三維J積分理論在固體火箭發動機裂紋研究中的應用

徐學文，任建存，倪保航

（海軍航空工程學院a.接改裝訓練大隊；b.控制工程系，山東煙臺264001）

三維J積分理論在固體火箭發動機裂紋研究中的應用

徐學文a，任建存b，倪保航a

（海軍航空工程學院a.接改裝訓練大隊；b.控制工程系，山東煙臺264001）

針對固體火箭發動機藥柱上裂紋的三維性和受力復雜性，文章提出采用三維J積分理論和數值仿真來計算藥柱上裂紋縫線上的J積分值，并給出了三維J積分的體積分表達式和有限元數值分析方法；通過對固體火箭發動機藥柱上在燃燒室星角處的一條典型裂紋——橫向貫穿楔形裂紋仿真計算，得出裂紋縫線上J積分值呈現中間高兩端低的非均勻分布特點，證明了三維J積分理論在固體火箭發動機裝藥裂紋危險性研究上的適用性。

固體火箭發動機；裂紋；三維J積分；數值仿真

自上個世紀以來，人們開始將固體材料斷裂學理論[1]引入到固體火箭發動機藥柱裂紋擴展機理的研究中來[2-4]。隨著研究的深入，逐步發現，K判據和G判據僅適用于裂紋尖端屈服區很小的或脆性斷裂的材料，不適合固體火箭發動機推進劑等屈服強度比較大的粘彈性材料[5-6]；COD斷裂準則雖然采用裂紋尖端張開位移能夠描述彈塑性材料裂紋的危險程度，但它只是采用經驗公式來表征材料斷裂韌性[7-8]。而Rice提出的J積分概念[9]，巧妙地避開了求解裂紋尖端前緣屈服區的應力場和應變場所遇到的數學困難，并且經過數學上的嚴格證明，平面型裂紋J積分計算與路徑無關。因此，J積分更適合固體裝藥為粘彈性材料[10]的固體火箭發動機藥柱裂紋危險性研究。由于固體火箭發動機藥柱上裂紋的三維性和受力復雜性，裂紋縫線上J積分值分布呈現非均勻性[11]，因而本文提出采用三維J積分理論和數值方法來計算固體火箭發動機藥柱裂紋的J積分值，從而為研究裂紋擴展機理和危險性分析提供可靠的理論依據。

1 三維J積分理論

假設藥柱裂紋縫線是一條切向連續的線，在其上任意一點s處建立局部坐標系，如圖1所示，坐標軸x1在裂紋縫線平面內垂直于裂紋縫線，坐標軸x3與裂紋縫線相切，坐標軸x2垂直裂紋縫線平面。裂紋局部擴展方向用q表示，它垂直于裂紋縫線而位于裂紋平面（x1-x3）內，這樣在總體坐標任意點s處垂直于裂紋縫線的平面（x1-x2）內，可寫出不依賴于路徑的任意積分回路Γ上的J積分：

式（1）中：n是積分路徑Γ的法向；ω是應變能，對粘彈性材料，它包括彈性應變能和塑性耗散能；u是積分回路的位移矢量。

將平面上定義的二維J積分沿著裂紋縫線逐點積分可得裂紋縫線的三維J積分為：

式（2）中：L表示裂紋縫線長度；d A是包繞裂紋縫線的圓柱曲面上的面積微元，d A=d s dΓ；n表示微元d A的外法線方向；λ(s)是裂紋縫線s點處的長度。

圖1 局部坐標Fig.1 Localorthogonal cartesian coordinates

為了計算Jˉ，需要將式子中的面積分轉換為體積分，圍繞著裂紋縫線建立一個封閉輪廓的積分曲面，如圖2所示。Ao是沿著裂紋縫線方向的外層圓柱曲面，At是內層圓柱曲面，Aends是裂紋縫線兩端的端面，Acracks是裂紋腔上下兩裂紋面。 Ao、At、Aends和 Acracks組成的曲面A形成了一個體積為V的體積分區域。在體積分區域內定義一個權函數qˉ，在At上qˉ的模為0，在Ao上qˉ=λ(s)q，在曲面A內qˉ在這2個值之間平滑變化，在Aends面上，沿裂紋擴展方向的單位矢量q不一定與 Aends相切，但必須確切地給出 Aends面的法向。因此式（2）可以寫成曲面A上的面積分為：

式（3）中：m是封閉曲面A上的法向矢量，在Ao上m=-n；t=m?σ是端面Aends和裂紋面Acracks上的表面張力。

根據高斯定理把封閉曲面上的面積分轉化為體積分得三維J積分為：

式中，V是封閉曲面所圍成的體積。

圖2 積分曲面Fig.2 Integralsurface

2 J積分數值計算方法

本文以五角星型內孔燃燒固體火箭發動機藥柱上，在燃燒室星角處存在的一條典型裂紋——橫向貫穿楔形裂紋為計算對象，見圖3，說明J積分數值計算方法[12-13]，計算模型內的裂紋縫線是裂紋腔2個側平面的交線，是一條直線段。采用非線性有限元法[14]計算發動機藥柱的應力應變和裂紋縫線上各節點處的J積分值。

在有限元模型中，沿著裂紋縫線某節點p處的λ(s)可以寫成有限元單元的形函數形式，即

式（5）中：Np(s)為形函數，在節點p處，λp=1；在其他節點上λp=0。本文所采用的離散單元為8節點六面體單元和4節點四面體單元[15]。

圖3 藥柱上的裂紋、裂紋縫線和虛擬裂紋擴展方向Fig.3 Crack in grain，crack front line and the virtual crack extension direction

這樣，在裂紋縫線上每一節點p的J積分值可以表示為

在計算過程中[16-17]，首先指定裂紋的縫線。然后，指定積分的輪廓數N。積分輪廓是包繞在裂紋尖端或裂紋縫線上的從一個裂紋面上開始到對面裂紋面結束的一串單元，這N個輪廓單元圍繞著裂紋縫線從里到外層層包繞，這些積分輪廓上的積分將被轉換為包繞區域的面積分（二維）和體積分（三維）。本文設定的積分輪廓數為5，以便鑒別各輪廓上算出的J積分值的有效性。

最后，還要指定裂紋縫線上各點的虛擬裂紋擴展方向，一般通過指定裂紋縫線所在平面的法向或者直接指定擴展方向來完成。由于本文要計算的裂紋縫線為直線，所以這里直接指定裂紋虛擬擴展方向，整個裂紋縫線的擴展方向在裂紋體沿軸向的中心對稱平面內垂直裂紋縫線向內，如圖3中箭頭所示。

3 仿真結果

深度為43mm的裂紋在燃氣壓力（裂紋腔進口平均壓力[18]為0.385MPa）作用下，藥柱橫截面上M ises應力分布如圖4所示，在裂紋縫線附近產生應力集中，在裂紋縫線上，中間部位應力最高，然后沿著裂紋縫線由中間向兩端應力逐漸遞減，呈現出均勻性。

圖4 在包含裂紋縫線的藥柱橫截面上Mises應力分布Fig.4 M isesstressdistribution on thehorizontalsection ofgrainw ith the crack front

裂紋縫線上J積分值分布見圖5，J積分值呈現出中間高兩端低的分布趨勢，縫線中間部位的J積分值最大，此處裂紋點最易先擴展。這是因為藥柱星角體橫截面是頂部窄底部寬的形狀，裂紋縫線上各點的裂紋深度不一樣，在固體火箭發動機工作過程中，裂紋腔壁面上中央靠近裂紋縫線部位作用的燃氣壓力比較高，此處的推進劑變形比較大，造成該型裂紋縫線上J積分值呈現中間高兩端低的非均勻分布趨勢。

圖5 沿裂紋縫線上的J積分分布Fig.5　J-integraldistribution along the crack front line

改變裂紋腔進口壓力，計算出不同壓力下裂紋縫線上的J積分值，如表1所示。從表1看出，不同壓力下的裂紋縫線上J積分值沿著縫線的分布類似于圖5所示的分布曲線——中間高兩端低。在壓力低的情況下，這種分布曲線趨向平緩；壓力越高，曲線中間部位越凸起，裂紋縫線中間部位的點更容易擴展。

表1 43 mm深的裂紋在不同壓力下縫線上的J積分值Tab.1 J-integralvalueson the crack front line of crack cavity w ith 43mm depth under differentpressures

4 結論

固體火箭發動機藥柱為粘彈性材料，藥柱上裂紋擴展機理研究宜采用適合大范圍屈服的，并經過數學嚴格證明與積分路徑無關的J積分理論；通過高斯定理變換，將二維J積分計算公式擴展到三維J積分計算公式，再采用有限元計算方法，得到了發動機藥柱上燃燒室星角處橫向貫穿裂紋縫線上J積分值呈現中間高兩端低的分布特點，證明了三維J積分理論在固體火箭發動機裝藥裂紋等缺陷擴展機理研究上的適用性。

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Application of 3-D J-integral Theory in the Solid RocketMotor Crack Reasearch

XUXuewena,REN Jiancunb,NIBaohanga

（Naval Aeronauticaland AstronauticalUniversity a.Training brigade ofEquipmentAcceptance and Modification; b.DepartmentofControlEngineering,YantaiShandong 264001,China）

Aiming to the 3-D characteristics of the crack and its force application complexity in solid rocketmotor grain, the application of3-D J-integral theory and numericalsimulation to calulate the J-integralvalues at the Gauss integration pointsof the crack linewasproposed in the dissertation,and the 3-D volumic J-integralexpression and the finite-element numerical analysismethod were given out.Thewedge crack which traversed through the projection of star grain was simu?lated as a typical crack in solid rocketmotor.As shown in the calculation results,the J-integral distribution along the crack front line behaved as the varying characteristicsofhigh valueat the centerand low value in both sides,which proved that3-D J-integralcalculationmethod was suitable to reasearch the risk ofsolid rocketmotorgrain crack.

solid rocketmotor;crack;3-D J-integral;numericalsimulation

V435

A

1673-1522（2016）02-0117-04

10.7682/j.issn.1673-1522.2016.02.004

2015-11-18；

2016-01-19

徐學文（1971-），男，副教授，博士。