高等代數過程教學法的探究

魯　琦，梅　紅，鮑宏偉，劉　鋼

（1．蚌埠學院數學與物理系，安徽蚌埠233030；2．宿州學院數學與統計學院，安徽宿州234000）

高等代數過程教學法的探究

魯琦1，梅紅1，鮑宏偉1，劉鋼2

（1．蚌埠學院數學與物理系，安徽蚌埠233030；2．宿州學院數學與統計學院，安徽宿州234000）

對高等代數教學提出了一點想法，從問題驅動，教學內容重構，以及對知識的發散和歸納談如何提高高等代數教學效果.

高等代數；過程教學法；發散思維；歸納

高等代數[1]是高等學校數學專業的基礎課之一，不僅為近世代數等后繼課程打基礎，也是研究生入學考試的科目之一.在高等代數的傳統教學中，大多采用的是引入定義，介紹一些與定義相關的例子，然后證明重要的定理和結論，再用這些定理和結論解決具體的題目.這種教學模式注重的是訓練學生證明問題和計算問題的能力，導致的結果是很多學生學習完了高等代數課程后，題目能解不少，但并不知道這門課程真正的理論體系是什么，自己學習高等代數后接下來要做什么也不清楚，因此很多學生的看法是這門課程很抽象.20世紀70年代，西方一些學者在英語寫作教學中，在已有的結果教學法的基礎上，提出了過程教學法，認為不能完全由教師支配，也不能僅從寫作成品上來評價學生的水平高低，更應注重寫作的過程和學生的意愿與心聲，側重于群體交流而不是單獨行動.過程教學法已經被國內一些學者采用[2-3].盡管數學與英語的教學有所區別，但高等代數教學中，也應該做一些改變，照本宣科和只注重應試，會讓現今的學生叫苦不迭.本文依據筆者多年的教學實踐，探究如何引入屬于高等代數課程的過程教學法，來提高學生學習的動力和責任感.

1　用問題作為教學內容的引入

華東師范大學數學系張奠宙教授曾提出新概念數學（NCM）這一概念[4]，倡導用問題驅動數學教學.把數學教學用一系列的問題組織起來，在數學問題驅動下呈現數學，這就是新概念數學.在數學教學過程中提出好的數學問題，可以使學生容易理解數學概念的合理性，也能明確所學知識的用處.例如，在引入線性組合定義之前，我們提出問題：“三個向量α=(1,0),β=(0,1),γ=(1,2)在平面上的位置說明什么問題？”多數學生會直接說出第三個向量可以被前兩個表示.學生的心聲已經將線性組合和線性表示的定義自然而然地帶出來了.如果直接給出的是教材上的定義，顯得死板許多，畢竟很多定義需要的是理解即可，而不是一字不錯地默寫出來.

2　重構教學內容

所謂重構教學內容，指的是依據教材的核心思想和內容，將教材各部分內容的先后順序在講授時進行適當調整，達到提高教學效果的目的.我們知道，非數學專業開設的線性代數課程[5]主要介紹的是線性方程組理論，這部分內容也是高等代數課程的一部分重要內容.下例介紹了線性代數教學中的一種重構教學內容的形式，高等代數教學時這部分內容可做同樣處理.

例1二元線性方程組

（1）上述方程組的每個方程在幾何上代表一條直線，所以二元線性方程組研究的是直線的位置關系.我們可以將上面的二元線性方程組的系數、未知量以及常數項分離，寫成的形式，這并不難理解.其中形式稱為矩陣，如果記則有AX=b.這樣就有了方程組的矩陣表示.雖然一些形式和定義在此處提到，但都不難理解，以后學生在教材中看到書本上的具體定義時，理解也會更深刻.

（3）從形式上搞清楚了二元線性方程組之后，接下來的事情就是討論其解，這時再引入二階行列式的定義.

3　注重知識的發散和歸納

學習數學的過程中，發散性思維是必不可少的，而在復習所學內容的時候，歸納和總結又是十分重要的.注重發散性學習，一方面是要考慮所學的知識和其它知識的聯系，另一方面還要考慮知識本身是否還可以進一步延伸.如果考慮高等代數中所學的知識和其它章節知識的聯系，具備代表性的是多項式理論，它可以和其它章節建立聯系[6].還可以考慮知識本身能否進一步延伸，達到提高學生獨立思考的能力.例如，求矩陣

的若當標準形.按照高等代數教材上的步驟，可以很快將其若當標準形J算出：

我們知道，必存在可逆矩陣P，滿足P-1AP=J.這時，我們可以延伸：在矩陣相似于一個對角矩陣時，可以求出相應的可逆矩陣，完成對角化，當矩陣相似于若當形矩陣時，能否求出可逆矩陣P呢？事實上，對于本例，設P=(α1,α2,α3,α4)，則

Aα4=(-1)·α4，故α2,α4分別是矩陣A的對應于特征值1,-1的特征向量.解方程組(A-E)X=0和(A+E)X=0，分別得(1,1,1,1),=(1,1,0,0).又因為Aα1=α1+α2，可得(A-E)α1=α2，即α1是(A-E)X=α2的解，因此得由于Aα3=-α3+α4，可知(A+E)α3=α4，即α3是(A+E)X=α4的解，得.至此，便求得了

在求解的過程中，靈活運用了特征值與特征向量，并結合了線性方程組的求解，可以讓學生看到知識的相互聯系.同時，還可以考慮兩個問題：（1）求得的可逆矩陣P是不是唯一的，如果還有，那么與P的關系又是怎樣的呢？（2）有沒有一般的方法用來求可逆矩陣P呢？這些問題都可以利用學校的網絡資源以及圖書館的紙質文獻來進一步探索，也培養了學生的自學能力.

復習內容時，歸納是很重要的，這是一個再學習的過程，是對前一輪學習補充.例如，多項式與高等代數的各章都有密切關系[6]，在復習時就需要找到能體現這些聯系的具有代表性的例子.下例較為全面地詮釋了多項式理論與線性空間理論的聯系.

例2設V是數域P上的一個n維線性空間，σ是V的線性變換，f(x)是數域P上的多項式，f(0)=0，f(x)在x=0處的導數f'(0)≠0，f(σ)=0，證明：V=σ(V)⊕σ-1(0).

發散與歸納是同時存在于學習的過程中的，不能割裂開來，要努力做到發的出去，收的回來.教師和學生的交流、學生之間的相互討論，以及學校可被利用的紙質和網絡資源，對知識的發散和歸納也會起到很好的輔助作用.

4　結束語

高等代數這門課程對剛邁入大學校園的學生來說，學習和理解起來是有些困難的.本文提出高等代數過程教學法，探討如何從高等代數教學的各個環節來提高教學效果.通過一些好的問題驅動新知識的引入；為了體現各部分內容對核心知識點的支撐作用，可以對書本的固有結構作一些改變，對知識體系可以適當重構；在教學過程中還要始終注意對知識的發散和歸納.高等代數教學中能夠探討的問題還有很多，不少學者也提出了很好的建議[7-9]，例如在高等代數教學中將一些概念和定理的幾何意義用數學軟件反映出來，并多注意本課程和其它課程的交叉等，相信高等代數課程的教學未來會不斷有好的想法和建議產生.

〔1〕王萼芳,石生明.高等代數(第四版)[M].北京:高等教育出版社,2013.8-305.

〔2〕盧珺.英語寫作過程教學法的實驗研究[J].北方文學,2011（10）:94-95.

〔3〕陳衛紅,李娜.功能翻譯理論下過程教學法實證研究[J].科研園地,2012（1（:12-14.

〔4〕張奠宙,張蔭南.新概念:用問題驅動的數學教學[J].高等數學研究,2004,7(3):8-10.

〔5〕同濟大學數學系.線性代數(第六版)[M].北京:高等教育出版社,2014.1-71.

〔6〕張華民,殷紅彩.高等代數教學中的幾點思考[J].安慶師范學院學報(自然科學版),2014,20(1):90-93.

〔7〕G.H.Golub,C.F.Van Loan.Matrix Computations(3rd) [M].Maryland:TheJohnsHopkinsUniversityPress, 1996:184-185.

〔8〕杜翠真,林建富.高等代數教學中創造性思維能力的培養[J].宿州學院學報,2012,27(11):87-89.

〔9〕李秀英，郭友.高等代數教學的思考[J].通化師范學院學報,2014(2):48.

G642.0

A

1673-260X（2016）03-0011-02

2015-12-03

安徽省數學與應用數學專業改革項目（2014zy141）；蚌埠學院工程化教學研究項目（2013gcjy17）；蚌埠學院自然科學研究一般項目“環和模的EP-內射性及其應用”（2015ZR10）.上面這種重構教學內容的形式，將線性代數中幾個重要的概念圍繞著線性方程組這一核心內容呈現出來.線性方程組是中學數學的一部分重要內容，在大學階段我們將這一部分知識延續和升華，學生既看到矩陣、向量、行列式在線性方程組理論中的重要作用，也意識到了這些概念出現的合理性.經過這樣的重構內容之后，學生對線性代數的認識就不會再抽象，也會明確知道自己在這門課程的學習過程中要做什么.高等代數的過程教學法，就是要注重理解知識的過程，不要固守陳規，要注重教學過程中對內容的適當調整，讓教學內容不那么抽象，這也是學生的意愿和心聲.