基于事件觸發(fā)的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

李迎迎，江　明（安徽工程大學(xué)電氣工程學(xué)院，安徽蕪湖　241000）

基于事件觸發(fā)的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

李迎迎，江明?
（安徽工程大學(xué)電氣工程學(xué)院，安徽蕪湖241000）

針對(duì)具有時(shí)變時(shí)滯的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)模型，設(shè)計(jì)一個(gè)事件觸發(fā)條件.運(yùn)用Lyapunov泛函和線性矩陣不等式知識(shí)進(jìn)行穩(wěn)定性分析，最后用一個(gè)數(shù)值例子進(jìn)行Matlab仿真，驗(yàn)證了設(shè)計(jì)方法的有效性.

網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)；時(shí)變時(shí)延；事件觸發(fā)機(jī)制；Lyapunov泛函；線性矩陣不等式

網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)（Networked Control Systems，NCSs）是一種空間分布式系統(tǒng)［1］，被控對(duì)象、傳感器、控制器和執(zhí)行器由一個(gè)有限帶寬的通信網(wǎng)絡(luò)連接.將網(wǎng)絡(luò)引入到控制系統(tǒng)當(dāng)中，所帶來的最突出的問題是網(wǎng)絡(luò)時(shí)延和帶寬受限.雖然傳統(tǒng)的周期采樣方式易于實(shí)現(xiàn)，但從資源利用的角度來看，這種方式已經(jīng)不適用.因?yàn)楫?dāng)系統(tǒng)在理想的狀況下運(yùn)行且周期性地執(zhí)行任務(wù)時(shí)，會(huì)造成資源和帶寬的浪費(fèi).隨著系統(tǒng)規(guī)模的不斷增大，網(wǎng)絡(luò)傳輸?shù)臄?shù)據(jù)量越來越大，從減少對(duì)有限的網(wǎng)絡(luò)帶寬資源的浪費(fèi)和提高資源利用率兩個(gè)方面研究NCSs，使得基于事件觸發(fā)機(jī)制的NCSs的研究得到越來越多的關(guān)注.迄今為止，M.D.Lemmon［2］和Paulo Tabuada［3］在等事件觸發(fā)機(jī)制方面取得了顯著成果.在國內(nèi)，有關(guān)事件觸發(fā)機(jī)制的研究剛起步，有少量文獻(xiàn)報(bào)道［4-5］.考慮到有些系統(tǒng)的狀態(tài)不易測(cè)量，設(shè)計(jì)了一個(gè)基于輸出的事件觸發(fā)機(jī)制來控制采樣器采樣信號(hào)的發(fā)送.首先，對(duì)具有時(shí)變時(shí)滯的NCSs系統(tǒng)進(jìn)行建模；然后運(yùn)用Lyapunov穩(wěn)定性理論以及線性矩陣不等式（Linear Matrix Inequality，LMI）方法，研究基于事件觸發(fā)機(jī)制的NCSs的穩(wěn)定性問題；最后通過仿真實(shí)例，驗(yàn)證文中方法的有效性.

1　問題描述

基于事件觸發(fā)機(jī)制并具有時(shí)變時(shí)延的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖1所示.考慮如下形式的一個(gè)被控物理對(duì)象為：

式中，x（t）∈Rn是系統(tǒng)狀態(tài)向量；u（t）∈Rm是控制輸入；ω（t）∈Rp是外部干擾，且ω（t）∈L2［0，∞）；y（t）∈Rp為輸出向量；A、B、Bω和C是相應(yīng)維數(shù)的參數(shù)矩陣.由圖1可以看出，τsc是傳感器到控制器的時(shí)延，τca是控制器到執(zhí)行器的時(shí)延.假設(shè)控制器的計(jì)算時(shí)延可忽略不計(jì)，定義τk=τsc+τca為整個(gè)網(wǎng)絡(luò)時(shí)延，系統(tǒng)的初始化條件為x（t0）=x0.假設(shè)式（1）通過一個(gè)帶有網(wǎng)絡(luò)輸出反饋控制器u（t）=Ky（t）的通信網(wǎng)絡(luò)來完成控制任務(wù)，控制器直接通過一個(gè)零階保持器（ZOH）連接到執(zhí)行器上.

圖1　事件觸發(fā)機(jī)制的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)模型

為了簡(jiǎn)化理論分析，做如下NCSs研究中常見的假設(shè)：通信網(wǎng)絡(luò)中的傳感器都是以固定的采樣周期h時(shí)間觸發(fā)的，控制器和執(zhí)行器是事件觸發(fā)的；網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)通信信道中的信號(hào)都是以單包形式傳輸?shù)模铱刂破鞯挠?jì)算時(shí)延可忽略不計(jì)；總的誘導(dǎo)時(shí)延τk（k∈Z+）是有界的.0＜τk＜ˉτ，其中，ˉτ代表時(shí)延的上界.

考慮系統(tǒng)通信信道容量有限，為減少網(wǎng)絡(luò)中數(shù)據(jù)傳輸?shù)膫€(gè)數(shù)，為NCSs被控對(duì)象設(shè)計(jì)一個(gè)輸出依賴型事件觸發(fā)機(jī)制.如下：

式中，y（（k+j）h）是當(dāng)前輸出采樣數(shù)據(jù)；y（kh）是最近一次被成功傳遞出去的輸出采樣數(shù)據(jù)；V是一個(gè)正定矩陣，j∈Z+，σ∈［0，1）.

滿足式（2）的輸出采樣數(shù)據(jù)y（（k+j）h）不會(huì)被傳輸?shù)娇刂破鞫耍挥胁粷M足式（2）的采樣數(shù)據(jù)才被發(fā)送到控制器端.很顯然，這個(gè)事件觸發(fā)機(jī)制將會(huì)降低網(wǎng)絡(luò)中的通信負(fù)載.在特殊情況下，式（2）中取σ=0，則對(duì)幾乎所有的采樣輸出數(shù)據(jù)y（（k+j）h）式（2）都不成立，此時(shí)，事件觸發(fā)機(jī)制將退化成時(shí)間觸發(fā)機(jī)制.

在事件觸發(fā)機(jī)制即式（2）下，假設(shè)采樣輸出釋放時(shí)刻為t0h，t1h，t2h，….其中，t0h是初始釋放時(shí)刻；γk=tk+1h-tkh定義為事件觸發(fā)機(jī)制下的傳輸周期.考慮到網(wǎng)絡(luò)信道中的時(shí)變時(shí)延τk，這些釋放輸出信號(hào)將分別在t0h+τ0，t1h+τ1，t2h+τ2，…時(shí)到達(dá)控制器端.

第一種情況，若tk+h+ˉτ≥tk+1h+τk+1，定義一個(gè)函數(shù)：

明顯的，

相應(yīng)地，定義一個(gè)誤差向量：

第二種情況，若tk+h+ˉτ＜tk+1h+τk+1，考慮如下區(qū)間

由于τk＜ˉτ，不難得到存在dM滿足不滿足式（2）則不被發(fā)送到控制器.

定義函數(shù)：

由式（8）可知：

定義誤差函數(shù)：

結(jié)合式（2）、式（6）和式（10），可以得出：

結(jié)合式（3）、式（4）、式（6）、式（8）和式（10），當(dāng)t∈［tkh+τk，tk+1h+τk+1）時(shí)，基于事件觸發(fā)機(jī)制的NCSs的模型為：

其中，ψ（t）定義為x（t）的初始化函數(shù).

引理1（Wirtinger不等式）給定一個(gè)矩陣G＞0，對(duì)于連續(xù)函數(shù)ω∈Rn在區(qū)間［a，b］上有下列不等式成立［6］：

定義1如果下列兩個(gè)條件同時(shí)滿足，則稱閉環(huán)系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定且H∞擾動(dòng)抑制水平為γ.

（a）式（12）在ω（t）=0時(shí)是漸進(jìn)穩(wěn)定的；

（b）在零初始條件下，對(duì)任何非零的ω（t）∈L2［0，∞）和一個(gè)給定的γ＞0，有‖y（t）‖2＜γ‖ω（t）‖2.

2　主要結(jié)論

當(dāng)系統(tǒng)中不存在擾動(dòng)，即ω（t）=0時(shí)，研究式（12）的穩(wěn)定性問題，首先給出如下穩(wěn)定性條件.

定理1對(duì)于一些給定的參數(shù)σ和反饋增益K，在事件觸發(fā)機(jī)制即式（2）的條件下，如果存在合適維數(shù)的實(shí)矩陣P＞0，Q＞0，R＞0和V＞0滿足下列線性矩陣不等式：

那么式（12）是漸進(jìn)穩(wěn)定的.

證明構(gòu)建如下形式的Lyapunov-krasovskii泛函：

其中，P=PT＞0，Q=QT＞0，R=RT＞0.在t∈［tkh+τk，tk+1h+τk+1）范圍內(nèi)，沿著式（12）對(duì)V（t）進(jìn)行求導(dǎo)，同時(shí)加上和減去eTk（t）Vek（t）這一項(xiàng)，可得：

整理后得

式（14）Π＜0保證了?V（t）＜0.由Lyapunov穩(wěn)定性理論，當(dāng)ω（t）=0時(shí)，式（12）是漸近穩(wěn)定的，即滿足條件（a）.

證畢.

考慮系統(tǒng)中存在擾動(dòng)的情況，即ω（t）≠0時(shí)，給出如下定理.

定理2對(duì)于給定的參數(shù)σ，γ＞0和反饋增益K，在事件觸發(fā)機(jī)制，即式（2）的條件下，如果存在合適維數(shù)的實(shí)矩陣P＞0，Q＞0，R＞0和V＞0滿足下列線性矩陣不等式：

構(gòu)造形如式（15）的Lyapunov-krasovskii泛函，進(jìn)行類似證明定理1時(shí)對(duì)泛函導(dǎo)數(shù)的處理可得：

通過對(duì)比可知，式（17）等價(jià)于Ψ＜0，從而

式（19）兩邊對(duì)t從0到∞積分，有：

在零初始條件下，有V（0，x0）=0，而V（∞，x∞）≥0，于是式（20）成立

證畢.

3　仿真實(shí)例

考慮具有如下參數(shù)的系統(tǒng)（1），其參數(shù)如下：

取σ=0.2，γ=2，控制器增益K=［0.10.2］.根據(jù)定理2，運(yùn)用Matlab中的LMI工具箱［7］求解線性矩陣不等式（17），經(jīng)過迭代運(yùn)算，可以得到τM的上界為0.615 1，相應(yīng)的事件觸發(fā)矩陣為：

假設(shè)τk≡0，τM=h+ˉτ，最大采樣周期h為0.615 1.γ反映了系統(tǒng)對(duì)外部擾動(dòng)的抑制能力，γ越小，表明系統(tǒng)的性能越好.

4　結(jié)論

考慮到網(wǎng)絡(luò)通信帶寬資源的有限性，為了減小NCSs中通信信道的網(wǎng)絡(luò)負(fù)載，節(jié)約網(wǎng)絡(luò)帶寬資源，提出了一種新的事件觸發(fā)條件來控制采樣信號(hào)是否在通信網(wǎng)絡(luò)中被傳輸?shù)娇刂破鞫?基于時(shí)變時(shí)滯系統(tǒng)模型，討論了一類線性網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的一致有界穩(wěn)定性問題.最后的例子表明：運(yùn)用提出的事件觸發(fā)機(jī)制，在保證閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的前提下，能夠有效地減少網(wǎng)絡(luò)中的數(shù)據(jù)傳輸量，進(jìn)而降低網(wǎng)絡(luò)負(fù)載壓力，節(jié)約了網(wǎng)絡(luò)帶寬資源.由于沒有考慮數(shù)據(jù)包丟失以及多包傳輸?shù)葐栴}的影響，所建模型較為理想化，因此，要應(yīng)用于實(shí)際的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)，還有待進(jìn)一步深入研究.

［1］岳東，彭晨，Q L Han.網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的分析與綜合［M］.北京：科學(xué)出版社，2007.

［2］X Wang，M D Lemmon.Self-triggered Feedback Control Systems with Finite-Gain L2Stability［J］.IEEE Transactions on Automatic Control，2009，54（3）：452-467.

［3］M Mazo Jr，A Anta，P Tabuada.An ISS Self-triggered Implementation of Linear Controllers［J］.Automatica，2010，46（8）：1 310-1 314.

［4］嚴(yán)勝.基于事件觸發(fā)的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)控制與濾波［D］.上海：華東理工大學(xué)，2014.

［5］張進(jìn).基于事件傳送策略的網(wǎng)絡(luò)化控制系統(tǒng)協(xié)作控制研究［D］.南京：南京師范大學(xué)，2014.

［6］A Seuret，F(xiàn) Gouaisbaut.Wirtinger-based Integral Inequality：Application to Time-delay Systems［J］.Automatica，2013，49（9）：2 860-2 866.

［7］俞立.魯棒控制-線性矩陣不等式處理方法［M］.北京：清華大學(xué)出版社，2002.

Stability Analysis of Event-triggered Control for Networked Control

LI Ying-ying，JIANG Ming?
（College of Electrical Engineering，Anhui Polytechnic University，Wuhu 241000，China）

Networked control systems with time-varying delay was discussed and an event-triggered condition was designed.Then，system stability was analyzed by using Lyapunov function and linear matrix inequality.A numerical example was given to demonstrate the effectiveness by Matlab simulation in the end.

networked control systems；time-varying delay；event-triggered scheme；lyapunov function；linear matrix inequality

TP273

A

1672-2477（2016）04-0077-06

2016-01-10

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（61271377）

李迎迎（1987-），女，安徽宿州人，碩士研究生.

江明（1965-），男，安徽蕪湖人，教授，碩導(dǎo).