基于稀疏正則化的內外置電極電容層析成像

毛明旭，葉佳敏王海剛邱桂芝

（1. 中國科學院 工程熱物理研究所，北京，100190；2. 中國科學院大學 物理學院，北京，100190）

基于稀疏正則化的內外置電極電容層析成像

毛明旭1，2，葉佳敏1，王海剛1，邱桂芝1，2

（1. 中國科學院 工程熱物理研究所，北京，100190；2. 中國科學院大學 物理學院，北京，100190）

利用一種基于軟閾值的稀疏正則化圖像重構算法，對IEE ECT內部的介質分布進行重構，并與Landweber迭代算法進行對比。仿真和實驗結果表明：對于內外置電極的ECT，基于軟閾值的稀疏正則化重構算法可以明顯減少迭代步數，提高重構圖像的質量。

電容層析成像；內外置電極；圖像重構；稀疏正則化；軟閾值

電容層析成像（ECT）是一種斷面成像技術，根據被測對象介電常數的不同來重構其內部物質的濃度分布。ECT技術由于其具有無輻射、成像速度快、非接觸和非侵入、耐高溫高壓和成本低等優點［1］，目前已經廣泛應用于不同領域的測量過程中，包括原油管道中的油/氣兩相流［2］、火焰［3］、氣力輸送［4-5］和循環流化床內氣固兩相流［6］等。在制藥過程中，Wurster流化床常被應用于顆粒包衣過程。Wurster流化床床內中心區域放置有導向管，導向管的存在可以規范顆粒運動軌跡，使顆粒表面形成均勻、一致的包衣涂層。這樣在導向管和外管之間形成一個環形區域，此區域內顆粒濃度分布的在線監測對于提高設備運行效率、獲取高質量產品尤為重要。而常規的具有外置電極的ECT傳感器由于中心區域靈敏度低，因此難以準確監測環形區域的物質分布［7］。一些研究人員提出了內外置結構的電極（IEE）來提高中心區域的靈敏度。若將具有內外置電極的ECT傳感器應用到上述過程中，則有助于研究環形區域的物質分布，提高過程效率［7］。ECT圖像重構是一個典型的病態問題，因此，在利用IEE ECT進行測量的過程中，除了測量得到的電容，圖像重構算法也至關重要。ECT圖像重構算法分為非迭代算法和迭代算法。在非迭代算法中，XIE等［8］提出了LBP算法，LBP算法速度快但成像質量較差，一般用于定性分析。在迭代算法中，YANG等［9］提出了Landweber迭代算法，此算法可以得到質量較高的圖像，但若要實現在線測量，則必須限制迭代步數，從而影響成像質量。PENG等［10］研究了Tikhonov正則化在ECT圖像重構中的應用，LEI等［11］比較了ART算法，SIRT算法和OIOR算法等對圖像重構質量的影響。目前，LBP算法和Landweber迭代算法應用最為廣泛。0范數是一種常見的對信號實施稀疏性約束的方法。如果解足夠稀疏，則 0范數問題和 1范數問題具有相同解［12］。目前常用的提高稀疏性的方法包括 wavelet變換［13］、ridgelets變換［14］、curvelets變換［15］、Fourier變換和奇異值分解法（SVD）［16］等。YE等［17］提出了一種基礎擴展敏感場的稀疏重構方法，并利用仿真和實驗研究驗證了算法的性能。此外，DAUBECHIES等［16］認為 1范數迭代算法相當于帶有軟閾值函數的Landweber迭代算法，并給出了理論分析結果。基于此，JIN等［18］提出了一種適用于EIT的圖像重構算法。DONG等［19］提出了一種適用于ECT的帶有合適正則化參數的軟閾值迭代算法，結果表明該算法所重構的圖像與Landweber算法所得圖像質量相近，但大多數情況下該算法所需時間更短。基于此原理，YE等［20］提出了一種基于軟閾值的稀疏正則化重構算法，并且在具有外置電極的 ECT傳感器上進行了仿真和實驗驗證，結果表明此算法對于具有外置電極的ECT傳感器具有良好的重構效果。本文作者利用 Ye等［20］提出的基于軟閾值的稀疏正則化圖像重構算法，對具有內外置電極的ECT傳感器進行數值仿真和實驗測試，研究此算法在內外置電極ECT圖像重構中的性能。

1 ECT線性模型簡介

ECT的歸一化線性模型可以表示為［8］

其中：λ為歸一化電容向量；S這歸一化敏感場矩陣；g為歸一化介電常數向量。

敏感場矩陣元素采用下式計算［8］：

對于有噪聲干擾（e）的實際信號，測量模型可以表示為［8］

2 基于稀疏正則化的重構算法

2.1 稀疏表達

基于1范數的ECT重構問題可描述為

利用拉格朗日乘子法，得到

對此，DAUBECHIES等［16］提出了相應的軟閾值函數以實現稀疏性：

其中：w為正則化參數。

2.2 步長

Landweber迭代過程可描述為［9］

其中：步長αn的選擇是一個重要問題，合適的步長可以加速收斂，減少計算時間。LIU等［16］提出了一種計算最佳步長的方法，即下式

本文采用式（9）計算步長。

2.3 軟閾值函數

YE等［20］提到，在外置電極的ECT傳感器中，2類連續相分布不同的流型在用Landweber算法進行圖像重構時，連續相為高介電常數的分布隨迭代步數的增加高介電常數區域增大，連續相為低介電常數的分布則隨著迭代步數的增加呈現相反的變化。據此，本部分首先對內外置電極的 ECT傳感器進行類似的研究，即對2類連續相分布不同的流型進行模擬。

圖1所示為本文進行模擬所使用的2種流型圖。2種流型連續相分布存在差異，D1分布中連續相的介電常數為3.5，離散相介電常數為1；D2分布中連續相的介電常數為1，離散相介電常數為3.5。

圖1 真實介電常數分布Fig.1 True permittivity distribution for simulation

圖2所示為隨著迭代步數的增加，重構圖像中介質分布的變化趨勢。此處算法采用Landweber迭代算法。由圖2可以看出：2種分布下連續相隨著迭代步數的增加其變化趨勢是不同的。D1中連續相為高介電常數分布，隨著迭代步數增加，高介電常數區域增大，而D2與之相反。結論與外置電極的ECT傳感器相同。據此，根據YE等［20］的結論，軟閾值函數可以根據連續相分布不同而分為2類。對于連續相為低介電常數的分布，軟閾值函數定義為

圖2 在Landweber迭代算法下，D1和D2分布隨著迭代步數增加時的重構圖像Fig.2 Images reconstructed for D1 and D2 with increase of number of iterations with Landweber iterative algorithm

其中：w為正則化參數。

2.4 算法總結

步驟1） 計算敏感場S。

步驟3） 利用式（10）計算

3 數值模擬

3.1 模擬條件簡介

本文采用一個外置12電極內置4電極的ECT模型進行模擬，如圖3所示。軟件采用 COMSOL Multiphysics和Matlab。對于正問題，在COMSOL中，成像區域被劃分為‘fine’程度的網格。對于逆問題，成像區域被劃分為64×64個網格，環形區域有效像素為2 944個。

敏感場矩陣在圖像重構過程中起著非常重要的作用。對于內外置電極的ECT傳感器，其敏感場計算方法與傳統 ECT類似，仍采用式（2）。得到結果之后，對敏感場矩陣進行歸一化處理。圖4所示為本文的歸一化平均敏感場分布，即像素為歸一化敏感場矩陣中每一列的平均值。

根據YE等［20］的研究，相關系數可以更好地反映重構圖像的質量。因此，本文選擇相關系數作為圖像質量的評價標準，其表達式為［9］

圖3 內外置電極ECT傳感器簡圖Fig.3 Diagram of IEE ECT sensor

圖4 歸一化平均敏感場分布Fig.4 Normalized sensitivity distribution

3.2 模擬結果

本部分利用圖1中D1和D2分布來進行數值模擬研究。圖5所示為基于軟閾值的稀疏正則化重構算法所得到的圖像。當正則化參數為 0時，此算法即為Landweber迭代算法。由圖5可以看出：在一定范圍內，隨迭代步數增加，圖像質量增加；隨著正則化參數增加，圖像質量增加。另外，隨著正則化參數增加，介電常數不同的2種物質其邊界也更加明顯。據此可以得出，具有合適正則化參數的稀疏正則化重構算法可以提高圖像質量。對于D2，當正則化參數為0.04，迭代步數大于 10步時，圖像已經不能反映原來的流型。這說明在一定范圍內的正則化參數可以提高圖像質量，超出這個范圍則會降低圖像質量。

對于D1和D2的圖像重構，圖6所示為其相關系數與正則化參數（w）及迭代步數的關系。總體來看，相關系數隨著正則化參數的增加而增加，隨著迭代步數的增加而增加。但是，當正則化參數超過某一值后，相關系數會減小。對于D1，迭代步數為30時，正則化參數由0.07增加到0.08后，相關系數減小；迭代步數為40時，正則化參數大于0.06后，相關系數減小。對于 D2，在所有 4種迭代步數之下，正則化參數由0.03增加到0.04后，相關系數減小。

通過對重構圖像的定量分析可以得到，與Landweber迭代算法相比，1個合適的正則化參數可以提高圖像質量；此外還可以得到，合適的正則化參數可以減少迭代步數，提高成像速度。

3.3 經驗正則化參數分析

圖5 利用Landweber迭代和基于軟閾值的稀疏正則化算法得到的重構圖像Fig.5 Images reconstructed by Landweber iterative algorithm and the sparse regularization algorithm

圖6 相關系數與正則化參數和迭代步數的關系Fig.6 Correlation coefficient with different regularization parameters and different number of iterations

圖7 基于經驗正則化參數的稀疏正則化算法所重構的圖像（迭代步數為20）Fig.7 Images reconstructed by sparse regularization algorithm with empirical regularization parameters （The number of iterations is 20）

表1 D1分布下，基于不同經驗正則化參數所得圖像的相關系數Table 1 Correlation coefficient for D1 with sparse regularization algorithm with empirical regularization parameters

表2 D2分布下，基于不同經驗正則化參數所得圖像的相關系數Table 2 Correlation coefficient for D2 with sparse regularization algorithm with empirical regularization parameters

4 實驗研究

4.1 實驗設備

本文實驗所采用的 ECT系統為 16測量通路的AC-ECT系統，激勵信號的頻率為100 kHz，激勵電壓振幅為18 V。ECT傳感器采用外置12電極、內置4電極的布置方式。

圖8所示為本文實驗所采用的真實介電常數分布。高介電常數區域采用沙子，相對介電常數為2.5；低介電常數區域為空氣，相對介電常數為1。

4.2 實驗結果分析

圖9所示為實驗所得到的結果。迭代步數選擇1，5和10步，正則化參數選擇0，0.02，0.04和0.06。正則化參數為0時，算法轉化為Landweber迭代算法。由圖9可以得到：在一定范圍內，隨著迭代步數增加，圖像質量增加；在一定范圍內，隨著正則化參數增加，圖像質量增加。相比Landweber迭代算法，在基于軟閾值的稀疏正則化重構算法下，不同材料的邊界更加明顯，圖像質量也更高。

圖8 實驗所采用的真實介電常數分布Fig.8 True distribution of relative permittivity used in experiment

圖9 采用Landweber算法和基于軟閾值的稀疏正則化算法對內外置電極ECT重構所得實驗結果Fig.9 Images reconstructed by Landweber iterative algorithm and sparse regularization algorithm using experimental data

此外，當正則化參數為0.06，迭代步數為10步時，圖像已經發生扭曲，說明正則化參數應限制在一定范圍內，否則會降低圖像質量。實驗結果與仿真結果吻合較好。

5 結論

1） 在內外置電極的ECT傳感器中，基于軟閾值的稀疏正則化重構算法相比Landweber迭代算法可以明顯減少迭代步數，提高圖像質量。

2） 與其他迭代算法類似，本文所采用的算法也需要在一定范圍內設置正則化參數以保證圖像質量。

3） 本文對經驗正則化參數進行了分析。基于LBP重構圖像最大介電常數的經驗正則化參數設定方法可以便于該算法的在線使用。

［1］ YANG Wuqiang. Design of electrical capacitance tomography sensors［J］. Meas Sci Technol， 2010， 21（4）： 042001.

［2］ 王化祥， 唐磊， 崔自強. 油/氣兩相流高速電容層析成像可視化系統［J］. 中國電機工程學報， 2009， 29（5）： 61-65. WANG Huaxiang， TANG Lei， CUI Ziqiang. A high-speed ECT visualization system for oil/gas two-phase flow［J］. Proceedings of the CSEE， 2009， 29（5）： 61-65.

［3］ 陳琪， 劉石. 多孔介質內燃燒的電容層析成像可視化測量及數值分析［J］. 中國電機工程學報， 2007， 27（29）： 63-67. CHEN Qi， LIU Shi. Electrical capacitance tomography visualization and numerical analysis of combustion in porous media［J］. Proceedings of the CSEE， 2007， 27（29）： 63-67.

［4］ 孫猛， 劉石， 雷兢， 等. 利用電容層析成像法測量氣力輸送中的煤粉流量［J］. 動力工程， 2008， 28（3）： 411-414. SUN Meng， LIU Shi， LEI Jing， et al. Measurement of flow rate of pulverized coal in pneumatic conveying using electrical capacitance tomography［J］. Journal of Power Engineering， 2008，28（3）： 411-414.

［5］ 楊道業， 周賓， 許傳龍， 等. 電容層析成像在高壓濃相煤粉氣力輸送中的應用［J］. 儀器儀表學報， 2007， 28（11）： 1987-1993. YANG Daoye， ZHOU Bin， XU Chuanlong， et al. Application of electrical capacitance tomography in dense-phase pneumatic conveying of pulverized coal under high pressure［J］. Chinese Journal of Scientific Instrument， 2007， 28（11）： 1987-1993.

［6］ 王海剛， 趙國榮， 邱桂芝. 循環流化床多旋風分離器入口電容層析成像測量［J］. 工程熱物理學報， 2014， 35（1）： 109-113. WANG Haigang， ZHAO Guorong， QIU Guizhi. Investigation thesolid phase distribution in the inlet of multi-cyclone of a circulating fluidised bed by electrical capacitance tomography［J］. Journal of Engineering Thermalphysics， 2014， 35（1）： 109-113.

［7］ YE Jiamin， LI Yi， WANG Haigang， et al. Concentric-annulus electrical capacitance tomography sensors［J］. Meas Sci Technol，2013， 24（9）： 095403.

［8］ XIE Chenggang， HUANG Songming， HOYLE B S， et al. Electrical capacitance tomography for flow imaging： system model for development of image reconstruction algorithms and design of primary sensors［J］. IEE Proc G， 1992， 139（1）： 89-98.

［9］ YANG Wuqiang， PENG Lihui. Image reconstruction algorithms for electrical capacitance tomography［J］. Meas Sci Technol，2003， 14（1）： R1-R13.

［10］ PENG Lihui， MERKUS H， SCARLETT B. Using regularization methods for image reconstruction of electrical capacitance tomography［J］. Part Part Syst Charact， 2000， 17（3）： 96-104.

［11］ LEI Jing， LIU Shi. Dynamic inversion approach for electrical capacitance tomography［J］. IEEE Transactions on Instrumentation and Measurement， 2013， 62（11）： 3035-3049.

［12］ DONOHO D L. For most large underdetermined systems of linear equations the minimal 1-norm solution is also the sparsest solution［J］. Commun Pure Appl Math， 2006， 59（6）： 797-829.

［13］ DONOHO D L， JOHNSTONE I M. Ideal spatial adaptation via wavelet shrinkage［J］. Biometrika， 1994， 81（3）： 425-455.

［14］ DONOHO D L. Orthonormal ridgelets and linear singularities［J］. SIAMJ Math Anal， 2000， 31（5）： 1062-1099.

［15］ CANDES E J， DONOHO D L. Recovering edges in ill-posed inverse problems： optimality of curvelet frames［J］. Ann Statist，2002， 30（3）：784-842.

［16］ DAUBECHIES I， DEFRISE M， De MOL C. An iterative thresholding algorithm for linear inverse problems with a sparsity constraint［J］. Commun Pure Appl Math， 2004， 57（11）：1413-1457.

［17］ YE Jiamin， WANG Haigang， YANG Wuqiang. Image reconstruction for electrical capacitance tomography based on sparse representation［J］. Instrumentation and Measurement，2014， 64（1）： 89-102.

［18］ JIN Bangti， KHAN T， MAASS P. A reconstruction algorithm for electrical impedance tomography based on sparsity regularization［J］. International Journal for Numerical Methods in Engineering， 2012， 89（3）： 337-353.

［19］ DONG Xiangyuan， YE Zhuoyi， SOLEIMANI M. Image reconstruction for electrical capacitance tomography by using soft-thresholding iteration method with adaptive regularization parameter［J］. Meas Sci Technol， 2013， 24（8）： 085402.

［20］ YE Jiamin， WANG Haigang， YANG Wuqiang. A sparsity reconstruction algorithm for electrical capacitance tomography based on modified Landweber iteration［J］. Meas Sci Technol，2014， 25（11）： 115402.

［21］ LIU Shi， FU Lei， YANG Wuqiang. Optimization of an iterative image reconstruction algorithm for electrical capacitance tomography［J］. Meas Sci Technol， 1999， 10（7）： L37-L39.

［22］ YANG Wuqiang， SPINK D M， YORK T A， et al. An image-reconstruction algorithm based on Landweber's iteration method for electrical-capacitance tomography［J］. Meas Sci Technol， 1999， 10（11）： 1065-1069.

（編輯 陳愛華）

Sparse regularization based image reconstruction for electrical capacitance tomography with internal-external electrodes

MAO Mingxu1，2， YE Jiamin1， WANG Haigang1， QIU Guizhi1，2

（1. Institute of Engineering Thermophysics， Chinese Academy of Sciences， Beijing 100190， China；2. College of Physics， University of Chinese Academy of Sciences， Beijing 100190， China）

A sparse regularization algorithm based on a soft-thresholding function was employed in the image reconstruction for IEE ECT and compared with Landweber iterative algorithm quantitatively. Both numerical simulation and experimental study show that the sparse regularization algorithm can significantly reduce the number of iteration and improve the quality of the reconstructed images for IEE ECT.

electrical capacitance tomography； internal-external electrodes； image reconstruction； sparse regularization；soft-thresholding

TP216

A

1672-7207（2016）05-1774-08

10.11817/j.issn.1672-7207.2016.05.042

2015-07-20；

2015-09-26

國家自然科學基金資助項目（61374018， 61320106004） （Projects（61374018， 61320106004） supported by the National Natural Science Foundation of China）

葉佳敏，博士，副研究員，從事多相流測量研究；E-mail： yejiamin@iet.cn