初中數學中發散性思維及其在教學中的作用

魏全民

【摘 要】發散性思維又是創造性思維的核心。在中學數學教學中，可以發現有些學生數學思維方法單一；思維變通性差，不能靈活運用所學的知識；創造能力差，很少提出新方法和獨特見解。而以上種種表現實際可歸結為發散性思維能力較差。本文首先介紹了發散性思維的特征，討論了發散性思維在初中數學教學中的作用，最后就怎樣培養訓練學生的發散性思維能力提出幾點思考，并得出了相關結論。

【關鍵字】發散性思維 發散思維意識 發散思維動機 初中數學教學

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2016）17-0276-02

引言

隨著知識經濟時代的到來和信息技術革命深入，創造被歷史地推上了殿堂，飾演著越來越重要的角色，創新與創造能力已經成為國家強盛之源和社會發展之本。目前，一致的看法是，創造性思維與人的創造力密切相關。而發散性思維又是創造性思維的核心。吉爾福特曾指出：“要在學校教學方面啟發學生的創造性思維，就必須從求同轉向于求異的方式。”徐利治教授也曾提出：“一般說來，數學上的新思想、新概念和新方法往往來源于發散思維。所以按照心理學家的見解，數學家的創造能力的大小應和他們的發散思維能力成正比。”但是就如何在學科教學中培養學生的發散性思維而言，有關于此的探討還不太多，如果論及數學教學中發散思維的培養，這方面的文章就更顯得寥寥無幾。

1.發散性思維的定義

發散性思維又名輻射型思維，是指沿著各種不同的方面去思考，重組眼前的信息和記憶中的信息，產生新的有用的信息，即對已知信息沿著不同的方向，不同的角度思考問題，不局限于既定的理解，從而提出新問題、探索新知識或發現多種解答和多種結果的思維方式。這種思維方式，可以不受現成知識的限制，不受傳統方式的束縛，沒有固定的方向、固定的范圍，允許標新立異、異想天開，對于培養學生的想象能力、創造性思維能力，提高學生觀察問題、解決問題的能力有著重要意義。

2.發散性思維的特征

結合現有的教學方式，為了有效地培養發散思維，提高學生的創造性思維能力，我們將發散性思維的三個特征——多端性、變通性和獨特性介紹如下：

（1）多端性也稱流暢性，流暢的基本特征是數學思維通道暢通無阻，思維向多個方面發散。大腦對外界數學知識信息的分析、加工、重組的速度快，對同一問題思維方向多，例如，數學中有些題能一題多解，有些題能從不同角度提出不同問題。

（2）變通性又稱為靈活性，是指思維形式不受固定格式的限制，思維方向多，即可橫向，又可縱向，還可逆向。換元的機制強，固定的到可變的、已知的到未知的、單一的到多個的、形式靈活善變，一題多變，代數、幾何、三角、高等數學、初等數學的知識交融使用。變通性是應付和解決變化問題的關鍵，是發散思維的重要標志。教學中，注重思維方式的逆向引導，讓學生擺脫定向思維的束縛，加強事物的內涵和外延的溝通聯系，注意定義、公式的逆向推導與使用，使學生逐步養成雙向思考問題的好習慣，善于從不同的立場、角度、層次探索問題，拓展思維。它反映了數學發散思維的數量特征，突出了一個“多”字。

（3）獨特性，是指思維方式求異，新穎奇特，一題多想，千方百計尋求最有解法，創優機制強烈，思維結果有創新的特點就是擺脫人們的共識和傳統觀念的思維定勢，從另外的角度提出完全不同、但有一定依據的全新觀點。要改變完全輸入式的教學方式，在講授法中應結合討論法、自學指導法，鼓勵學生大膽開拓，積極思考，同中求異；在解決問題中應注意多種解法；在問題討論中，應注意多種結論，不斷拓展學生的思維方向和思維空間。進行發散思維獨特性訓練的主要方式有：新高度闡述。當學生學習了某一理論知識以后，教師引導學生回頭，從新的理論高度重新思考已學過的舊知識，從而提出新的見解，并做出更深刻、更準確、更全面的表達。

3.發散思維的幾種形式

數學發散思維的展開形式有：橫向發散、縱向發散、逆向發散、窮舉式發散等形式。

3.1 橫向發散

所謂橫向發散，就是由同一個來源的數學信息，與相關的各方面的數學知識點、知識線、知識塊相聯系，章節內部、各章之間，甚至數學各分科之間的相互聯系。橫向發散有利于促進學生對概念、公式、定理的橫向拓廣。例如，一元二次函數圖像與X軸的交點橫坐標，語氣對因的一元二次方程的解，與解一元二次方程有著密不可分的橫向聯系。

3.2 縱向發散

所謂縱向發散，就是數學信息向縱深聯想與推廣，從特殊到一般達到深化知識的目的，有利于培養學生分析問題、解決問題的能力。

例1.2：觀察下列各式： ， ， ，…

（1）請根據以上的各式的變形方式，對下列各題進行探究變形：

① ______；② =______；③ =_____；

（2）由你所找到的規律計算：

解決該題的過程，就是一個由淺入深，逐步向縱深發展的思維過程。

3.3 逆向發散

所謂逆向發散就是由同一個來源的數學信息根據它的特點從常有思維的反面或否定方面去思考和探索問題，順推不行考慮逆推，直接解決不行考慮間接解決，探討可能性發生困難時考慮不可能性，正如順流而下向大海，逆流而上找源頭一樣，正向思維無法找到問題的答案時，逆向思維可起到意想不到效果。

3.4 窮舉式發散

所謂窮舉式發散就是數學信息從已知到未知尋求各種充分條件，并列地展開的合理聯想，從而找到各種可能結果，例如，一個四方桌，截取一個角后，還有幾個角？通過窮舉式發散思維后，可以發現，答案是，的可能有5個角，也可能有3個角。數學上的分類討論思想，就是一個典型的窮舉式發散思維。

4.發散思維在教學中的作用

4.1 在教學中不斷強化思維發散的意識

意識是個體認識世界和改造世界的根本。沒有意識，則人無以能為。在發散性思維的培養過程中，強化思維發散的意識同樣重要。學生強烈的思維發散意識對于發散性思維能力的提高，正如一件物體放在斜坡的高處它將滑向低處一樣，是一種重要的心向。在教學中，強化學生的思維發散意識可從以下方面入手。

4.2 發散性的提問

數學學科內容具有高度的抽象性和邏輯的嚴密性等特點。對于培養個體的邏輯思維直接而自然。但長期以來，由于人們在數學教學中過分重視演繹推理，片面強調邏輯思維，導致了數學教育僅賦予學生以“再現性思維”的嚴重弊病，極大地限制了數學課對于發散性思維的培養作用的發揮。另外，由于教師受傳統教學的影響，他們對于思維發散意識的培養起到了負引導作用。在講授例題或習題的過程中，教師較多地使用判別性提問、敘述性提問、說理性提問。在回答這些問題時，學生傾向于使用集中思維，久而久之，他們思維發散的意識必然淡薄。因此，在教授數學課時，若克服掉這個不足，改用發散性的提問，則會有利于學生發散意識的激發。

發散性的提問以“除此之外，還有哪些？”、“如果…，那會怎么樣？”為特點，通過這樣深層的剖析，旨在使學生思維呈立體擴散，而不拘泥于一點。它不但可以涉及到橫向比較，也可以做出縱向概括。例如：“這個問題除用方程求解外，還可用什么方法？”、“請看下面這道題目，你能想到幾種解法？”、“如果把這個問題的結論由此例式改為乘積式，你將會怎么想？”等等，多使用這樣的提問，學生的思維不至于僵化，他們會在解決問題的過程中多角度地思考問題，從而形成思維發散的習慣。

4.3 鼓勵一題多解和一題多變

數學往往以題海而著稱，我們要摒除“題海戰術”的陋習。但我們必須清醒地認識到數學習題的獨特地位，它不但可使學生鞏固知識，形成技能，而且如果在選題時或解題時注重一題多解和一題多變，則可以很好地強化學生的思維發散意識。

在講勾股定理的證明時，既可以使用面積割補法，也可以放到平面直角坐標系中解決，還可以通過相似法來解決。而使用割補法，又有不同的割補思路，可以拼成長方形，也可以拼成正方形，還可以拼成其它圖形。在演習一元二次方程問題時，可以讓學生使用不同的方法，讓他們在對不同方法特點的掌握上做出最佳選擇，使他們對不同的解題方法掌握得更加鞏固。更重要的是，培養他們思維的靈活性，強化學生的思維發散意識。

同樣，也可以使用一題多變來強化學生的思維發散意識。通過變換命題的題設與結論來使問題或由陳舊變得新穎，或由順向改為逆向，或由單一改為綜合。例如，在學習圓的垂徑定理內容時，通過題設和結論的變換，不但能夠導出課本中列出的有關推論，還會得出許多題目的考點與考察形式。

5.教學中培養學生思維發散動機及其能力

動機是激發、維持和調節個體活動的原動力。對于培養個體的發散性思維能力，形成個體思維發散的動機也應成為重要的部分。這可以從以下兩方面入手：

5.1通過數學史的教育，形成思維發散的激情

數學是自然科學中的基礎學科，有“皇后”之稱。從數學的起源、發展到完善，無數位數學家為之奉獻了自己畢生的精力，他們開創性的工作將永為世人紀念。在數學的發展史中，如果能擷取數學家的利用思維發散解決問題的故事來教育學生，那么在這些數學前輩親身經歷的鼓舞和激勵下，學生會在已形成的思維發散意識的基礎上，在解決問題的過程中，追求思維發散，利用思維發散，他們思維發散的動機也將得以形成。

數學家們運用創造性思維解決問題的故事是不勝枚舉的。宋朝時期的劉徽為了計算圓周率的數值而發明了“割圓術”，即用圓內接正多邊形的周長來代替計算圓的周長。這種思維正是思維發散的表現。我國數學家蘇步青小時候遇到這么一個問題：“甲乙兩個人從相距100米的A、B兩地相向而行，A的速度是每秒4米，B的速度是每秒6米，在他們開始出發時，A的身邊有一條狗，同時以每秒l0米的速度奔向B，在到達B后，再立即奔向A，就這樣往返奔跑于A和B之間，直到兩人相遇，問當兩人相遇時，這條狗跑過的路程是多少”。蘇老避開小狗跑的路線不確定這一干擾因素，而抓住小狗的速度恒定這一隱蔽因素，順利地解決了問題，他的思維也正是創造性思維的體現。這些數學家的故事，將會激起學生的創造動機，點燃他們思維發散的火花。

5.2 教師的創造教育觀和創造性教學

在數學課堂教學中，教師作為教學活動的主導者，他的創造教育觀念及行為對學生形成思維發散動機有潛移默化的影響。因此，教師必須首先確立創造教育觀，告訴學生“人人皆創造之人，天天皆創造之時，處處皆創造之地”（陶行知，1943）。所謂創造，不僅指能讓原子彈爆炸，能讓火箭上天，或能產生重大社會效益與經濟效益的重大發明，學生對解決同一問題，提出新方案，新設想，都是創造，創造應從小事做起，從現實出發，例如，學生無法拔出瓶塞，倒出瓶中酒時，他能把瓶塞推向瓶中，從而倒出瓶中酒，，都閃耀著創造性的火花。

其次，為了進一步培養學生的思維發散動機，誘發他們的思維發散行為，教師要采取創造性的教學，通過自己的教學語言、板書和教學程序等來體現思維發散的魅力。并達到鞏固知識、激發創造動機的雙重目的。

新課改以后，教材中編入了鍛煉學生發散性思維和想象的內容，以發展學生的想象力和各種不同的思維取向。同時教師對課堂教學的思維方式發生轉變，教師是學習活動的組織者、引導者和參與者。教師不僅僅傳授學生知識，更要引導學生學習的方法和思維，讓學生獲得學習的能力。教師要以學生發展為本，適應全體學生發展的需要，即明確學生是學習的主體，教學活動必須建立在學生的認識發展水平和已有的知識經驗基礎之上，體現學生學習的過程是在教師的引導下自我建構、自我生成的過程。在數學教學中，教師應該有意識引導學生的數學思維，尤其是發散性思維，精心設計教學的每一個環節，培養有效的學習方法。使新課程改革順利進行、落到實處。