基于高斯隸屬函數的非線性T-S模糊系統的逼近性

張國英，王貴君（天津師范大學 數學科學學院，天津 300387）

基于高斯隸屬函數的非線性T-S模糊系統的逼近性

張國英，王貴君
（天津師范大學 數學科學學院，天津 300387）

摘要：基于最小推理機、單點模糊化和中心平均解模糊化方法構造了一類非線性T-S模糊系統，根據Stone-Weierstrass定理證明了該T-S模糊系統對多元連續函數具有逼近性能.

關鍵詞：最小推理機；高斯隸屬函數；非線性T-S模糊系統；逼近性

模糊系統是基于知識或規則的系統，從數學的觀點來看，它又是一種非線性映射，其系統內部主要是由一系列語言規則所構造，人們可通過選擇不同隸屬度函數得到諸多類型的模糊系統.文獻［1-2］基于乘積推理機、單點化和中心平均解模糊化構造了T-S模糊系統，并詳細研究了該系統的逼近性能.文獻［3-6］對高維系統實施不同的低維分層來連接整個系統，從而不僅降低了系統內部的規則數，而且也能保持分層后的系統的逼近性能.文獻［7］將多維輸入變量進行增一型輸入，從而得到多個子系統，最終形成一個與原模糊系統等價的遞階模糊系統，并證明了該系統的泛逼近性.文獻［8］基于乘積推理機、單點模糊化和中心平均解模糊化構造了一種非線性T-S模糊系統，并證明了該系統對多元連續函數具有逼近性.文獻［9-10］將各維變量兩兩輸入到模糊系統中，以此方式形成了二叉樹型模糊系統，并分別討論了該系統的構造和模糊規則數的縮減問題，這些結果可有效地應用于模糊控制與系統建模.通常模糊系統都是采用乘積推理機、單點模糊化和中心平均解模糊化3個環節來構造的，該類系統對連續函數、可積函數的逼近性能也得到證明.本研究基于最小推理機、單點模糊化和中心平均解模糊化構造一種非線性T-S模糊系統，并利用Stone-Weierstrass定理詳細證明該系統對連續函數具有逼近性能.

1　非線性T-S模糊系統

模糊系統是基于模糊IF-THEN規則庫的非線性映射，其各部分均以合理方式執行這些規則.具體來說，在輸入論域U?Rn上的模糊規則庫由以下模糊規則形式組成：?x=（x1，x2，…，xn）∈U，

其中：l=1，2，…，m；m為系統規則總數.

從結構上看，一般模糊系統主要由模糊推理機、模糊化和解模糊化構成.常見的模糊推理機有乘積推理機、最小推理機、Lukasiewicz推理機、Zadeh推理機和Dienes-Rescher推理機.模糊化主要有單值模糊化、高斯模糊化和三角形模糊化.解模糊化主要有重心法解模糊化、中心平均解模糊化和最大值解模糊化.

基于最小推理機、單點模糊化和中心平均解模糊化給出模糊系統如下：

2　模糊系統的逼近性

帶有單點模糊化、最小推理機和中心平均解模糊化的模糊系統是非線性函數的特殊類型，無論模糊系統是否用于控制器設計、決策分析或信號處理等功能，從函數逼近角度研究模糊系統都有重要意義.為此，下面利用Stone-Weierstrass定理證明系統（1）可按任意精度逼近緊集上的連續函數.

引理1［11］Stone-Weierstrass定理）令Z（U）為緊集U?Rn上的連續函數構成的集合，如果

（i）Z（U）是代數，即集合Z（U）對加法、乘法和標量積是封閉的；

（ii）Z（U）分離了U上的點，即?x、y∈U，x≠y，存在T∈Z（U），使得T（x）≠T（y）；

（iii）Z（U）使得U中的點不為0，即?x∈U，存在T∈Z（U），使得T（x）≠0.

則?ε＞0，?f∈Z（U），必存在T∈Z（U），使得

引理2?ai、bj∈R+，i，j=1，2，…，n，有

定理設緊集U?Rn，f是U上任一連續函數，則?ε＞0，必存在形如式（1）的非線性T-S模糊系統T，使得?x=（x1，x2，…，xn）∈U，有

證明為方便，令

（i）首先，由式（1），?T1、T2∈Σ，?x=（x1，x2，…，xn）∈U，設

這里k1和k2對輸入變量x（i分量）來說可視為非負常數.因此有

其次，?x=（x1，x2，…，xn）∈U，由引理2，T（1x）· T（2x）可表示為

最后，?c∈R+，?x=（x1，x2，…，xn）∈U，顯然有

取中心點yl=cyl1，則式（5）即為式（1）的形式，故cT1∈Σ.

由上述證明知算子空間Σ對加法、乘法和標量積運算是封閉的，故空間Σ構成代數.

（ii）根據引理1，若使空間Σ分離U上的點，只需構造一個特殊的模糊系統T0，使得不同輸入變量在模糊系統T0作用下的函數取值不同即可.為此，在緊集U上取定兩點和，且x0≠z0.

顯然，當x0≠z0時，必有T（x0）≠T（z0），故Σ可分離U上點.

（iii）由非線性T-S模糊系統的表達式（1）可知，?x∈U，T（x）＞0，故Σ使得U上任一點的函數值均非零.

綜上，根據Stone-Weierstrass定理，對緊集U上任意實值連續函數f和任意ε＞0，必存在形如式（1）的模糊系統T，使得對任意的x=（x1，x2，…，xn）∈U，T可按任意精度逼近連續函數f，即有

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（責任編校馬新光）

第一作者：張國英（1991—），女，碩士研究生.

中圖分類號：O159；TP183

文獻標志碼：A

收稿日期：2015-02-23

基金項目：國家自然科學基金資助項目（61374009）.

通信作者：王貴君（1962—），男，教授，主要從事模糊神經網絡、模糊系統分析、模糊測度與積分方面的研究.

Approximation of nonlinear T-S fuzzy system based on Gaussian membership function

ZHANG Guoying，WANG Guijun
（College of Mathematical Science，Tianjin Normal University，Tianjin 300387，China）

Abstract：A new class of nonlinear T-S fuzzy system is established based on the minimum inference engine，Gaussian membership function and the center average defuzzifier.The approximation performance of nonlinear T-S fuzzy system to a multivariate continuous function is proved according to the Stone-Weierstrass theorem.

Keywords：minimum inference engine；Gaussian membership function；nonlinear T-S fuzzy system；approximation