關于比例尺教學的幾點思考

吳良標

北師大版小學數學教材（第4版）將“比例尺”的教學內容放在六年級下冊的第二單元“比例”中，在此之前，學生已經學過比的意義、比的化簡和比的應用。應該說，我們生活在一個瞬息萬變的時代，科學技術日新月異，從數學的角度研究變量和變量之間的關系無疑是十分必要的，讓學生從小學階段開始非正式接觸函數，開啟一種新的思維方式，將有助于學生更好地認識現實世界。而對于比例尺的知識，學生并不會感到陌生，生活經驗比較豐富，如圖形的放大與縮小、地圖上的比例尺等。盡管如此，比例尺的應用對于學生來說還是比較抽象的，教學中存在不少困惑，值得我們思考。

一、 怎樣計算更簡便

“比例尺”這節課的教學目標之一確定為：結合具體情境，認識比例尺，能根據圖上距離、實際距離和比例尺中的兩個量求第三個量。教材中也很明確地給出比例尺的定義：比例尺=圖上距離：實際距離。據此可以推導出另外兩個計算公式：圖上距離=實際距離×比例尺；實際距離=圖上距離÷比例尺。那教學中是否也應如此按部就班呢？筆者在實際教學中進行了比較：讓學生去識記這三個抽象無味的計算公式無疑會增加學生的記憶負擔和學習難度，這樣的教法阻擾了學生自由的“呼吸”。鑒于以上情況，在教學比例尺讓學生計算實際距離時，只要學生懂得實際距離是圖上距離的幾倍，可先進行單位的轉化，如1：15 000 000，表示圖上1厘米相當于實際15 000 000厘米，即15千米，而圖上5厘米可直接乘15千米等于75千米。如要計算圖上距離時，可用實際距離除以比例尺的后項，這樣就能有效地促使學生從繁瑣的計算中解放出來，有更多的時間進行更有意義的思考。

二、 是放大還是縮小

在此后的單元測試中出現這樣一道題：一種精密儀器長0.5毫米，畫在圖紙上長是3厘米，你能求出這幅圖的比例尺嗎？學生解答：3厘米=30毫米，0.5毫米：30毫米=1：60。班級有51名學生，竟有38人這樣做，面對這一典型錯誤，筆者不由得反思是哪個環節出現問題了呢？思索一番后得出以下結論：首先，教材編寫中雖明確指出比例尺的定義，但例題中出現的比例尺皆為將實際距離縮小后畫在圖紙上的，它們的前項是1，因此學生便會先入為主產生負遷移。當然編者也考慮到了這一問題，因為在此課后面又安排了一份閱讀材料——“你知道嗎”：說明在生產、科技研究中，有時由于機器零件比較小，需要把實際距離擴大一定的倍數以后，再畫在圖紙上。但這一補充因為筆者在教學中的疏忽而未能達到預期的目的。其次，教師在教學中，對于比例尺這一抽象概念的解析不到位，導致學生的一知半解。因此，在教學前教師得做足功課：比例尺是表示一幅圖上圖上距離和實際距離的比，可分為放大比例尺和縮小比例尺兩種。其中，放大比例尺的后項一般是1，用于設計圖紙，縮小比例尺的前項一般是1，用于地圖。在課堂上還應設計相應的練習讓學生有針對性地訓練，從而有效突破思維定勢，正確認識比例尺。其實深入分析后，便可得知：比例尺的后項為事物原來的實際大小，而前項則為畫在圖上的大小，如2∶1便是將實際放大2倍畫在圖上，而3∶4則是將實際縮小四分之三畫在圖上等。此外，還可適當介紹比例尺的三種表示方法：數字式、線段式、文字式，增加學生對比例尺相關知識的了解，進一步體會數學與日常生活的密切聯系。

三、 先算長度還是面積

教學比例尺后，相信很多教師都會碰到這樣的情況：

例題1：一塊長方形水田，在比例尺1∶2 000的平面圖上，量得它的長25厘米，寬15厘米，這塊水田的實際面積是多少公項？學生列式計算：25×15=375cm2 375×2 000=750 000cm2=0.0 075公項。而正確的列式應為：25×2 000=50 000cm=500m 15×2 000=

30 000cm=300m 500×300=150 000m2=15公項

學生出現錯誤的原因是先計算圖上面積，再用圖上面積×比例尺的后項，對于這種思維偏差，很多教師的通常做法是強調：一定要先計算出實際的長和寬（或底和高），再計算實際的面積。除此之外，好像別無他法，然后學生下次再碰到這種類型的題目，老毛病又犯了……筆者以為，這一錯誤資源具有一定的典型性，有進一步挖掘的價值。可以出示正誤兩種方法讓學生進行辨析，為什么計算的結果不一樣呢？引導學生觀察：如果例題中的0.0075公項再乘2 000就會等于15公項，說明先算出圖上面積也可以，但還要再乘一次比例尺的后項，這是為什么呢？引導學生思考：比例尺表示的是長度之間的比，如果是面積，那么它們的比就發生了變化啦。

四、 要不要寫單位名稱

在教學比例時，還有一種情況也讓教師比較糾結——比值要不要寫單位名稱？查閱相關資料后明白了所謂的“值”在數學上指的是演算所得結果：如數值、比值、函數值。而“比值”指的是兩數相比所得的值。比的概念是由同類量的比較而來的，如一個數是另一個數的幾倍，但現在比的概念已擴充到不同類的量相比。比的定義則趨向采用比較廣義的解釋，如小學階段比被定義為‘兩數相除又叫兩數的比”。因此，比在表示同類量比時比值不帶單位，類似于倍數關系，如比例尺便是此種情況；比在表示不同類量的比時，其結果（比值）是要帶單位的，且常常為復合單位。如一輛轎車3時行駛180千米，這時路程和時間的比值產生了一個新的量，即速度。單位是千米/時。因為小學階段沒有強調復合單位，我們往往只寫成“千米”。除此之外還有“總價與數量”的比是“單價”、“工作總量和工作時間”的比是“工作效率”……在此處我們可進行模糊處理，不必非此即彼、錙銖必較。

以上關于比例尺教學的思考雖力求追本溯源，但此中真意因才疏學淺只能算淺嘗輒止，權當拋磚引玉，如能引起大家的思索，那就更有意義了。

【責任編輯：陳國慶】