基于最大熵原理的順磁性固體磁化研究

田寶國，王　棟，吳世勇

（海軍航空工程學院基礎部，山東煙臺264001）

基于最大熵原理的順磁性固體磁化研究

田寶國，王棟，吳世勇

（海軍航空工程學院基礎部，山東煙臺264001）

從最大熵原理出發，在經典和量子2種情況下，研究了順磁物質的磁化規律，得到了順磁物質磁化強度的表達式，在高溫弱磁情況下，磁化強度與外磁場成正比，與溫度成反比，得到的結論與統計物理中的系綜理論或最該然分布結論一致。該原理不僅適用于平衡態問題，而且也適用于非平衡定態問題。

熵；最大熵原理；順磁物質；磁化強度

熵概念作為描述熱力學系統的態函數，最早是由Clausius于1865年提出的，并可用之定量解釋熱力學第二定律。1877年，Boltzman給出了熵的微觀意義（統計解釋），把熵概念與宏觀系統所包含的熱力學概率聯系起來[1]。1948年，Shannon提出了信息熵的概念，用熵概念來描述信息量的獲得[2]。1958年，Kolmogorov發展了熵的概念，作為不確定性的數學度量，將其引入到非線性動力學當中。目前，熵的概念在物理、化學、經濟、信息科學等自然科學以及工程技術等許多領域都得到了廣泛的應用，甚至被推廣到社會科學當中[3-11]。

1 熵及最大熵原理

1.1熵

本文采用信息熵的定義。對于離散系統，假設該系統某個物理量的取值有n個可能結果x1,x2,…,xn，這些可能結果發生的概率分別為p1,p2,…,pn，則系統信息熵的定義為

式中，k為正常數。

根據概率性質，pi應滿足下面的約束條件：

對于物理量可連續取值的概率系統，設變量取值的概率密度為 f(x)，則熵定義為

概率密度滿足歸一化約束條件：

1.2最大熵原理

最大熵原理是1957年由E.T.Jaynes提出的[12]，原理的基本內容可以表述為：一個宏觀系統的信息熵在一組約束條件下趨于約束最大值。按照此原理，對于一個宏觀系統，如果選擇合適的約束條件，然后計算其信息熵在此約束條件下的極大值，就可以求出該系統的微觀狀態的概率分布。這樣就把求系統的分布問題轉變為數學上求一定約束條件下的極值問題。作為確定系統分布的重要方法，該原理不僅適用于處理平衡態問題，而且也適用于非平衡定態問題，因而其在物理、化學、交通甚至社會科學等很多領域都得到了廣泛應用。本文采用此原理研究順磁性磁介質的磁化問題。

2 經典情形下順磁物質的磁化研究

磁矩不為0的粒子（分子、原子或離子）叫做磁性粒子，而由磁性粒子組成的物質叫做順磁性物質。在沒有外磁場作用時，各個粒子的磁矩在空間無規則地取向，它們的磁矩相互抵消，因而物質在宏觀上不顯示磁性。當順磁物質處于外磁場中，磁場的作用促使各個粒子的磁矩沿磁場方向取向，但熱運動卻阻礙這種取向，在這2種作用的影響下，各個粒子的磁矩在空間的取向達到一個平衡分布，粒子的磁矩沿磁場方向取向占優勢，因而物質的總磁矩不再為0，即物質被磁化了。如果知道了各個粒子磁矩取向的分布，就可以得到順磁物質的磁化強度。目前，統計物理教材中得到的分布都是在平衡態前提下由系綜理論或近獨立系統系統的最概然方法得到。我們認為，在一定的外界條件下，分子磁矩取向的分布應該滿足最大熵原理，下面根據此原理來研究該問題。

在經典理論中，粒子磁矩在空間的取向可以連續變化，對于磁矩為μ的粒子，當處于在外磁場H中時，磁勢能為

式（5）中：θ為粒子磁矩方向與外磁場之間的夾角；μ0是真空磁導率。

粒子磁矩分布的概率密度定義為 f(θ)，則系統熵為

歸一化條件表示為

粒子平均磁勢能為

按照拉格朗日乘子法，定義拉格朗日函數為：

由變分原理，F對 f(θ)的導數為0，可得：

即概率密度

代入歸一化條件（7）式得

由式（12）得

把式（13）代入式（11），可得粒子磁矩方向分布的概率密度為

假設粒子的體密度為n，則系統單位體積內所有粒子的磁矩沿磁場方向的投影之和為順磁物質的磁化強度M，于是

π

令y=βμ0μH，ξ=cosθ，則式（15）可以化為

式（16）中的積分結果為朗之萬函數L(y)[11]，即：

3 量子情形下順磁物質的磁化研究

量子力學證明，在順磁物質中，粒子的磁矩與角動量J的關系為[13]

式（19）中：μB是玻爾磁子；g是郎德劈裂因子，

對于一定的粒子，g是一個常數，J是總角動量量子數，L是軌道角動量量子數，S是自旋量子數。

，式中：m是電子的質量；e是電子的電荷；?是約化普朗克常數。

于是，當外磁場為H時，此時粒子在磁場中的磁勢能表示為：

式（21）中：mJ是角動量J在磁場H方向上的投影，叫做磁量子數。

mJ只能取-J,-J+1,…,J-1,J這2J+1個值。因為，在量子情形下，粒子角動量的方向只能取離散的數值，此時系統信息熵的定義采用式（1），其中pi為粒子位于某一量子狀態的概率。粒子的平均磁勢能為

仍然構造廣義的拉格朗日函數形式：

令x=βgμ0μBH，則粒子配分函數為：

單位體積中粒子的磁矩在磁場方向投影的代數和，即磁化強度為：

式中，稱為布里淵函數。

磁矩表達式

這時，所有粒子的磁矩都沿外磁場方向取向，順磁物質處于磁飽和狀態。

4 結論

本文運用最大熵原理研究了順磁物質在外磁場作用下的磁化規律，在經典和量子2種情況下，得到了系統磁化強度的關系表達式。結果表明，在高溫弱磁條件下，磁化強度都與外磁場成正比，與溫度成反比；而在低溫強磁場情況下，順磁物質將處于磁飽和狀態，此結論與實驗結果及統計系綜理論得到的結果一致。該研究方法對平衡態系統及非平衡定態系統都同樣適用。另外，采用不同熵的定義表達式，可以把該原理方法推廣到其他自然或社會系統當中，具有較為普遍的應用范圍。

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Rrsearch on Solid Magnetization of Paramagnetic Substance Based on Maximum Entropy Principle

TIANBaoguo,WANGDong,WUShiyong

（Departmentof Basic Sciences,NAAU,YantaiShandong 264001,China）

Themagnetization law of paramagnetic substance was studied under classical and quantum condition based on maximum entropy principle.The results showed thatmagnetization intensitywas proportional tomagnetic intensity and in?versely proportional to temperature underhigh temperature and lowmagnetic intensity,which agreed with to the resultsob?tained from ensemble theory ormost probability distribution theory.Maximum entropy principle applied not only to the problem ofequilibrium state,butalso to the problem ofnon-equilibrium stationary state.

entropy;maximum entropy principle;paramagnetic substance;magnetization intensity

O414

A

1673-1522（2016）02-0191-04

10.7682/j.issn.1673-1522.2016.02.018

2015-11-28；

2016-01-19

田寶國（1968-），男，教授，博士。