基于ENO格式的二維水流水質(zhì)耦合模型數(shù)值模擬

章　欽

（河海大學(xué)文天學(xué)院，安徽馬鞍山243031）

基于ENO格式的二維水流水質(zhì)耦合模型數(shù)值模擬

章欽

（河海大學(xué)文天學(xué)院，安徽馬鞍山243031）

應(yīng)用高精度ENO（Essentially Non-oscillatory Schemes）格式結(jié)合有限體積法在非結(jié)構(gòu)三角形網(wǎng)格上建立耦合型二維水流-水質(zhì)的數(shù)學(xué)模型，采用Roe格式求解跨單元邊界的法向通量.用Fortran語言進(jìn)行編程計(jì)算，并采用該模型模擬污染物隨潰壩水流的流動變化.模擬結(jié)果表明ENO格式精度高，穩(wěn)定性好，為工程領(lǐng)域中的水流水質(zhì)問題的處理提供了依據(jù)，具有較高的實(shí)用價(jià)值.

ENO格式；有限體積法；非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格；數(shù)值模擬

水流水質(zhì)模型是工業(yè)污廢水對水環(huán)境影響評價(jià)的重要技術(shù)方法之一.近段時(shí)間以來,眾多學(xué)者做了大量的研究工作,提出了多種研究水質(zhì)模型方法,其中包括有限差分法[1,7]、有限單元法[3,11]、特征線法[4]及有限體積法[5,12]等等.有限體積法是近些年來發(fā)展起來的一種有效方法.本文在前人研究基礎(chǔ)上應(yīng)用高精度ENO格式建立平面二維水流-水質(zhì)耦合模型，在非結(jié)構(gòu)三角形網(wǎng)格上對控制方程進(jìn)行積分，利用有限體積法對方程組進(jìn)行數(shù)值求解，模擬得出水流運(yùn)動過程以及污染物輸運(yùn)擴(kuò)散過程.模型應(yīng)用高精度ENO格式，以提高數(shù)值模擬精度.模型模擬了污染物隨潰壩水流的輸運(yùn)變化，模型計(jì)算結(jié)果與實(shí)際情況相符合，為實(shí)際工程水流水質(zhì)的影響評價(jià)提供了依據(jù).

1　控制方程組及求解方法

1.1控制方程組

二維淺水控制方程及污染物對流—擴(kuò)散方程表達(dá)形式如下：

其中：g為重力加速度；h為水深；u、v為x、y方向的水平流速分量；Sox、Soy分別為x、y方向上的水底坡度；Sfx=分別為x、y方向的摩阻底坡；S為污染物的源匯項(xiàng)；Dx、Dy分別為x、y方向污染物的擴(kuò)散系數(shù)；C為污染物（COD、BOD等）的垂線平均濃度.

1.2Roe格式求解法相通量

跨單元邊界的法向通量的計(jì)算用Riemann間斷問題的Roe解法：

界面兩側(cè)變量值用ENO格式進(jìn)行組合重構(gòu).

1.3ENO格式重構(gòu)

在非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格中，ENO格式的構(gòu)造較為復(fù)雜，現(xiàn)考慮一階ENO多項(xiàng)式的構(gòu)造，如圖1，在單元1中構(gòu)造一個(gè)線性多項(xiàng)式，設(shè)構(gòu)造的多項(xiàng)式為：

以單元1,2,3構(gòu)造為例,記：s={Δ1,Δ2,Δ3},

令Pl(x,y)=ul(x,y)，l=1,2,3可得：

其中：α=(a,b,c)T，U=(u1,u2,u3)T

如果矩陣A可逆，則方程（3）有唯一解，一般情況下矩陣A都是可逆的.由Gramer法則求出多項(xiàng)式系數(shù)a,b,c為

取點(diǎn)(x,y)為單元1邊中點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)

同理，以單元2,3,4為主單元構(gòu)造多項(xiàng)式來求得相應(yīng)的uR

為了保證選取多項(xiàng)式“最光滑”性，在構(gòu)造3個(gè)多項(xiàng)式中，我們選取|a|+|b|最小的一個(gè)，該格式具有二階精度.

圖1　ENO格式所用的控制單元

1.4時(shí)間離散

采用三階TVD—Runge Kutta法對時(shí)間項(xiàng)進(jìn)行離散，具體格式如下：

其中L(u)是ut=-f(u)x-g(u)x的逼近.

2　數(shù)值算例

方形濃度場隨二維潰壩水流輸運(yùn)變化問題：考慮在200m×200m的計(jì)算區(qū)域，利用大壩將水庫一分為二，初始時(shí)刻上游水庫水深為10m，下游水庫水深5m，在上游60m＜x＜80m,80m＜y＜120m區(qū)域內(nèi)給定一均勻濃度場d=0. 25g/m3.大壩距水庫一邊25m處，瞬間有一段80m長的壩體倒塌，通過計(jì)算模擬出潰壩后水流運(yùn)動以及污染物隨水流輸運(yùn)變化特點(diǎn).

本文采用ENO型、分片常數(shù)型Roe格式對淺水方程及污染物輸運(yùn)方程進(jìn)行數(shù)值離散.T=7.0s時(shí)的模擬結(jié)果見圖1-4.

圖1　ENO型格式水位分布

圖2　分片常數(shù)型格式水位分布

圖3　ENO格式濃度變化圖

圖4　分片常數(shù)格式濃度變化圖

本文運(yùn)用兩種不同的精度格式模擬潰壩水流及污染物隨水流的變化情況，通過圖1、2潰壩口附近的水位等高線圖分布我們可以看出ENO型Roe格式能夠較好的捕捉低水位間斷.通過圖3、4可以看出污染物隨潰壩水流流動的變化情況，ENO型Roe格式能夠很好的模擬水流水質(zhì)的變化.

3　結(jié)論

本文基于高精度ENO格式和分片常數(shù)型格式在非結(jié)構(gòu)三角形網(wǎng)格上結(jié)合有限體積法對二維水流—水質(zhì)耦合方程組進(jìn)行離散，結(jié)果顯示出潰壩水流水位分布及污染物濃度隨其變化特征.能夠用于二維水流水質(zhì)耦合問題的模擬，可為實(shí)際工程提供依據(jù).

〔1〕朱華君，趙松和.二維淺水波方程的非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格ENO型有限體積法[J].湖南師范大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報(bào)，2007，30(1)：21-26.

〔2〕宮興龍，楊國范.非恒定非均勻泥沙數(shù)學(xué)模型的建立和應(yīng)用[j].人民黃河，2006，28(5)：22-23.

〔3〕朱華君，趙松和.二維淺水波方程的非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格ENO型有限體積法[J].湖南師范大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報(bào)，2007，30(1)：21-26.

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TV13

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2015-12-28