關于兩參數Birnbaum-Saunders疲勞壽命分布統計分析的2個注記

徐曉嶺, 王蓉華, 顧蓓青*

(1.上海對外經貿大學 統計與信息學院,上海 201620； 2.上海師范大學 數理學院,上海 200234)

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關于兩參數Birnbaum-Saunders疲勞壽命分布統計分析的2個注記

徐曉嶺1, 王蓉華2, 顧蓓青1*

(1.上海對外經貿大學 統計與信息學院,上海 201620； 2.上海師范大學 數理學院,上海 200234)

通過Monte-Carlo模擬說明目前用于求解兩參數Birnbaum-Saunders疲勞壽命分布尺度參數的2種方法可能無法得到尺度參數的區間估計.進一步指出，在利用廣義樞軸量法給出尺度參數以及參數函數的置信區間過程中存在錯誤,并用反例進行了說明,同時給出了正確的證明.

兩參數Birnbaum-Saunders疲勞壽命分布；尺度參數；區間估計；廣義樞軸量

Journal of Zhejiang University(Science Edition), 2016,43(5):539-544

Birnbaum-Saunders模型是概率物理方法中的重要失效分布模型,由BIRNBAUM和SAUDERS于1969年在研究主因裂紋擴展導致的材料失效過程中推導而來,其后廣泛應用于機械產品的可靠性研究,在電子產品性能退化失效分析中也有重要應用.

設T服從兩參數Birnbaum-Saunders疲勞壽命分布BS(α,β),其分布函數F(t)與密度函數f(t)分別為：

其中,α>0稱為形狀參數,β>0稱為尺度參數,φ(x),Φ(x)分別為標準正態分布的密度函數與分布函數,即

假設Yj是獨立同分布的非負隨機變量,均值為μ,方差為σ2,當然這個假設只在某些應用中成立.設失效發生在第s個周期,即在第s個周期Wn首次超過臨界值w,易見

P(s≤n)=P(Wn≥w).

當n很大時,由中心極限定理知：

由于存在多周期,每一周期持續時間都很短,可以用連續時間t(失效需要的時間)來替換離散時間n,故相應的累積分布函數F(t)為

其中,

由于Birnbaum-Saunders疲勞壽命分布是從疲勞過程的基本特征出發,其分布比常用壽命分布如威布爾分布、對數正態分布更適合描述某些因疲勞失效產品的壽命分布規律.此分布已成為可靠性統計分析的常用分布之一.

關于兩參數Birnbaum-Saunders疲勞壽命分布BS(α,β)的統計分析已有較多研究.BIRNBAUM等[1]結合背景分析提出了BS疲勞壽命分布,DESMOND[2]基于生物模型給出了更加通用的推導,進一步說明BS疲勞壽命分布使用的物理緣由,放寬了文獻[1]中所給出的最初的假設條件.DESMOND[3]研究了BS分布與逆高斯分布的關系,指出用此分布來描述產品的疲勞壽命較其他分布更合理.BIRNBAUM等[4]討論了全樣本場合下參數的極大似然估計.ENGELHARDT等[5]應用蒙特卡羅方法和MLE的漸進正態性討論了參數置信區間估計以及形狀參數和尺度參數的假設檢驗問題.RIECK等[6]研究了將疲勞壽命分布的對數線性模型用于加速壽命試驗,此模型還可用于比較平均壽命,同時進一步研究了MLE與最小二乘估計,并用大樣本方法給出了參數的近似區間估計和假設檢驗方法.雖然BS分布參數的極大似然估計有很多優點,但非線性方程較為復雜,無法直接求解,而常規的矩估計不一定存在或唯一,NG[7]給出了修改矩估計的方法.DUPUIS等[8]給出了參數的ROBUST估計.CHANG等[9]給出了可靠度函數的區間估計.RIECK[10]針對對稱截尾樣本,給出了BS分布的參數估計.OWEN和PADGETT在文獻[11-13]中給出了BS分布可靠度的貝葉斯估計并研究了冪律加速壽命試驗模型.KUNDO等[14]討論了BS分布的失效率函數的形狀,得到該失效率函數是一個倒浴盆函數.

在國內,較早研究BS分布的有王炳興等[15],文獻[15]討論了BS疲勞壽命分布及其對數線性模型的參數估計問題,給出了BS疲勞壽命分布中參數的逆矩估計方法,此方法計算簡單，且對可能異常點相對穩健,并用實例說明該估計方法的可行性；文獻[16]研究了定數截尾和定時截尾場合下的參數點估計與區間估計.王蓉華等[17]在雙邊定數截尾場合下, 給出了BS分布參數的擬最小二乘估計和近似極大似然估計, 并用隨機模擬方法比較了極大似然估計、近似極大似然估計和擬最小二乘估計的偏性和均方誤差；文獻[18]還研究了定數截尾場合下BS分布參數的近似極大似然估計；文獻[19]研究了缺失數據場合下BS分布尺度參數的區間估計.孫祝嶺[20]研究了BS分布參數的區間估計問題,提出用新的樞軸量來構造尺度參數的經典置信區間,此方法具有較為簡單的顯式表達式，應用回歸分析給出了BS分布參數的最小二乘估計和形狀參數區間估計方法.用計算機隨機模擬了區間估計的效果,結果顯示效果非常好[21].孫祝嶺[22]給出了BS分布變異系數的區間估計和假設檢驗方法.在失效機理保持不變的條件下,還討論了BS分布環境因子的估計問題[23].王炳興[24]研究了形狀參數以及均值、分位數、可靠度等可靠性指標的廣義區間估計.牛翠珍等[25]利用文獻[24]中的廣義樞軸量法對分布在不同參數情形下的BS進行了比較.周磊等[26]提出了一種基于BS分布的互連線時延模型,避免了查表運算,且僅需要采用前2個瞬態,計算簡單,準確性較好,同時提出了一種精度修正算法,修正后該方法具有更好的適應性,90納米工藝TCAD仿真實驗表明,該模型在效率、精度、難易程度等方面具有一定的優勢.趙建印等[27]利用BS分布對布朗運動、幾何布朗運動和Gamma過程等隨機過程退化軌道建立了形式統一的加速退化模型,并采用極大似然方法估計模型參數.最后針對某自控溫伴熱電纜,利用所建模型進行加速退化分析,有效驗證了模型的正確性和合理性.

關于兩參數Birnbaum-Saunders疲勞壽命分布尺度參數的區間估計通常采用文獻[19-20]所提出的方法,本文通過MonteCarlo模擬說明這2種方法有可能無法得到尺度參數的區間估計.同時指出文獻[24]在利用廣義樞軸量法給出尺度參數以及參數函數的置信區間過程中存在錯誤,用反例進行了說明,并給出了正確的證明.

1　關于尺度參數β的區間估計的一個注記

1.1文獻[19]方法研究

設總體T～BS(α,β),T1,T2,…,Tn為來自總體T的一個容量為n的簡單隨機樣本,其次序統計量記為T(1)≤T(2)≤…≤T(n).

則Z(1)≤Z(2)≤…≤Z(n)與樣本量為n標準正態分布N(0,1)的前n個次序統計量同分布.

令

即G(β)為樞軸量,其分布與參數無關.由文獻[19]知，G(β)對β嚴格單調遞減,將G(β)作如下恒等變換：

則

1.2文獻[20]方法研究

設T1,T2,…,Tn為來自Birnbaum-Saunders疲勞壽命分布總體T～BS(α,β)的一個容量為n的簡單隨機樣本,其樣本觀察值為t1,t2,…,tn.

令

則

Yi～N(0,α2),i=1,2,…,n.

因此對于樣本,若

則有雙側置信區間；

若為下列3種情況之一：

則有沒有雙側置信區間.

為彌補文獻[20]的不足,需解決尺度參數β的區間估計問題，這將另文討論.

2　關于廣義置信區間的一個注記

設T1,T2,…,Tn為來自兩參數Birnbaum-Saunders疲勞壽命分布總體T～BS(α,β)的一個容量為n的簡單隨機樣本,其次序觀察值為t1,t2,…,tn.

令

則

Yi～N(0,α2),i=1,2,…,n.

據文獻[24],

下證“T(β)與V相互獨立”.

證明不失一般性，可假設σ=1.易見

由于Y1,Y2相互獨立,則(Y1,Y2)的聯合密度為：

對-∞

令

由于T～t(n-1),U～χ2(n),即T與U的密度函數分別為：

-∞

由此得(T,U)的聯合密度為：

得到T與U相互獨立.

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Two notes of statistical analysis about two-parameter Birnbaum-Saunders fatigue life distribution.

XU Xiaoling1, WANG Ronghua2, GU Beiqing1

(1.SchoolofStatisticsandInformation,ShanghaiUniversityofInternationalBusinessandEconomics,Shanghai201620,China; 2.MathematicsandScienceCollege,ShanghaiNormalUniversity,Shanghai200234,China)

We know that two methods about interval estimate of scale parameter for two-parameter Birnbaum-Saunders fatigue life distribution are shown not always capable of obtaining the interval estimate of scale parameter based on the results of Monte Carlo simulations. Moreover, there is a mistake in deriving the confidence intervals of scale parameter and parameter function with the generalized pivot method. A corresponding counter example is illustrated, and the correct proof is provided.

two-parameter Birnbaum-Saunders fatigue life distribution; scale parameter; interval estimate; generalized pivotal quantity

2015-12-04.

國家自然科學基金資助項目(11671264).

徐曉嶺(1965-)，ORCID:http：//orcid.org/0000-0002-9442-8555,男，博士，教授，主要從事應用統計研究，E-mail:xlxu@suibe.edu.cn.

ORCID:http//orcid.org/0000-0003-1539-8747,E-mail:gubeiqing@suibe.edu.cn.

10.3785/j.issn.1008-9497.2016.05.008

O 213

A

1008-9497(2016)05-539-06