微分多項式環的半交換性和對稱性

2016-09-16 02:59:50任艷麗張玖琳

浙江大學學報(理學版) 2016年5期

任艷麗, 張玖琳, 王　堯

(1. 南京曉莊學院數學與信息技術學院, 江蘇南京 211171; 2. 南京信息工程大學數學與統計學院, 江蘇南京 210044)

微分多項式環的半交換性和對稱性

任艷麗1, 張玖琳2, 王堯2

(1. 南京曉莊學院數學與信息技術學院, 江蘇南京 211171; 2. 南京信息工程大學數學與統計學院, 江蘇南京 210044)

研究微分多項式環R[x;δ]和Ore擴張環R[x;α,δ]的廣義半交換性質和廣義對稱性質,使用逐項分析方法證明了：設R是δ-Armendariz環, 則R[x;δ]是詣零半交換環(弱半交換環、廣義弱對稱環、弱zip環、右弱McCoy環)當且僅當R是詣零半交換環(弱半交換環、廣義弱對稱環、弱zip環、右弱McCoy環);設R是弱2-素環和(α,δ)-條件環,則R[x;α,δ]是詣零半交換環(分別地,弱半交換環,廣義弱對稱環).

弱2-素環;δ-Armendariz環; (α,δ)-條件環; 詣零半交換環; 廣義弱對稱環

Journal of Zhejiang University(Science Edition), 2016,43(5):505-511

0　引　言

對于一個給定的環, 文獻[9-10]討論了其斜多項式環的詣零半交換性和弱半交換性, 本文將在第1節討論其微分多項式環的詣零半交換性和弱半交換性.文獻 [11] 在δ-容許環和詣零半交換環的條件下研究了微分多項式環R[x;δ] 的弱 McCoy 性, 本文第2節將在δ-Armendariz 條件下繼續研究其微分多項式擴張的廣義弱對稱性、弱 zip 性和弱 McCoy 性. 文獻 [3] 證明了如果R是 (α,δ)-容許環、可逆環, 則 Ore 擴張環R[x;α,δ]是弱對稱環當且僅當R是弱對稱環. 本文第3節將在弱 2-素環和 (α,δ)-條件環下討論給定環的 Ore 擴張環R[x;α,δ] 的弱對稱性和詣零半交換性, 給出一般 Ore 擴張環R[x;α,δ] 是廣義弱對稱環的充要條件.

1　廣義半交換性

設δ:R→R是環R上的一個導子, 對?a∈R, 有

引理1設R是一個δ-Armendariz 環,

(1) 如果對于某個正整數n,ab=cn=0, 則acb=0, 其中a，b，c∈R;

(2) 如果f1,f2, …,fn∈R[x;δ],f1f2…fn=0, 則a1a2…an=0, 其中,對?i，ai是fi的任意系數;

(3) 如果a1a2…an=0, 則對?ai∈R, 任意的非負整數ri和n, 1≤i≤n,有δr1(a1)δr2(a2) …δrn(an)=0.

證明由文獻 [5] 中定理 2.7、命題 2.9 和引理 2.10 即知.

引理 2設R是一個δ-Armendariz 環,

(1) 如果a∈ nil(R), 則對任意的正整數k，δk(a)∈ nil(R);

(2) 如果a∈ nil(R),b∈ nil(R), 則ab∈ nil(R);

(3) 如果a∈ nil(R),b∈ nil(R), 則a+b∈ nil(R).

證明(1)存在正整數n使得an=0. 由引理 1(3) 知，δk(a)δk(a)…δk(a)=0,故(δk(a))n=0, 從而δk(a)∈ nil(R).

(2)存在正整數m,n, 使得am=0,bn=0. 根據引理 1(1)，知abab…a=0, 于是有 (ab)m=0,ab∈ nil(R).

(3)不妨設am=0,bm=0. 下證 (a+b)2m=0. (a+b)2m的每一項可以表示為長度為 2m的單項式, 設為u1u2…u2m, 其中ui∈{a,b}.a和b中必有一個元素在此單項式里至少出現m次, 設a出現k≥m次, 則ak=0. 這樣,u1u2…u2m=b1ab2a…bkabk+1, 其中bj∈{bn|0≤n≤2m-k}, 1≤j≤k+1. 由于R是一個δ-Armendariz 環,b∈ nil(R), 根據引理2(2),對任意的1≤j≤k+1，可得bj∈ nil(R). 由于ak=0, 再根據引理 1(1) 可推出ab2a…bka=0, 從而有b1ab2a…bkabk+1=0. 即證得(a+b)2m=0,a+b∈ nil(R).

定理1設R是δ-Armendariz 環, 則 nil(R) 是R的一個子環.

證明由引理 2 可得.

推論1設R是Armendariz 環, 則 nil(R) 是R的一個子環.

定理2設R是δ-Armendariz 環, 則有 nil(R[x;δ])= nil(R)[x;δ].

由此可見, 多項式f(x)(n+1)k的每一單項式的系數都可以寫為形如

的和, 其中aij∈{a0,a1,…,an}, 1≤j≤(n+1)k,tp(2≤p≤(n+1)k),u和v是正整數. 這里ai1δt2(ai2)…δt(n+1)k(ai(n+1)k) 中必有一個元素aj0(0≤j0≤n) 至少出現k次, 于是它又可以寫為

(δs1(aj0))j1(δs2(aj0))j2… (δsw(aj0))jw=0.

再由引理 1(1) 可以推出b1(δs1(aj0))j1b2(δs2(aj0))j2…bw(δsw(aj0))jwbw+1=0.

證得f(x)(n+1)k=0, 所以f(x)∈ nil(R[x;δ]).

推論2設R是Armendariz環,則有nil(R[x])=nil(R)[x].

定理3設R是δ-Armendariz 環, 則R[x;δ] 是詣零半交換環當且僅當R是詣零半交換環.

證明充分性. 設f(x)g(x)∈ nil(R[x;δ]), 則存在正整數k使得 (f(x)g(x))k=0. 由引理 1(2) 知 (aibj)k=0, 對任意的0≤i≤n, 0≤j≤m, 即有aibj∈ nil(R). 由于R是詣零半交換環, 所以對任意的r∈R, 有airbj∈ nil(R), 即存在正整數h使得 (airbj)h=airbjairbj…airbj=0. 根據引理 1(3), 對任意正整數s和t, 可推出

aiδs(r)δt(bj)aiδs(r)δt(bj) …aiδs(r)δt(bj)=

(aiδs(r)δt(bj))h=0,aiδs(r)δt(bj)∈ nil(R).

由定理 1, nil(R) 是R的一個子環, 從而有 ∑aiδs(r)δt(bj)∈ nil(R), 因此對任意的h(x)∈R[x;δ], 有f(x)h(x)g(x)∈ nil(R)[x;δ]. 再由定理 2, 有f(x)h(x)g(x)∈ nil(R[x;δ]), 故R[x;δ] 是詣零半交換環.

必要性. 由詣零半交換環的子環仍是詣零半交換環即得.

推論3設R是Armendariz 環, 則R[x] 是詣零半交換環當且僅當R是詣零半交換環.

定理4設R是δ-Armendariz 環, 則R[x;δ] 是弱半交換環當且僅當R是弱半交換環.

aiδs(r)δt(bj)aiδs(r)δt(bj)…aiδs(r)δt(bj)=

(aiδs(r)δt(bj))k=0,aiδs(r)δt(bj)∈ nil(R),

對任意正整數s和t. 再由定理 1 知

∑aiδs(r)δt(bj)∈ nil(R).

于是,對任意的h(x)∈R[x;δ],有

f(x)h(x)g(x)∈nil(R)[x;δ].

據定理2,有

f(x)h(x)g(x)∈nil(R[x;δ]),

因此R[x;δ]是弱半交換環.

必要性. 由弱半交換環的子環仍是弱半交換環立得.

推論4設R是Armendariz 環, 則R[x] 是弱半交換環當且僅當R是弱半交換環.

引理3[5]設R是δ-Armendariz 環, 則有J(R[x;δ])= nil*(R)[x;δ].

定理5設R是δ-Armendariz 環. 如果R還是 NJ 環, 則R[x;δ] 是 J-半交換環.

2　廣義弱對稱性、弱zip性和弱McCoy性

定理6設R是δ-Armendariz環,則R[x;δ]是廣義弱對稱環當且僅當R是廣義弱對稱環.

必要性.由廣義弱對稱環的子環仍是廣義弱對稱環立得.

定理7設R是δ-Armendariz 環, 則R[x;δ] 是弱 zip 環當且僅當R是弱 zip 環.

證明充分性. 設X?R[x;δ] 滿足NR[x;δ](X)? nil(R[x;δ]). 以下以CX表示X中一切多項式的系數的集合. 下證NR(CX)? nil(R).

Δ0+Δ1x+…+Δsxs+…+Δmxm.由nil(R)是R的一個子環知,對任意的0≤j≤m,Δj∈nil(R).因此,根據定理2可得f(x)r∈nil(R[x;δ]).于是有r∈NR[x;δ](X)?nil(R[x;δ]),從而有NR(CX)?nil(R).已知R是弱zip環,存在一個有限子集Y′?CX滿足NR(Y′)?nil(R).由CX的定義,對任意的b∈Y′,一定存在多項式gb(x)∈X使得gb(x)的某個系數是b.取X′是X的一個極小子集,使其滿足對任意的b∈Y′,有gb(x)∈X′.X′是X的一個有限子集.顯然Y′?CX′,因此NR(CX′)?NR(Y′)?nil(R).

再證NR[x;δ](X′)?nil(R[x;δ]).

定理8設R是δ-Armendariz環,則R[x;δ]是右弱McCoy環當且僅當R是右弱McCoy環.

Δ0+Δ1x+…+Δtxt+…+Δpixpi,

由定理1知，對任意的0≤j≤pi,Δj∈nil(R).于是,由定理2可得對任意的0≤i≤m,fir∈nil(R[x;δ]).所以R[x;δ]是右弱McCoy環.

3　Ore擴張的詣零半交換性和廣義弱對稱性

引理6設R是弱2-素環和(α,δ)-條件環,

(1)對任意的整數0≤i≤n，如果f(x)=a0+a1x+…+anxn,則f(x)∈nil(R[x;α,δ])當且僅當ai∈nil(R);

(2)對任意a,b∈R和正整數m,如果aαm(b)∈nil(R),則ab∈nil(R).

nil(R)[x;α,δ],

其中h2(x)∈R[x;α,δ]且次數低于(n-1)k,從而有an-1αn-1(an-1)…α(k-1)(n-1)(an-1)∈nil(R).利用R的(α,δ)-條件,可推出an-1∈nil(R).依此類推,對任意的0≤i≤n,最后可得ai∈nil(R).

(2)設aαm(b)∈ nil(R), 其中m是正整數, 則有αm(b)a∈ nil(R). 由引理 5 可得αm(b)αm(a)∈ nil(R). 因為R是弱 2-素環, 從而 nil(R) 是R的一個理想, 所以baαm(ba)∈ nil(R). 由R是弱α-剛性環, 又有ba∈ nil(R), 因此ab∈ nil(R).

(1) 對任意的 0≤i≤m, 0≤j≤n，有f(x)g(x)∈ nil(R[x;α,δ]) 當且僅當aibj∈ nil(R);

(2) 對任意的 0≤i≤m, 0≤j≤n，有f(x)g(x)c∈ nil(R[x;α,δ]) 當且僅當aibjc∈ nil(R);

(3) 對任意的 0≤i≤m, 0≤j≤n, 0≤k≤p,有f(x)g(x)h(x)∈ nil(R[x;α,δ]) 當且僅當aibjck∈ nil(R).

證明(1) 必要性. 設f(x)g(x)∈ nil(R[x;α,δ]), 對于

…+amαm(bn)xm+n=

Δ0+Δ1x+…+Δkxk…+Δm+nxm+n,

bnam-1αm-1(bn)αm-1(am-1)∈ nil(R),

利用引理7(1)、引理5和引理6(2),類似文獻[3]定理2.11的證明，可證得引理7(2)和(3).

文獻[6]在(α,δ)-條件環和可逆環下研究了Ore擴張的弱zip性質,本文在(α,δ)-條件環和弱2-素環下，研究Ore擴張的詣零半交換性和弱對稱性.

定理9設R是弱2-素環和(α,δ)-條件環,則R[x;α,δ]是詣零半交換環.

推論5設R是弱2-素環和(α,δ)-條件環,則R[x;α,δ]是弱半交換環.

定理10設R是弱2-素環和(α,δ)-條件環,則R[x;α,δ]是弱對稱環當且僅當R是弱對稱環.

證明因為弱對稱環的子環仍是弱對稱環,必要性顯然成立.下證充分性.

推論6[3]設R是可逆環和 (α,δ)-條件環, 則R[x;α,δ] 是弱對稱環當且僅當R是弱對稱環.

定理11設R是對稱環和 (α,δ)-條件環, 則R[x;α,δ] 是廣義弱對稱環.

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The semicommutativity and symmetry of differential polynomial rings.

REN Yanli1, ZHANG Jiulin2, WANG Yao2

(1.SchoolofMathematicsandInformationTechnology,NanjingXiaozhuangUniversity,Nanjing211171,China; 2.SchoolofMathematicsandStatistics,NanjingUniversityofInformationScienceandTechnology,Nanjing210044,China)

This paper investigates the generalized semicommutativity and generalized symmetry of the differential polynomial rings and Ore extensions of a ring. By using the itemized analysis method on polynomials, we proved that ifRisδ-Armendariz ring, thenR[x;δ] is nil-semicommutative ring (resp., weakly semicommutative, generalized weak symmetry (GWS), weak zip, right weak McCoy) if and only ifRis nil-semicommutative ring (resp., weakly semicommutative, GWS, weak zip, right weak McCoy). Moreover, ifRis a weakly 2-primal and (α,δ)-condition ring, thenR[x;α,δ] is nil-semicommutative ring (resp., weakly semicommutative, GWS).

weakly 2-primal ring;δ-Armendariz ring; (α,δ)-condition ring; nil-semicommutative ring; generalized weak symmetry ring