基于非圓信號特征的實值張量ESPRIT算法

司偉建, 禹　芳, 曲志昱, 米勝男

(哈爾濱工程大學信息與通信工程學院, 黑龍江 哈爾濱 150001)

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基于非圓信號特征的實值張量ESPRIT算法

司偉建, 禹芳, 曲志昱, 米勝男

(哈爾濱工程大學信息與通信工程學院, 黑龍江 哈爾濱 150001)

基于最大非圓率非圓信號特點,提出一種實值張量旋轉不變子空間(estimationsignalparametersviarotationalinvariancetechniques,ESPRIT)算法。首先,通過研究張量與矩陣之間的轉化關系,將陣列接收數據矩陣推廣到張量空間;然后,利用歐拉公式將陣列接收數據張量轉化成余弦與正弦數據張量,根據陣列維數將其分別在各維上加以拼接,并對拼接的實值數據張量做高階奇異值分解,獲取信號子空間;最后,通過構造選擇矩陣和進行特征分解,來聯合估計陣列各維相位差,實現波達方向估計。實驗仿真結果表明,此算法具有良好的分辨力和測角精度。

波達方向估計; 非圓信號; 高階奇異值分解; 張量; 旋轉不變子空間算法

0　引　言

基于子空間的測向技術[1]由于高精度高分辨性能,備受人們關注。近年來,許多學者利用非圓信號的特性[2-3]來提高子空間算法的測向性能,且可測信源數也加倍。目前所提出的基于非圓信號的多重信號分類(multiplesignalclassificationfornon-circularsignals,NC-MUSIC)算法[4]和基于非圓信號的旋轉不變子空間(estimationsignalparametersviarotationalinvariancetechniquesfornon-circularsignals,NC-ESPRIT)算法[5],其中NC-MUSIC算法需要進行譜峰搜索,計算量大,而NC-ESPRIT算法只需構造旋轉不變關系,就能達到高精度高速率。文獻[6]提出一種基于非圓信號的實值ESPRIT算法,該方法只適用于一維估計。在現代信息轟炸的時代,一維估計已經不再滿足工程需求,需要將子空間算法向高維推廣。而目前的二維ESPRIT算法多是拘泥于天線陣列的擺放形式[7-9],文獻[10]提出的基于非圓信號的多維ESPRIT類算法,可以對空間多個頻率進行聯合估計,但估計精度一般。引入數學工具張量[11-12],可提高子空間算法對參數估計的精度和分辨力,且在計算過程中也能直觀地體現陣列的結構,因此文獻[13]提出了一種基于非圓信號的張量ESPRIT(tensorESPRITfornon-circularsignals,NC-TE)算法,但是張量之間的運算量較大；文獻[14]提出了一種基于非圓信號的酉張量ESPRIT(unitarytensorESPRITfornon-circularsignals,NC-UTE)算法,此種方法要通過前向后向平均技術和雙映射來轉換成實值,所需的復數張量運算較為復雜。本文提出一種基于非圓信號的實值張量ESPRIT算法,該方法只是通過簡單的加減法,即能轉換成實值,既可保證測向精度,又能降低運算量。

本文首先介紹了張量分解的基本運算,然后從張量信號模型出發(fā),根據歐拉公式,利用最大非圓率非圓信號的特點構造實值張量,最后通過構造旋轉不變關系和特征分解,得到來波方向。通過實驗仿真,驗證了該方法的有效性。

1　數學模型

1.1張量的基本運算

假設存在一個M1×…×Mr×…×MR維的張量A與張量C,I×Mr維的矩陣U,I1×I2×…×IJ維張量D,其中r=1,2,…,R,張量可以看作為一個多維陣列,其具體的運算如下。

(1)r模式張量矩陣化

(2)r模式乘積

(3) 高階奇異值分解

張量A的高階奇異值分解可表示為A=S×1U1×2U2…×RUR,其中S是M1×M2×…×MR維的核心張量,Ur是[A](r)奇異值分解的Mr×Mr維的左奇異特征向量,其中r=1,2,…,R。

(4) r模式拼接

(5) 外積

張量A與D的外積,記為F=A°D,它的維數為M1×M2×…×MR×I1×I2×…×IJ,其中fm1m2…mRi1i2…iJ=am1m2…mRdi1i2…iJ。

1.2張量接收數據模型

假設有q個遠場窄帶信號入射到R維陣列上,陣元數為M1×M2×…×MR,快拍數為L,則天線陣列接收的數據為

(1)

式中,X代表的是M1×M2×…×MR×L維的接收數據張量;A代表的是M1×M2×…×MR×q維的導向張量;S代表的是q×L維的觀測信號;N代表的是M1×M2×…×MR×L維的零均值高斯白噪聲張量。

根據張量的基本概念,可知接收數據矩陣中的各部分量與張量的關系為

(2)

常見的最大非圓率非圓信號有二相相移鍵控(binary phase shift keying,BPSK)信號和幅度調制類的信號;最大非圓率非圓信號本身是實信號,但由于是調制信號,一般需要進行解調處理,受到信道的影響,會有相位的偏移,所以最大非圓率信號S[15]可以寫為

(3)

式中,Φ=diag(ejφ1,ejφ2,…,ejφq),φi(i=1,2,…,q)是非圓相位;S0是實初信號。

2　算法原理

(4)

由于信號S0是實信號,根據歐拉公式構造陣列的接收數據矩陣為

(5)

式中,Yf,Yg是M×L維實值數據矩陣;Af,Ag是定義的M×q維的導向矢量矩陣,表達形式為

(6)

(7)

具體的每個導向矢量為

(8)

(9)

將接收數據的實部與虛部串聯,得到重構接收數據矩陣為

(10)

3　實值張量ESPRIT算法

將矩陣推廣到張量空間,應用到R維陣列,則構造的陣列接收數據張量為

(11)

式中,Yf,Yg是構造的M1×M2×…×MR×L維的實值數據張量;Af,Ag是定義的M1×M2×…×MR×q維的導向張量。

定義的導向張量Af,Ag分別為

(12)

(13)

對構造的實值數據張量,沿r模式加以拼接,進行擴增,則有R種不同的擴增方式

(14)

式中,Y(r)的維數為M1×…×Mr-1×2Mr×Mr+1×…×MR×L,其中r=1,2,…,R。

假設天線陣列的維數為2,利用歐拉公式構造正弦數據張量與余弦數據張量,根據陣列維數將其拼接,則具體的拼接形式如圖1所示。

圖1　接收數據張量的拼接方式Fig.1　The concatenate way of array receiving data tensor

(15)

為構造旋轉不變關系,定義兩個Toeplitz矩陣為

(16)

(17)

根據前面的Toeplitz矩陣,定義兩個選擇矩陣為

(18)

(19)

旋轉不變關系為

(20)

又因為導向張量A與信號張量U(r)[s]張成的是一個子空間,存在一個非奇異值矩陣Q,使得A=U(r)[s]×R+1Q,則有

(21)

(22)

對式(22),利用張量R+1模式矩陣化,再根據最小二乘法可以得到

(23)

式中,(·)?代表的是廣義逆。

對Ω(r)=QΨ(r)Q-1進行特征分解,得到

則有

(24)

(25)

對二維來波方向估計,需要單獨的兩次特征值分解,但不能保證兩次分解的特征值的位置一一對應,所以涉及到參數配對問題,本文采用文獻[17]的方法進行配對。

4　運算復雜度分析

一個算法的運算量將直接影響到工程上的實時性,對整個工程系統(tǒng)的運作都會有直接的影響,因此分析算法的運算量至關重要。本文將比較NC-TE算法、NC-UTE算法與本文算法的運算量。

基于張量的ESPRIT類算法,由于張量屬于不破壞陣列結構的高維運算,計算量的大小與陣列維數有直接的關系,而基于張量算法的計算量主要體現在對構造的陣列接收數據張量進行高階奇異值分解上。高階奇異值分解包括:首先需要對構造的陣列接收數據張量進行r模式矩陣化,然后對r模式化得到的矩陣做奇異值分解，得到左奇異值特征向量,最后利用構造的陣列接收數據張量與各個左奇異值特征向量的r模式乘積，得到核心張量。

所以高階奇異值分解中,運算量主要包括張量矩陣化、奇異值分解及張量與矩陣的乘積。假設r模式拼接的陣列維數為M1×…×2Mr×…×MR×L,各算法的運算量統(tǒng)計如表1所示。

表1　3種算法的計算復雜度比較(r模式)

由表1分析可知,張量之間的運算量較大,本文算法與NC-UTE算法的運算量相當,在奇異值分解、張量與矩陣的乘積運算量上是NC-TE算法的1/4。

接下來比較本文算法與NC-UTE算法在構造實值上的運算量,如表2所示。

由表2分析可見,關于NC-UTE算法,在做高階奇異值分解之前,轉換成實值所涉及的前向后向平均技術和雙映射,需要計算張量與矩陣的模式乘積,而本文算法只需簡單的加減即可構造成實值,可見NC-UTE算法的運算量大于本文算法。

表2　2種算法構造實值的計算復雜度比較(r模式)

5　仿真實驗

為了驗證本文算法的有效性,進行了計算機仿真實驗,并與NC-ESPRIT(NC-E)算法、NC-MUSIC(NC-M)算法、NC-TE算法、NC-UTE算法進行對比。

實驗條件:信號頻率f=3 GHz,采用7×7的均勻矩形陣列,陣元間距為入射信號的半波長,零均值的高斯白噪聲,2個非相干信號源,入射信號的方位角為(20°,160°),對應的俯仰角為(80°,80°),每次仿真進行100次蒙特卡羅實驗。定義測角均方根誤差(root mean square error, RMSE)和成功分辨概率η為

(26)

(27)

實驗 1角度估計。固定信噪比為20 dB,固定快拍數為100,利用本文方法進行來波方向估計,進行20次蒙特卡羅實驗,并對兩個信號進行局部放大,如圖2所示。由圖2可以看出,利用本文方法可以對兩個信號的來波方向進行估計,且從兩個信號的局部放大圖可以看出,多次測向時估計偏差不大,說明了該方法的有效性。

圖2　信號星座圖及局部放大圖Fig.2　Signal constellation and partial enlarged

實驗 2測角精度。先固定信噪比為20 dB,比較本文方法與NC-TE算法及NC-UTE算法的測角RMSE隨快拍數變化的關系,如圖3所示;然后固定快拍數為100,比較本文方法與NC-M算法、NC-E算法、NC-TE算法及NC-UTE算法的測角RMSE隨信噪比變化的關系,如圖4所示。

圖3　快拍數對測角均方根誤差的影響Fig.3　Influence of RMSE versus snapshots number

圖4　信噪比對測角均方根誤差的影響Fig.4　Influence of RMSE versus SNR

由圖3和圖4可以看出,這5種算法對兩個信號的測角RMSE均隨快拍數的增加而減小,隨信噪比的提高而降低。從圖3中可以看出,在信噪比固定的情況下,NC-M算法在快拍數為30時,性能基本穩(wěn)定,此時的誤差主要由搜索步長引起,但是該方法需要譜峰搜索,耗時較長;NC-E算法在快拍數為90左右,測向性能才與NC-TE算法及NC-UTE算法趨近,可見數學工具張量提高了測角性能;NC-TE算法及NC-UTE算法性能相當;在快拍數為50左右時,本文方法的測向RMSE基本保持不變了,且測向精度較高。從圖4中可以看出,快拍數固定為100時,NC-M算法與NC-TE算法、NC-UTE算法及本文算法的性能相當,可見在快拍數為100時,這些算法的性能已經飽和。

實驗 3成功分辨概率。先固定信噪比為20 dB,比較本文方法與NC-M算法、NC-E算法、NC-TE方法及NC-UTE算法對多個信號的成功分辨概率隨快拍數變化的關系,如圖5所示;然后固定快拍數為100,比較本文方法與NC-M算法、NC-E算法、NC-TE算法及NC-UTE算法對多個信號的成功分辨概率隨信噪比變化的關系,如圖6所示。

圖5　快拍數對成功分辨概率的影響Fig.5　Influence of successful estimation versus snapshots number

圖6　信噪比對成功分辨概率的影響Fig.6　Influence of successful estimation versus SNR

由圖5和圖6可以看出,在一定的快拍數與信噪比門限內,這5種方法對兩個信號的成功分辨概率都隨快拍數和信噪比的增加而提高。在信噪比固定為20 dB時,低快拍數下,NC-M算法的成功分辨概率最高,可見高信噪比下,NC-M算法優(yōu)于其他算法；在快拍固定為100時,NC-M算法、NC-E算法的成功分辨概率要低于基于張量類的算法,可見數學工具張量提高了分辨性能。

6　結　論

本文推導了利用最大非圓率非圓信號的實值特點,通過歐拉公式構造兩個實值接收數據張量,然后根據陣列維數對構造的兩個實值接收數據張量以不同的方式拼接,最后借助高階奇異值分解,實現波達方向估計。本文方法利用張量工具,提高多維信號參數估計性能,但同時張量也帶來了較大的運算量,所以本文又通過歐拉公式將復數運算轉化為實值運算,極大地降低了運算量,且保證了測向性能。仿真實驗表明,相比較于NC-M算法、NC-E算法、NC-TE算法及NC-UTE算法,在一定程度上,本文方法提高了測角精度與分辨力,且實時性也較高。

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Real-valuetensorESPRITalgorithmbasedoncharacteristicsofnon-circularsignals

SIWei-jian,YUFang,QUZhi-yu,MISheng-nan

(School of Information and Communication Engineering,Harbin Engineering University, Harbin 150001, China)

Basedonthecharacteristicsofnon-circularsignalsofthemaximumnon-circularrate,areal-valuetensorestimationsignalparametersviarotationalinvariancetechniques(ESPRIT)algorithmisputforward.Firstly,thearrayreceivingdatamatrixisextendedtotensorspacebystudyingtherelationshipbetweentensorandmatrix.Then,thearrayreceivingdatatensoristurnedintocosineandsinedatatensorbyusingtheEulerformula,accordingtothearraydimensionstoconcatenatecosineandsinedatatensorineachdimension,respectively,andobtainthesignalsubspacethroughahigher-ordersingularvaluedecompositionofreal-valueconcatenationtensordata.Finally,phasedifferenceisestimatedjointlyineachdimensiontorealizedirectionofarrival(DOA)estimationbyconstructingtheselectionmatrixandeigendecomposition.Theexperimentalsimulationresultsshowthatthisalgorithmhasabetterresolutionandanglemeasurementaccuracy.

directionofarrival(DOA)estimation;non-circularsignals;higher-ordersingularvaluedecomposition;tensor;estimationsignalparametersviarotationalinvariancetechniques(ESPRIT)algorithm

2015-12-07；

2016-04-14；網絡優(yōu)先出版日期：2016-06-26。

航空科學基金(201401P6001)；中央高?；究蒲袠I(yè)務費專項資金(HEUCF150804)資助課題

TN911.7

ADOI:10.3969/j.issn.1001-506X.2016.09.02

司偉建(1971-),男,研究員,博士,主要研究方向為寬帶信號檢測、處理與識別，高分辨高精度無源測向、譜估計。

E-mail:swj0418@263.net

禹芳(1990-),女,碩士研究生,主要研究方向為寬帶信號檢測、處理與識別，非圓信號處理。

E-mail:yufang19900908@126.com

曲志昱(1983-),女,副教授,博士,主要研究方向為寬帶被動導引系統(tǒng)中信號處理技術、寬帶信號測向。

E-mail:quzhiyu@hrbeu.edu.cn

米勝男(1990-),女,碩士研究生,主要研究方向為寬帶信號檢測、處理與識別。

E-mail:1256395189@qq.com

網絡優(yōu)先出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/11.2422.TN.20160626.1136.004.html