對“問題—猜想—驗證—結論”教學模式的案例反思

項偉琴

《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《課標（2011年版）》）在談到“創新意識的培養”時指出：歸納概括得到猜想和規律，并加以驗證，是創新的重要方法。因此，“問題—猜想—驗證—結論”成了當下數學課堂上非常熱門的教學模式，尤其是在幾何教學中更被廣泛運用。但事實上，就是幾何教學中也有很多知識是不適合用這種模式來得出結論的。比如，人教版三年級上冊“四邊形的認識”中“長方形和正方形的特征”的概括就不適合這樣的教學。

《課標（2011年版）》在“課程內容”的“第一學段”中提出“通過觀察、操作，初步認識長方形、正方形的特征”。那么人教版教科書上是怎樣呈現這一內容的呢？我們來看：人教版三上第七單元“長方形和正方形”第80頁。

圖上的小朋友用三角尺上的直角量出了長方形和正方形都有四個直角，通過折一折或量一量發現長方形的對邊相等，正方形四條邊都相等。有兩位教師在教學時都是先提出問題，引導學生猜想，再通過量、折來驗證，最終得出結論。我們來看教學片段：

1.出示長方形，研究長方形的特征。

師：長方形每條邊都有各自的名稱，通常把較長的邊叫作長方形的長，較短的邊叫作長方形的寬。（引導學生猜想）仔細觀察，你發現長方形的邊和角有什么特征？

生：上下兩條邊相等，左右兩條邊相等。

生：四個角都是直角。（師：我們把上下兩條相對的邊、左右兩條相對的邊叫作對邊）（板書：長方形 對邊相等，四個角都是直角）

談話：小朋友的猜想到底對不對呢？你們能用什么方法可以證明一下嗎？同桌討論。

師：你打算用什么方法驗證？

生：（1）可以用直尺量；（2）把長方形對折；（3）用三角尺上的直角比一比。

師：請大家動手驗證剛才的猜想。（生動手操作）

師：你發現長方形的邊有什么特點？（長方形對邊相等）

師：你是怎么知道長方形的對邊相等的？（對折、用尺量一量）

師：長方形的角有什么特征？（四個角都是直角）你是怎么知道長方形的四個角都是直角？（用三角尺的直角比一比，發現都一樣）

師（小結）：剛才小朋友們自己動手驗證了長方形：對邊相等，四個角都是直角（板書），這就是長方形的特征。（生齊讀加深印象）

2.研究正方形的特征。

課件演示：長方形的長縮短一些，變成新的長方形。

師：現在是什么圖形，你發現什么變了，什么沒變？

課件演示：長方形的長再縮短一些，還是變成長方形。

師：現在又是什么圖形，你發現什么變了，什么還是沒變？

課件演示：長方形的長再縮短一些，變成正方形。

師：現在呢？為什么？什么還是沒變？

生：正方形，因為長和寬相等（四條邊相等），四個角都沒變，都是直角。（板書：正方形四條邊都相等，四個角都是直角）

師：正方形四條邊都相等，我們把正方形每條邊都叫作邊。

3.比較長方形和正方形的相同點和不同點。

思考：“長方形和正方形的四個角都是直角”這一特征一定要用三角尺上的直角去量嗎？我們來看人教版二上第三單元“角的初步認識”有這樣幾道題目。

第40頁：

從這幾道題我們可以看出，沿著方格紙中的線畫出的就是直角，在長方形和正方形中能找到四個直角，學生在釘子板中圍長方形和正方形的過程中就已經初步體會到了長方形對邊相等、正方形四條邊都相等的特點，因此，筆者認為：驗證長方形與正方形邊和角的特征是假探究，沒有多少價值。基于這樣的事實，筆者在這個環節進行了這樣的設計：

【教學片段】

畫圖比較，歸納特殊四邊形的特征。

1.請在格子圖中畫出幾個不同的四邊形。

反饋：

（1）指名三生排隊展示，說出：我畫的四邊形中有××、××……

師：針對線沒畫直的四邊形，你有什么想說的？

（2）你畫的四邊形中哪幾個比較特殊？特殊在哪兒？

2.發現長方形和正方形的特征。

（1）數格子，比較不同大小的正方形，發現：雖然這些正方形的大小不一樣，但它們……

板書：4條邊都相等，有4個直角。

（2）想一想：是不是只要4條邊都相等的四邊形就都是正方形了呢？你能在你們畫的圖形中找出一個圖形來說明嗎？

學生通過正方形和菱形的比較中發現只有4條邊都相等并且4個角都是直角的四邊形才是正方形。

（3）還有誰比較特殊？長方形特殊在哪兒？（生自由說）

課件演示：長方形各邊的名稱：長、寬、對邊。（重點理解“對邊”）

板書： 對邊相等，有4個直角。

（4）想一想：是不是只要對邊相等的四邊形就是長方形了呢？你也能在畫的圖形中找出一個圖形來說明嗎？

學生通過將長方形和平行四邊形的比較中發現：只有對邊相等且4個角都是直角的四邊形才是長方形，而平行四邊形是對邊相等，對角相等。

（5）長方形和正方形有什么相同的地方？（都有4個直角）不同點呢？

（6）思考：4個角都是直角的四邊形就一定是長方形和正方形了嗎？

學生在思辨、討論過程中發現“4個角都是直角的四邊形一定是長方形但不一定是正方形”，只有“4條邊也相等”的時候才是正方形。

鄭毓信教授曾在“長方形與正方形特性”的教學時提出這樣的問題與思考：長方形與正方形的特征真的是量出來的嗎？正如三角形的分類，我們在此或許也應更加重視四邊形的分類，也即應當通過各種四邊形的比較將學生的注意力逐步引向各種較為特殊的四邊形，包括如何對這些特殊四邊形（這不僅指長方形與正方形，也包括菱形、平行四邊形等）作出明確的定義。……總之，在此需要的主要是動腦，而不是外部的操作或動手實踐。

《課標（2011年版）》在談到“推理能力的培養”時指出：推理一般包括合情推理和演繹推理，合情推理是從已有的事實出發，憑借經驗和直覺，通過歸納和類比等推斷某些結果。筆者認為直接指向長方形和正方形的特征認識，而拋棄四邊形的背景，無法理清圖形之間的關系，學生對長方形和正方形的特征認識也是不深刻的。因此，在認識四邊形后，利用教材的“做一做”，在格子圖中畫不同的四邊形，充分利用學生的作品，在反饋比較中，從眾多不同形狀的四邊形中聚焦于兩類特殊的四邊形——長方形和正方形，發現不同大小的長方形與正方形邊和角的特征，并比較長方形和平行四邊形都是對邊相等，但角不同，正方形和菱形都是四條邊相等，但角不同，從而突出角的重要性。這樣，學生的合情推理能力也得到了有效的培養。

數學中像這樣的例子有很多，“問題—猜想—驗證—結論”是學習數學一種很重要的方法，但我們要根據不同的教學內容和學生的實際選擇不同的教學方法。常言道：教學有法，教無定法，貴在得法。這就是說：教學是有規律可循的，學習一定的內容，面對一定的學生，為了實現一定的教學目標，都有與之相適應的教學模式、教學路徑和教學步驟，但在具體的教學中并不存在“放之四海而皆準”的固定不變的方法，一切都要因人、因情而定，教師要堅持從教材出發，從學生出發，從實際出發，以我為主，博采眾長，不斷創新。最好的不一定是合適的，但合適的才是最好的。

（浙江省仙居縣第一小學 317300）