各向異性對非均勻折射縱波的影響

法　林, 白春玲, 趙　潔

(1.西安郵電大學 電子工程學院， 陜西 西安 710121；　2.西安郵電大學 通信與信息工程學院， 陜西 西安 710121)

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各向異性對非均勻折射縱波的影響

法林1, 白春玲2, 趙潔1

(1.西安郵電大學 電子工程學院， 陜西 西安 710121；2.西安郵電大學 通信與信息工程學院， 陜西 西安 710121)

根據巖石的各向異性，將非均勻折射縱波入射到固-固介質界面，通過分析異常入射角存在與不存在兩種情況，分別建立橢圓極化方程。利用Christoffel方程，建立極化系數與各向異性參數之間的關系,分析并討論了巖石各向異性參數對非均勻折射縱波的影響。數值仿真結果表明，非均勻折射縱波的初始相位會隨著巖石的各向異性參數的變化而變化，并且也會改變其極化軌跡，使得極化軌跡的形狀和大小發生變化。

各向異性；橢圓極化；非均勻波；異常入射角

地震勘探[1]是人工激發地震波，通過觀察地震波在巖石中的傳播規律，利用數學手段反演地球介質的物理參量，從而推斷出地層的地質結構，明確礦藏的存儲位置。目前，大多地震勘探數據處理技術是假設基于地下介質為各向同性的，而很少考慮介質的各向異性對其界面產生的非均勻波的極化狀態的影響[2-5]。因此，研究各向異性對非均勻折射縱波的影響對提高地震勘探數據的精確性有一定的意義。

本文選取固-固界面，將縱波(P波)入射到該介質界面，推導出折射縱波的橢圓偏振方程，并建立橢圓偏振方程與各向異性參數之間的關系，以期分析巖石各向異性參數對非均勻折射縱波的影響。

1　折射縱波的橢圓極化方程

1.1極化位移

將P波入射到固體-固體形成的介質界面，如圖1所示，實線表示的相速度的方向，虛線表示極化方向。

圖1　P波入射到兩種固-固介質界面

圖1中，P波在x-z平面傳播，θ(0)為入射P波的入射角，θ(1)為反射P波的反射射角，θ(2)為折射P波的折射射角，θ(3)為反射SV波的反射角，θ(4)為折射SV波的折射角。在固-固界面處(即Z=0時)，入射波的極化位移定義為[6]

k(0)xsinθ(0)+k(0)zcosθ(0))],

(1)

則折射縱波的極化位移可表示為

k(2)xsinθ(2)+k(2)zcosθ(2)+φ(2))],

(2)

1.2建立橢圓極化方程

當P波入射到兩種不同的固-固界面時，考慮到巖石的各向異性，需要分析以下兩種情況。

根據式(2)可得

k(2)xsinθ(2)+k(2)zcosθ(2)+φ(2))]。

(3)

由斯涅爾定律[7]可以推出

k(2)xsinθ(2)=k(0)xsinθ(0)。

將式(3)拆分為兩式，即x方向和z方向的極化位移可表示為

k(0)xsinθ(0)+φ(2))],

(4)

(5)

分別取式(4)和式(5)的實部可得

k(0)xsinθ(0)+φ(2)),

(6)

k(0)xsinθ(0)+φ(2)),

(7)

對式(6)和式(7)通過移項、平方，進一步化簡為

cos2(ωt-k(0)xsinθ(0)+φ(2)),

(8)

sin2(ωt-k(0)xsinθ(0)+φ(2)),

(9)

將式(9)除以式(8)可得極化的初始相位為

(10)

分別對式(8)和式(9)兩邊同時平方并相加，可得非均勻折射縱波的橢圓極化方程

(11)

(12)

k(0)xsinθ(0)+φ(2))],

(13)

分別取式(12)和式(13)的實部可得

k(0)xsinθ(0)+φ(2)),

(14)

k(0)xsinθ(2)+φ(2)),

(15)

將式(15)除以式(14)可得極化的初始相位為

(16)

分別對式(14)和式(15)兩邊同時平方并相加，可得非均勻折射縱波的橢圓方程為

(17)

2　極化系數與各向異性參數

2.1固-固界面模型

對于垂直對稱軸的橫向各向同性介質,以六邊形的固態結構描述其性能,可用彈性剛度矩陣[8]表示為

(18)

選取各向異性頁巖與砂巖和油氣頁巖形成的界面，其各向異性參數[9-11]分別如表1和表2所示。

表1　各向異性頁巖與砂巖

表2　各向異性頁巖與油氣頁巖

表1和表2中，α(n)和β(n)為縱波和橫波垂直于巖石界面的相速度，ε(n)、δ(n)和γ(n)為巖石的各向異性參數。

表1和表2中各向異性參數與彈性剛度矩陣中的每一個元素的關系為

(β(n))2][(ε(n)+1)(α(n))2+

2.2極化系數與各向異性參數之間的關系

Christoffel方程[12-13]體現了極化系數與各向異性之間的關系，在沒有其他外力的情況下，Christoffel方程可以表示為

ΓU=0，

(19)

式中

(20)

由式(20)可以得到

(21)

(22)

根據式(21)和式(22)，結合歸一化條件

得到極化系數的模值為

(23)

(24)

由式(23)和式(24)，即可得到極化系數的模值與各項異性參數之間的關系。

3　計算和討論

研究各向異性參數(ε(1),δ(1),ε(2)和δ(2))對橢圓極化影響時，使用控制變量法，使其中一個變化，而另外三個保持不變。每個各向異性參數的物理測量值由表1和表2給出。

3.1各向異性參數對初始相位的影響

將式(23)和式(24)分別代人式(10)，即可得到情況1各向異性參數與初始相位之間的關系。從表1中選取各向異性參數的值，并選取臨界入射角附近的入射角θ(0)=55.05°，使用Matlab對其進行數值仿真。初始相位φ隨著4個各向異性參數的變化如圖2所示。

圖2　表1各向異性參數對初始相位的影響

由圖2可以看出，對于入射介質，各向異性參數ε(1)和δ(1)對初始相位的影響趨勢是相同的，即當ε(1)和δ(1)增大時，初始相位的絕對值是逐漸減小的。對于折射介質，各項異性參數ε(2)和δ(2)對初始相位的影響是不同的，即隨著ε(2)的增大，初始相位的絕對值逐漸增大，而隨著δ(2)的增大，初始相位的絕對值先緩慢增大，后逐漸減小。

圖3　表2各向異性參數對初始相位的影響

由圖3可以看出，對于入射介質，隨著ε(1)和δ(1)的緩慢增大，初始相位的絕對值迅速減小。對于折射介質，隨著ε(2)的增大，初始相位的絕對值迅速增大；當δ(2)增大時，初始相位的絕對值緩慢減小，且幾乎呈線性減小，這與頁巖與油氣頁巖界面不同。

圖4　表2各向異性參數對初始相位的影響

由圖4可以看出，對于入射介質，隨著ε(1)和δ(1)的緩慢增大，初始相位的絕對值也緩慢減小。然而，隨著ε(2)的增大，初始相位的絕對值緩慢增大，當δ(2)增大時，初始相位的絕對值呈線性緩慢減小。

由以上仿真結果可知，各向異性參數會影響初始相位，且4個各向異性參數(ε(1),δ(1),ε(2)和δ(2))對初始相位的變化趨勢、幅度的影響程度都不相同。

3.2各向異性參數對橢圓極化軌跡的影響

將式(23)和式(24)分別代人式(11)，即可得到各向異性參數與橢圓極化方程的關系。從表1中選取各向異性參數的值，并選臨界入射角附近的入射角θ(0)=55.05°，對其進行數值仿真。橢圓極化軌跡的大小，形狀隨著4個各向異性參數的變化如圖5所示。

圖5　表1各向異性參數對橢圓極化軌跡的影響

由圖5可知，對于入射介質，隨著ε(1)的增大，長軸逐漸邊長，橢圓軌跡逐漸變扁。隨著δ(1)的增大，橢圓軌跡變化不明顯。對于折射介質，隨著ε(2)的增大，短軸逐漸變長，橢圓軌跡逐漸變圓，而隨著δ(2)的增大，橢圓軌跡略微變扁。

圖6　表2各向異性參數對橢圓極化軌跡的影響

由圖6可知，對于入射介質，隨著ε(1)和δ(1)的增大，橢圓軌跡逐漸變扁；對于折射介質，隨著ε(2)的增大，短軸逐漸變長，橢圓軌跡逐漸變圓，而δ(2)對橢圓軌跡影響較小。

圖7　表2各向異性參數對橢圓極化軌跡的影響

由圖7可知：隨著ε(1)的增大，長軸和短軸逐漸變長，橢圓軌跡逐漸大；隨著ε(2)的增大，長軸和短軸逐漸變短，橢圓軌跡逐漸小。δ(1)和δ(2)對橢圓軌跡影響較小。

另外，仿真結果還表明，當入射角θ(0)=34.58°時，非均勻折射縱波是右旋橢圓極化波，而當入射角θ(0)=63.81°時，非均勻折射縱波是左旋極化縱波。

4　結語

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[責任編輯:祝劍]

Influence of anisotropy on inhomogenously refracted P-wave

FA Lin1,BAI Chunling2,ZHAO Jie1

(1. School of Electronic Engineering, Xi’an University of Posts and Telecommunications, Xi’an 710121, China; 2. School of Communication and Information Engineering, Xi’an University of Posts and Telecommunications, Xi’an 710121, China)

According to the anisotropy of the rock, the inhomogenous refracted P-wave incident at the interface of two different solids. An elliptical-polarization equation is established by analyzing and discussing two situations where the anomalous incident-angle exists or not. Through the equation of Christoffel, the relationship between the polarization coefficient and the anisotropy parameter is established. The influence of anisotropic parameters on the inhomogenous refracted P-wave is then discussed. Numerical Simulation results show that the initial phase angle of the elliptical-polarization trajectory would change with the change of the rock anisotropy parameters, and same as the elliptical-polarization trajectory. The anisotropy of the rock will make the shape and size of the elliptical-polarization trajectory change.

anisotropy, elliptical polarization, inhomogenous wave, anomalous incident-angle

10.13682/j.issn.2095-6533.2016.04.012

2016-03-06

國家自然科學基金資助項目(40974078)

法林(1955-)，男，教授，從事聲學地球物理探測及信號處理研究。E-mail:fa_yy@aliyun.com

白春玲(1990-),女，碩士研究生，研究方向為信號與信息處理。E-mail:978604297@qq.com

O422.3

A

2095-6533(2016)04-0061-06