基于分數(shù)階偏微分方程的圖像放大模型

高　冉， 顧　聰， 李勝宏

(1. 中原工學院 理學院， 河南 鄭州 450007； 2. 浙江大學 數(shù)學系， 浙江 杭州 310027)

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基于分數(shù)階偏微分方程的圖像放大模型

高冉1， 顧聰1， 李勝宏2

(1. 中原工學院 理學院， 河南 鄭州 450007； 2. 浙江大學 數(shù)學系， 浙江 杭州 310027)

將分數(shù)階微分理論引入圖像放大模型中，利用全變分思想，提出了基于分數(shù)階偏微分方程的圖像放大模型.仿真實驗結果表明：新模型能較好地保持圖像邊緣特征，以及更多的圖像紋理信息，優(yōu)于整數(shù)階微分方程放大算法，是一種有效、可行的圖像放大模型.

分數(shù)階；偏微分方程；變分；圖像放大

Journal of Zhejiang University(Science Edition), 2016,43(5):550-553

對一幅圖像進行放大是由低分辨率獲得高分辨率圖像的一種圖像處理技術.通常理解為灰度級插值，僅針對圖像的像素點進行處理，導致放大后的圖像出現(xiàn)鋸齒狀條紋和塊狀效應，對帶噪圖像的放大效果更差；而基于偏微分方程(PDE)的圖像放大方法可以有效抑制塊狀效應和噪聲的影響[5-6].目前基于PDE的圖像放大算法分為兩類：直接法和間接法[7].本文采用的是間接法，即以傳統(tǒng)的插值結果作為放大圖像的初始值，應用PDE對其進行后處理，在Rudin, Osher, Fatemi(ROF)[8]和Lysaker, Lundervold, Tai(LLT)[9]模型的基礎上，提出了整數(shù)階的圖像放大模型[10]：

(1)

其中，χΩ1是Ω1上的特征函數(shù)，即對任意的(x,y)∈Ω1都屬于原始圖像的像素點.仿真實驗表明，該算法可有效消除圖像邊緣和紋理區(qū)域因放大產(chǎn)生的鋸齒和塊狀效應，但存在放大后圖像邊緣模糊、清晰度欠佳等視覺缺陷.

為了解決圖像模糊和細節(jié)特征丟失的問題，本文提出了一種基于分數(shù)階PDE[11-13]的圖像放大算法.分數(shù)階微分具有大幅提升圖像高頻成分、增強圖像中頻成分、非線性保留圖像低頻成分的特性，更多地保留了圖像平滑區(qū)域中灰度變化不大的紋理細節(jié)信息，使得放大后的圖像清晰，能夠較好地保持原圖像的邊緣特征.

1　相關理論

1.1分數(shù)階導數(shù)

分數(shù)階導數(shù)是整數(shù)階導數(shù)的推廣和延伸，雖然分數(shù)階導數(shù)已廣泛應用于物理、化學、生物、流體等領域，且在圖像處理領域也取得了初步研究成果，但其定義并不統(tǒng)一.主要有3種經(jīng)典的定義，包括Riemann-Liouville(R-L)、Capotu和Grumwald-Letnikov(G-L).

本模型基于G-L分數(shù)階導數(shù)定義[14]：

(2)

其中，p為分數(shù)階導數(shù)的階數(shù)，

(3)

1.2分數(shù)階導數(shù)的差分格式

將上述定義推廣到二維情形，可得u(x,y)的分數(shù)階偏導數(shù)定義：

(4)

(5)

(6)

集中技訓從大一下學期陸續(xù)開展，每學期不超過一次，具體時間安排結合各學院專業(yè)課程要求進行。實施中，每學期固定兩個教學周停開其他課程單獨進行集中技訓教學。采用“帶教帶學”模式進行授課，教師“帶教”，班級輔導員督促“帶學”。通過近幾年的實施，學校教務處及學院各專業(yè)有效的整合了教學資源，教學實踐潛力得到挖掘，目前各專業(yè)都不同程度取得了成績，運行狀況良好。

(7)

2　基于分數(shù)階的圖像放大算法

2.1模型的建立

先利用線性插值處理圖像，將圖像放大到所需倍數(shù)，然后應用分數(shù)階PDE技術對插值放大后的圖像進行后處理，實現(xiàn)圖像放大的目的.

首先給出本模型的能量泛函式：

χΩ1(u-u0)dxdy,

(8)

其中，泛函中第1項是平滑項；第2項中的χΩ1是Ω1上的特征函數(shù)，即對任意的(x,y)∈Ω1都屬于原始圖像的像素點.λ(>0)為常數(shù)，是通過反復實驗、人為選定的參數(shù)，其作用是對第1和第2項進行平衡.

利用變分法推得的該泛函歐拉-拉格朗日方程如下：

(9)

利用梯度下降法得到相應的擴散方程：

(10)

最終，利用式(10)對線性插值得到的u0進行修正，實現(xiàn)對圖像的放大.

2.2模型的算法

第1步假設初始圖像矩陣為m×n的T0，首先將T0通過采樣縮小k(k為正整數(shù))倍得到T′，將T′賦給T，然后對T進行線性插值(本文采用3次立方插值),得到放大k倍后的矩陣u0；

第2步利用式(10)對u0進行修正，找到一個u，既保持圖像原有的特性，又保持了圖像灰度級之間的連續(xù)性.

3　數(shù)值離散及實驗結果分析

對式(10)進行離散，時間步長為Δt，得到

Δtλ(un-u0)χΩ1(un-u0),

(11)

離散化求解中用到的參數(shù)，在實驗中按如下方式選取：式(11)中λ=0.5，h=1，Δt=0.05，p=1.7，迭代40次.為了測試本文算法的有效性，把256×256的Lena圖像先采樣縮小2倍，然后再放大.

圖1　圖像放大效果Fig.1　Results of image zooming

由效果圖圖1可見，基于分數(shù)階偏微分方程的圖像放大算法，對圖像進行放大時都有較好的效果，保留了圖像的原有特征.

為了進一步說明基于分數(shù)階偏微分程和基于4階整數(shù)階偏微分方程的圖像放大算法的區(qū)別，分別對描繪原始圖像、分數(shù)階放大后圖像及4階方程放大后圖像的150行所有列的灰度曲線分布進行比較，如圖2所示.

圖2　圖像放大前后灰度值曲線比較Fig.2　Comparison of different zooming methods

從圖2(b)和(c)可看出分別基于整數(shù)階和分數(shù)階的圖像放大算法的差異:使用整數(shù)階模型放大時，雖然獲得了較好的整體效果，但由于過度平滑，使得邊緣模糊，細節(jié)部分不夠清晰；而分數(shù)階偏微分方程插值模型較忠實地反映了圖像的原始面貌，保留了邊緣的銳度和紋理特性.

4　結　論

數(shù)值實驗表明，本文提出的基于分數(shù)階偏微分方程的圖像放大算法，較好地保留了圖像的邊緣特征和細節(jié)信息，獲得清晰的放大圖像，并且運算時間短于整數(shù)階偏微方程，是一種有效、可行的圖像放大算法.但本文僅嘗試使用了最簡單的分數(shù)階微分，如何確定更佳的微分階數(shù)以便得到更好的放大效果有待進一步研究.

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Image zooming model based on fractional-order partial differential equation.

GAO Ran1, GU Cong1, LI Shenghong2

(1.CollegeofScience,ZhongyuanUniversityofTechnology,Zhengzhou450007,China; 2.DepartmentofMathematics,ZhejiangUniversity,Hangzhou310027,China)

A new image zooming model based on the fractional-order partial differential equation is proposed, which adopts the idea of total variation. Simulation results show that the new model is capable of preserving the characteristics of image edge, and it can retain more texture details than the integer order partial differential equation model. The model is therefore effective and practical for image zooming.

fractional-order; partial differential equation(PDE); variation; image zooming

2015-07-24.

國家自然科學基金資助項目(11401604);河南省科技廳基礎與前沿研究項目(142300410354,142300410355,152300410226,152300410227);河南省教育廳科學技術研究重點項目(15A110045)；河南省高等學校重點科研項目(17A110036).

高冉(1982-)，ORCID:http://orcid.org/0000-0002-3151-7040，女，碩士，講師，主要從事圖像處理與模式識別研究,E-mail:nygr@163.com.

10.3785/j.issn.1008-9497.2016.05.010

TP 391

A

1008-9497(2016)05-550-04