平（1989-），男，江西婺源人，碩士研究生.研究方向：凝聚態物理.

高先龍.E-mail：gaoxl@zjnu.edu.cn