分數階不確定混沌系統魯棒投影同步控制

吳　梅，余名哲，張友安

（1.煙臺毓璜頂醫院消防監控室；2.海軍航空工程學院控制工程系，山東煙臺264001）

WUMei1,YUMingzhe2,ZHANGYouan2

（1.Yuhuangding Hospital,Yantaishandong 264001,China; 2.DepartmentofControl Engineering,NAAU,Yantaishandong 264001,China）

分數階不確定混沌系統魯棒投影同步控制

吳梅1，余名哲2，張友安2

（1.煙臺毓璜頂醫院消防監控室；2.海軍航空工程學院控制工程系，山東煙臺264001）

基于滑模變結構控制理論，選取了一種分數階滑模面，針對分數階系統不確定項上界已知情況，提出了一種魯棒控制方法，將這種控制方法與范數不等式相結合對系統的穩定性進行了分析。該控制器能夠很好地抑制不確定因素對誤差系統的影響，能夠快速實現驅動系統與響應系統的同步。最后，將該魯棒控制策略應用于分數階混沌系統數字保密通信中，數值仿真驗證了該方案的正確性和有效性。

分數階混沌系統；投影同步；魯棒控制；保密通信

隨著科學的發展，人們在探索現實世界中發現實際動態系統本質上是分數階的。分數階系統相比整數階系統能更好地描述某些類型系統的動態行為，其微分和積分的階次可以是任意的，因而它對現實系統的描述能力遠遠強于整數階系統[1-4]。由此，對分數階系統的研究逐漸成為熱點，分數階混沌系統的控制與應用也成為其中熱點之一。

混沌的應用十分廣泛，在很多方面都有潛在的實用價值，特別是在保密通信方面，有關技術已經比較成熟[5-6]，并被實際應用，但大多仍基于整數階混沌系統，其中絕大多數系統是人們所熟知的[7-8]，因而其安全程度并不特別高。本文主要研究的是利用分數階混沌系統動態行為的高度復雜性，來提高組合信號在通信中的破譯難度。對比整數階混沌系統，分數階混沌系統的混沌吸引子更加復雜，最明顯的是它多了階次的變化，這將使得組合信號更加難以被破譯，從而擁有更大的密鑰空間[9-10]。因此，將分數階混沌系統應用于保密通信更能滿足當今世界對信息安全的需求。目前，將分數階混沌系統應用于保密通信的研究還不多，其中絕大多數以理想的分數階混沌系統作為對象模型，文獻[11-14]研究了分數階混沌系統在保密通信中的應用；文獻[15]實現了2個耦合的理想分數階Chen系統的混沌投影同步；文獻[16]基于跟蹤控制思想，實現了分數階混沌系統與整數階混沌系統的同步；文獻[17]為了提高通信保密性能，基于分數階穩定性理論，采用跟蹤控制方法實現了一種復雜的多驅動一響應分數階混沌系統的同步。但以上文獻均沒有考慮不確定因素的影響。同時也有少量文獻考慮了未知參數的情況，文獻[18]考慮了驅動系統參數不確定的影響，通過設計反饋控制器解決了信號的解密問題；文獻[19-20]分別采用自適應控制方法和基于Lyapunov第二定理設計同步控制的方法對存在參數攝動的分數階混沌系統實現了同步；文獻[21]針對2個含未知參數的異結構分數階混沌系統設計了一種自適應同步控制器。在分數階混沌同步應用于實際通信時，不可避免地要受到各種不確定因素的影響，例如未知參數，外部擾動等，這些不確定性可能造成同步性能的下降，甚至系統失穩，而混沌同步作為混沌保密通信的關鍵技術，最主要的是要解決不確定混沌系統的同步問題。近年來，不確定分數階混沌系統的同步也吸引了研究學者的注意，例如，文獻[22]在分數階混沌系統存在外部擾動時，基于擾動上界設計了控制器，能夠實現分數階混沌系統的準同步，但該方法無法完全消除同步誤差，因而應用于保密通信時無法充分還原原文信號。

本文以分數階混沌系統在保密通信中的實際應用為背景，對系統不確定項進行了分析，考慮用結構簡單、魯棒性能好、通用性強，且易于實現的魯棒控制方式實現分數階不確定混沌系統的同步控制。本文首先給出了具體的不確定項范數上界的定義，證明了不確定項的∞-范數為其最小范數上界，并依據其上界設計了相應的魯棒同步控制器。利用范數不等式嚴格證明了混沌同步控制系統的穩定性，這里涉及的對各種范數的統一處理過程在現有很多文獻中都是被忽略的。最后，通過數值仿真驗證了本文所設計的同步控制策略及其在混沌掩蓋保密通信方案中應用的正確性和有效性。

1 問題描述

考慮具有如下形式的分數階混沌系統：

現將系統作為驅動系統，構建具有控制輸入的響應系統：

式（2）中：y為響應系統的狀態向量；B∈?n×n為系統已知的參數矩陣；g(y)∈?n×1是響應系統的光滑非線性函數；u(t)∈?n×1為待設計的控制輸入；zy(t)為系統的輸出。

定義驅動系統與響應系統的同步誤差e=y-σx，注意當σ取負值時，系統為反同步。本文的目的就是設計控制器u(t)，使得當t→∞時有e→0，即達到驅動系統與響應系統投影同步。

考慮驅動系統式和響應系統式，分數階同步誤差系統方程為：

式中，F(x,y)=g(y)-σf(x)-σ(A-B)x。

式（3）中，ΔAx為參數攝動項，d為外部時變干擾項，顯然這兩項是未知的，對于這種類型的不確定項，本文假設ΔA和d的上界均為已知來進行討論。

2 魯棒同步控制器設計

[23]，選取如式所示的滑模面：

式（4）中：s∈?n×1；e∈?n×1；C2∈?n×n。

根據滑模到達條件和分數階系統穩定性理論[23]可知，矩陣C2的所有特征值實部均大于零是保證分數階同步誤差系統穩定的充分條件。為簡單起見，選取C2為常數對角矩陣，則當C2對角線上的每個元素均大于零時即可滿足當s→0時e→0，并且C2將決定e→0的速度。

對于這種不確定項的上界已知的情況，可以通過設計魯棒控制器來抑制不確定項對同步誤差系統穩定性的影響。本文的主要理論結果可以歸結為下面的定理1。

定理1：同步控制器式（7），在設計參數γ>1時，可使驅動系統式（1）和響應系統式（2）達到投影同步。

當不確定項ΔA和d的上界為已知時，即ε（或δ）和d*為已知，依據矩陣范數的相容性和范數的定義可知下式成立：

證明：將控制器式（7）和同步誤差系統式（3）代入式（5）可得

選取Lyapuonv函數V=0.5sTs，其時間導數為：

將式（6）代入式（9），可得：

根據式（10），應用Barbalat引理，容易證明‖s‖1→0。進一步結合前面的分析可知同步誤差系統漸近收斂于0。

3 數值仿真

本節選取2個分數階混沌系統分別作為驅動系統和響應系統，對上面所設計的魯棒控制器進行仿真驗證，這里采用預估-校正算法對分數階微分方程進行解算。

以分數階Lorenz混沌系統和Arneodo混沌系統的投影同步為例。選擇分數階Lorenz混沌系統作為驅動系統：

選取分數階Arneodo混沌系統增加控制輸入構建響應系統：

當α=0.9時，驅動系統與響應系統表現出混沌狀態，η為干擾時變系數。選取投影比例系數σ=2，給定驅動系統和響應系統的初始值為 (4,3,1)T和(2,4,5)T，C1=(1,2,1)，矩陣C2=I，參數γ=-3，根據給定的驅動系統，對不確定項取∞-范數，可知未知項的上界應滿足：d*≥1.7和ε≥0.05，對上界已知情況，取定d*=1.8，ε=0.05。

由定理1可知，誤差系統在如下魯棒同步控制器作用下將收斂到0。

式中，

給定參數矩陣R=diag[1.5,1.5,…,1.5]，控制增益初值k=2.5，設計參數μ1=100、μ2=200、μ3=100。

仿真結果見圖1。仿真結果表明，誤差系統式（3）在魯棒同步控制器式（7）的作用下趨于投影同步。

下面進一步考慮前面所設計的魯棒同步控制器在保密通信中的應用。

根據混沌掩蓋保密通信原理[24]，設定要發送的原文信號m(t)=0.5+sin(t)，經過混沌掩蓋后的信號為zx(t)=0.5+sin(t)+C1x(t)，在接收端經過混沌同步之后所提取到的信號為m?(t)=0.5+sin(t)+C1(σx(t)-y(t))。以本節的驅動系統與響應系統為例，在不確定項的上界為已知的情況下進行數值仿真，仿真結果見圖2。仿真結果表明，原始信號能無失真地快速恢復出來。

4 結論

圖1 誤差曲線圖Fig.1 Error curves

圖2 原始、混合和恢復的信號Fig.2 The true,m ixed and reconstructed signals

本文研究了分數階混沌系統的魯棒同步控制及其在保密通信中的應用問題。首先，以實際工程環境為背景解決了關鍵的分數階混沌系統的投影同步控制問題，所設計的控制器基于滑模變結構控制理論，使得控制器具有一定的魯棒性。然后，針對系統中的不確定性因素設計了相應的魯棒同步控制策略。最后，對所設計的魯棒同步控制策略與基于該魯棒同步控制策略的分數階混沌系統在保密通信中的應用進行了仿真驗證。從仿真效果看，所設計的魯棒控制器能較好地完成驅動系統與響應系統的投影同步，能有效抑制不確定項的影響，具有一定的實用價值。仿真結果表明了本文方法的正確性和可行性。

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Robust Projective Synchronization Control of Uncertain Fractional-Order Chaotic Systems

Based on slidingmode variable structure control theory,a fractional-order slidingmotion was selected.When the upper bounds of uncertaintieswere known,a robust controllerwas proposed.The controller could suppress the affects ofuncertain factorson error system effectively,and could quickly realize synchronization between the drive system and the response system.Finally,the robust control scheme had been used in fractional-order digital secure communication.Nu?mericalsimulationwas presented to show the efficiency and applicability of the proposed robustcontrolstrategy.

fractional-order chaotic systems;projective synchronization;robustcontrol;secure communication

WUMei1,YUMingzhe2,ZHANGYouan2

（1.Yuhuangding Hospital,Yantaishandong 264001,China; 2.DepartmentofControl Engineering,NAAU,Yantaishandong 264001,China）

TN918

A

1673-1522（2016）02-0147-05

10.7682/j.issn.1673-1522.2016.02.010

2015-12-04；

2016-01-26

國家自然科學基金資助項目（61273058）

吳梅（1962-），女，高工，大學。