把數學史料融入數學探究之中

2016-09-10 07:22:44邵漢民陳芳

教學月刊·小學數學 2016年10期

邵漢民陳芳

【摘要】“圓周率”是小學階段一個學生不可能依靠自主探究得到的概念。在對“圓周率”數學史料進行分析的基礎上，進行教學構思，首先解決圓周長問題時，設計疑問；接著在實驗驗證的過程中，進一步積累疑問；然后通過簡要回顧數學“圓周率”的歷史，認識圓周率；最后總結圓周長公式。

【關鍵詞】圓周率設疑積疑釋疑

數學的概念、定義、法則的產生與形成，大多經歷了漫長的歷程，在課堂上讓學生真實地經歷這樣一個過程，是不可能也是沒有必要的。在設計數學探究的過程時，我們通過閱讀相關的數學史料，再結合學生的學習現實，確定哪些過程適合于學生探究，哪些過程只要學生讀史了解？下面以“圓周長”一課中設計“圓周率的教學”為例來闡述具體做法。

一、讀史感悟

圓周長的精確測量是一個千古難題，在對這個難題的破解中，人們發現了圓周率。圓周率的發現經歷了實驗時期、幾何法時期、分析法時期、計算機時期這四個時期。從實驗時期到幾何時期，是人類對于圓周率求值過程的第一次飛躍，體現了數形結合的思想；從幾何時期到分析時期，是代數思想發展帶給數學的生機；從分析時期到計算機時期，對圓周率的認識達到了質的飛躍，成為現代計算機技術對數學的一大貢獻。

當然，要在短短的40分鐘內讓小學六年級的學生親身探究這樣的一個過程，無論從時間與已有的知識基礎來說是做不到的。我們可以做的是，創設情境，在經歷了用實驗法只能得到圓周率的大致值的體驗之后，介紹之后的關于圓周率的研究成果與方法。在這樣一個大的背景下來認識圓周率，學生頭腦中的“圓周率”才是比較完整的、真實的。

為得出圓周率，以下兩個活動必不可少。

第一，讓學生動手量一量圓的周長與直徑，再算出它的周長與直徑的倍數。

第二，在操作后發現它的結果是三倍多一些，但又不能確定是幾時，展示事先準備的資料，介紹圓周率的發現史，進而總結出圓周長的計算公式。

認知心理學認為，人的學習過程是從心理平衡到不平衡再到平衡的一個認知過程。為讓學生在圓的周長的教學過程中經歷這樣一個過程，我們在圓周率的教學這一個環節中設計了積疑、設疑和釋疑這樣一個學習過程。積疑，就是讓學生在直接測量一些圓形物品周長的基礎上，指出如果要測量黑板上的圓，怎么辦？有沒有更好的辦法？設疑，就是讓學生回顧已有知識，說一說圓的周長與直徑之間的倍數關系，了解不同時期對圓周率有不同的說法，并通過實際測量發現，圓周率總是得不到統一。這時教師介紹圓周率的發現史，進行釋疑。

二、教學實踐

（一）積疑——從可以直接測量圓周長到不可能直接測量

【片段一】

圓的周長與直徑的關系是客觀存在著的一種現實，對于這一個關系進行探究的目的應該是為了解決實際問題，即當不能直接測量出圓的周長時，怎么辦？

教師為同桌學生提供一枚1元硬幣與一顆中國象棋子，引導學生“化曲為直”直接測量出圓的周長。接著教師提問，如果要知道畫在黑板上的圓周長，你能用什么辦法？

師：當一個圓形在某一個柱體上時，可以用化曲為直的方法來解決。但如果是一個圓形，我們直接測量周長就很困難了。你有什么辦法來解決這個難題？

生：可以測出圓的直徑，再乘3.14。

師：為什么可以這么做？

生：因為圓的周長是直徑的3.14倍。（教師板書：“直徑 3.14倍”“圓周長=直徑×3.14”）

師：你是怎么知道周長是直徑的3.14倍的。

生：我是看書知道的。

師：老師也看到一本書，上面是這樣介紹的：

公元前200年《周髀算經》周三徑一

生：這里說的是“周長是直徑的3倍”。（教師板書：“3倍”）

師：現在怎樣求圓周長？

生：圓周長=直徑×3。

師：現在我們得到了兩個求圓周長的式子，用哪一個來做才是正確的呢，或者說兩個都有問題？你有什么辦法可以來驗證？

（教學意圖：對于圓周率的值，有部分學生可能已經通過看書有了認識，但又不可能對其進行全面的了解，教師充分利用學生的這一個認識起點，讓學生說一說、算一算。同時教師再舉一個書本中的例子，發現書本對于圓周率并沒有一個統一的說法。從而產生了一個新的疑問，生發了進一步進行驗證的需要。）

（二）設疑——從不能直接測量到探究圓周長與直徑的關系求圓周長

【片段二】

用實際測量圓的周長與直徑，再通過計算來探究圓周率的過程，就是實驗法。這是人類探究圓周率最原始的方法，需要的數學基礎知識最少，適合于小學生操作實驗。但我們又應該清醒地認識到，這種方法并不是求圓周率的最佳策略，不可能對前面所積累的疑問得到圓滿的解決，只是讓學生掉進更大的疑問之中。

生：我們前面已經測量出一枚1元硬幣和一顆中國象棋圓面的周長，現在只要再測量出它們的直徑，除一除就可以得到結果了。

師：聽清他講的意思了嗎？（學生測量并計算）

師（找兩張結果都是三倍多一點的在投影上展示）：你有什么發現與疑問？

生：我發現求出的結果并不是三倍，而是三倍多一點，而且兩次的結果并不相同？

師：有沒有結果剛好是3.14的？

有一組學生舉手。教師把他們的結果展示出來，見下表。

師：請同學們幫助算一算它的結果。

學生計算后都發現沒有計算錯誤。這時教師追問：你對這組數據有什么疑問？

有些學生思考后舉手說：周長這個數據不可能量得這么精確。

師：大家認為呢？（這時學生也恍然大悟）

師：對了，用我們的尺子來量，最多只能精確到十分位。并且用尺子測量線段時，有一些線段是不可能測到它的準確值，這一點到我們讀初中時數學老師會給同學們說明。不巧的是，在圓中，直徑與周長中至少有一個值是無法用尺子測量到它的準確值的。所以用測量的方法要得到圓周長與直徑的倍數的準確值是不可能的。

[教學意圖：從圓周率值的精確過程來看，經歷了實驗法計算時期、幾何法計算時期、分析法計算時期與計算機計算時期。學生動手測量只是最為原始的實驗法計算時期。因此，在一般情況下是不可能得到如3.14這樣的結論的。但學生又是在知道圓周率的值（約）是3.14的情況下進行的，因此就會出現“3.14”這樣的值。教師很好地利用課堂的生成資源，組織學生進行討論，讓學生發現其中的不可能處，進一步反證了圓周率并不是正好是3.14。也進一步激發起學生進一步認識圓周率的需要。]

（三）釋疑——從得不到一個明確的結論到了解圓周率的認識史

在數學史上，很多數學問題的解決不是一蹴而就的，有一些是通過幾十年、幾百年甚至幾千年的長期努力才獲得的。讓學生了解圓周率的探究過程，有利于學生更加深刻地理解圓周率。

【片段三】正六邊形的研究

教師出示一個圓，再在這個圓內做出一個正六邊形。

師：你能說一說正六邊形的周長與圓周長的關系嗎？

教師再畫上正六邊形的三條對角線，說一說分別是圓的什么。它的長度相當于幾條六邊形的邊長，那么正六邊形的周長是直徑的多少倍，也就是周三徑一。這個“周”是誰的“周”？（生：正六邊形的周長）

師：那么圓的周長應該是直徑的3倍要——（生：多一些），或者說是約是周三徑一（教師在“周三徑一”的前面加上“約是”）。受到這個圖的啟發，當時的數學家把這個圓繼續分割成——（演示：把圓十二等分后得到的正十二邊形）。這時的正十二邊形的周長和正六邊形的周長誰的周長更接近于圓的周長？數學家計算出正十二邊形的周長再除以圓的直徑得到值為——大屏幕演示。再把剛才的圓二十四等分，得到正二十四邊形，計算出近似值是——（大屏幕演示）。你發現這些數值有什么變化規律？這就是有名的割圓術。（多媒體演示見圖1）

數學家用這種方法割啊割，“割”了整整六百多年，到了公元460年左右，有一位數學家叫祖沖之，它把圓分割成12288份，得到正12288邊形，得到圓的周長是直徑的倍數在3.1415926與3.1415927之間。這個發現比國外的數學家早了1000多年。因此人們把這個倍數關系稱為“祖率”。

現在你發現前面我們說的3.14倍與3倍是一個什么數？是一個近似數。（教師在前面板書的數據前加上了約等號）1882年，離現在一百多年前的德國數學家林德曼證明了圓的周長與直徑的倍數是一個無限不循環小數。這個倍數稱為圓周率，為了更好地表示它，數學家用希臘字母“π”來表示，當人類發明了計算機之后，計算這個圓周率就變得輕松了，已經計算到小數點后2000億位了。出示圖形，請學生讀一讀。教師說明這里還只是表示了圓周率小數點后的前707位。（多媒體演示見圖2）

（教學意圖：可以這么說，在數學世界中，可能找不到一個數值，像圓周率這樣吸引這么多數學家進行這么長時間的研究。因此，讓小學生通過實驗的方法來明白圓周率的內涵是不可能，如何讓學生了解圓周率的歷史，教師選取了數學史中的幾個典型的片斷，讓學生“思接千年，情寄數學”。）

（四）反思——從“再計算”的過程中提煉出圓周長公式

【片段四】

師：根據我們這么一段時間的學習，對前面的兩個答案有什么進一步的認識？

生：這兩個算式中的“3”與“3.14”分別是圓周率的近似值。

師：哪一個值更接近于圓周長的實際值？

師：如果要更精確，可以怎么做？

生：把圓周率的值保留更多的（小數）位數。

師：那么怎樣表示出這個周長的精確值？

學生感到疑惑，教師板書40π厘米。說一說為什么這個值是一個精確的值。

生：40是一個一定的數，π也是一個一定的數。

師：現在你能總結出求圓周長的計算公式嗎？