一個加強的Hardy-Hilbert型不等式

顧朝暉, 楊必成

(1. 廣東外語外貿大學 經濟貿易學院， 廣東 廣州 510006； 2. 廣東第二師范學院 數學系， 廣東 廣州 510303)

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一個加強的Hardy-Hilbert型不等式

顧朝暉1, 楊必成2

(1. 廣東外語外貿大學 經濟貿易學院， 廣東 廣州 510006； 2. 廣東第二師范學院 數學系， 廣東 廣州 510303)

引入獨立參數, 應用權系數的方法及Hadamard不等式, 建立了一個加強的具有最佳常數因子的Hardy- Hilbert型不等式及其等價形式.

Hardy-Hilbert型不等式; 參數; 權系數; 等價式; Hadamard不等式

Journal of Zhejiang University(Science Edition), 2016,43(5):532-536

0　引　言

(1)

(2)

當μi=νi=1(i=1,2,…)時,式(2)即為式(1).

2015年,文獻[6]引入獨立參數α,λ>0,建立如下推廣的Hardy-Hilbert型不等式:

(3)

(4)

(5)

本文引入獨立參數,應用權系數的方法及Hadamard不等式,建立具有最佳常數因子式(5)的加強式,還考慮了其等價形式.

1　引　理

(6)

得式(6)成立.證畢.

例1設μ(t):=μm,t∈(m-1,m](m=1,2,…);v(t):=νn,t∈(n-1,n](n=1,2,…),

(7)

則

U(m)=Um,V(n)=Vn(m,n∈N).

嚴格遞增.可算得

嚴格遞增.可算得

(8)

引理2定義如下權系數：

(9)

(10)

則有不等式:

0<λ2≤1,λ1>0,

ωα(λ2,m)<

(13)

可估算得

由式(13),可得式(11)成立.同理,由對稱性,可證得式(12)成立.證畢.

引理3有如下權系數不等式:

kα(λ1)(1-θ1(λ2,m))<ωα(λ2,m)，m∈N;

0<λ2≤min{1,2-α},λ1>0,

(14)

kα(λ1)(1-θ2(λ1,n))

0<λ1≤min{1,2-α},λ2>0,

(15)

其中,

證明因f(x)嚴格遞減及V(∞)=∞,有

(16)

引理4對?ε>0,有

(17)

(18)

證明由遞減性質,有

2　主要結果

(20)

(21)

(22)

(23)

由式(20),有式(21).反之,設式(21)成立.置

(24)

故式(20)成立,且它與式(19)等價.證畢.

(25)

(26)

這里,常數因子kα(λ1)都為最佳值,θi(i=1,2)同引理2.

特別地,由式(25)可導出式(5);由式(26)可導出如下式(5)的等價式:

(27)

證明對式(19)、(20)，應用式(11)、(12),可得式(25)與(26)成立且等價.

若有正常數K≤kα(λ1),使取代式(5)的常數因子kα(λ1)后仍成立.特別地，有

代入上式,有

即有kα(λ1)≤K(ε→0+).故K=kα(λ1)為式(5)的最佳值.

式(27)的常數因子必為最佳值.不然,由式(23)(置?α(λ1,n)=1),必導出式(5)的常數因子也不為最佳值的矛盾結論.

同理，由反證法易證得式(25)、(26)的常數因子也為最佳值.證畢.

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[2]HARDY G H, LITTLEWOOD J E, POLYA G. Inequalities[M]. Cambridge: Cambridge Univ Press, 1952.

[3]MITRINOVIC D S, PECARIC J E, FINK A M. Inequalities Involving Functions and Their Integrals and

Derivatives[M].Boston: Kluwer Academic Publishers, 1991.

[4]楊必成.算子范數與Hilbert型不等式[M].北京:科學出版社, 2009.

YANG Bicheng. The Norm of Operator and Hilbert-Type Inequalities[M]. Beijing: Science Press, 2009.

[5]YANG Bicheng. Discrete Hilbert-Type Inequalities[M]. Sharjah:Bentham Science Publishers Ltd, 2011.

[6]楊必成. 一個推廣的Hardy-Hilbert型不等式[J].廣東第二師范學院學報,2015, 35(3): 1-7.

YANG Bicheng. An extension of a Hardy-Hilbert-type inequality[J]. Journal of Guangdong University of Education, 2015, 35(3): 1-7.

[7]王竹溪,郭敦仁.特殊函數論[M].北京:科學出版社,1979.

WANG Zhuxi, GUO Dunren. Introduction of Special Functions[M]. Beijing: Science Press, 1979.

[8]匡繼昌.常用不等式[M].濟南:山東科技出版社, 2004.

KUANG Jichang. Applied Inequalities[M]. Jinan:Shandong Science and Technology Press, 2004.

A strengthened version of a Hardy-Hilbert-type inequality.

GU Zhaohui1, YANG Bicheng2

(1.SchoolofEconomics&Trade,GuangdongUniversityofForeignStudies,Guangzhou510006,China; 2.DepartmentofMathematics,GuangdongUniversityofEducation,Guangzhou510303,China)

Based on the weight coefficients, by applying of Hadamard’s inequality and introducing some independent parameters, a strengthened version of a Hardy-Hilbert-type inequality with a best possible constant factor is constructed. Meanwhile, its equivalent form is considered.

Hardy-Hilbert-type inequality; parameter; weight coefficient; equivalent form; Hadamard’s inequality

2015-10-15.

國家自然科學基金資助項目(61370186).

顧朝暉(1976-)，ORCID:http://orcid.org/0000-0003-0441-2929，男，碩士，講師，主要從事解析不等式研究，E-mail:guzhaohui2015@163.com.

10.3785/j.issn.1008-9497.2016.05.006

O 178

A

1008-9497(2016)05-532-05