不同無砟軌道類型對車輛動力學特性影響的數值分析

陳　林，姚林泉

（蘇州大學城市軌道交通學院，江蘇 蘇州215131）

不同無砟軌道類型對車輛動力學特性影響的數值分析

陳林，姚林泉

（蘇州大學城市軌道交通學院，江蘇 蘇州215131）

利用車輛-軌道耦合動力學理論，建立了不同類型無砟軌道垂向耦合動力學模型，分別計算了整體式無砟軌道、板式無砟軌道以及浮置板式無砟軌道在列車運行下的振動響應，分析比較系統振動響應受無砟軌道道床類型、車速、不平順波深、扣件剛度和板下彈簧剛度的影響。結果表明，系統振動響應均隨車速的提高而增大；車速、不平順波深、扣件剛度和板下彈簧剛度對整體道床式無砟軌道系統振動響應影響最大，板式無砟軌道次之，對浮置板式無砟軌道系統振動響應影響最小；相對而言，浮置板式無砟軌道動力特性最好，其次為板式無砟軌道，整體式無砟軌道的動力特性最差。

車輛-軌道耦合動力學；整體式軌道；板式軌道；浮置板式軌道；振動響應

以地鐵為主的城市軌道交通是一種快捷、環保、舒適的大運量交通運輸方式，但是隨軌道交通而來的振動和噪聲不僅影響周圍環境，還直接影響到人們的生活和健康［1］。為了減少維護作業時間和減少環境振動等原因，城市軌道交通軌道結構大多采用無砟軌道。無砟軌道類型較多，在無砟軌道的研發、試鋪及應用過程中，許多國家都根據各自鐵路的特點，研發了各具特色的無砟軌道結構形式，如整體道床、板式道床、浮置板式道床等軌道結構。浮置板式無砟軌道在減震降噪方面效果明顯，適用于人口密集的區域和一些特殊地區，鋼彈簧浮置板軌道已在我國得到大量運用［2］。

近年來，國內外學者在車輛—軌道耦合動力學方面進行了大量的研究，取得了許多成果［3-4］。大部分工作集中在道床的減振性能研究，但在建立模型時，簡化了列車模型，采用靜載荷和一系列正弦函數疊加的動載荷來模擬列車荷載［5］。有的在研究軌道不平順波長對軌道結構振動的影響規律時［6］，缺少對列車振動響應的分析。在分析車速對系統振動響應的影響時［7］，忽略了軌道不平順的影響，而研究表明，軌道不平順引起的列車振動會隨著列車速度的提高成倍增大［8］。目前，很多研究者分析了地鐵隧道中浮置板式無砟軌道的振動響應［9］，卻很少與其他類型無砟軌道作對比，同時缺少考慮浮置板式無砟軌道道床結構參數對系統振動的影響，為此需要進一步開展相關方面的研究工作。

本文在前人的研究基礎上，建立了車輛—軌道耦合動力學模型，在軌道諧波不平順條件下，分析比較了整體式無砟軌道、板式無砟軌道及浮置板式無砟軌道在列車通過時的動力響應，揭示影響動力響應的內在因素，從而為乘客乘坐的舒適性、軌道結構振動的穩定性提供一定的參考數據。

1　車輛—軌道耦合動力學模型

1.1車輛模型

設車輛模型由1個車體、2個轉向架、4個輪對及2層懸掛系統組成，如圖1所示。車體視為質量Mc和繞其質心轉動慣量Jc的剛體，每個轉向架視為質量Mt和繞其質心轉動慣量Jt的剛體，每個車輪視為質量為Mw的剛體。一系懸掛的彈簧剛度和阻尼系數分別為kct和cct，二系懸掛的彈簧剛度和阻尼系數分別為ktw和ctw。車體自由度是其質心處的豎向位移Zc和轉角θc，轉向架自由度是其質心處的豎向位移Zti和θti轉角（i=1時為前轉向架自由度，i=2時為后轉向架自由度），輪對自由度分別為其質心處的豎向位移Zw1，Zw2，Zw3和Zw4，因此，車輛總共有10個自由度［10］。車輛定距之半為lc，轉向架固定軸距之半為lt。

圖1　車輛的力學模型Fig.1　The dynamic model of vehicle

1.2軌道結構模型

整體道床動力學模型如圖2所示，鋼軌和剛性基礎之間的剛度krb，阻尼為crb。根據板式道床的結構特點，視軌道板為支承在連續分布的線性彈簧與線性阻尼上的有限長自由梁，軌道板以下混凝土基礎視為剛性基礎，其動力學模型如圖3所示。每塊軌道板長為Ls，鋼軌和板之間的剛度為kp，阻尼為cp，板和剛性基礎之間的剛度k，阻尼c。根據鋼彈簧浮置板式道床的結構特點，浮置板視為連續彈性離散點支承上的有限長自由梁，浮置板以下視為剛性基礎，其動力學模型如圖4所示。每塊浮置板長為Lf，鋼軌和浮置板之間的剛度為kp，阻尼為cp，浮置板和剛性基礎之間的剛度為ks，阻尼為cs。3種無砟軌道道床模型都將鋼軌視為按扣件間距分布的彈性點支承上的Euler梁［11］，輪軌垂向相互作用采用Hertz非線性彈性接觸模型。

圖2　整體道床模型Fig.2　The model of monolithic track bed

圖3　板式道床模型Fig.3　The model of slab track bed

圖4　浮置板式道床模型Fig.4　The model of floating slab track bed

2　車輛-軌道耦合系統動力學方程

首先，根據達朗貝爾原理建立車輛振動的微分方程，其矩陣形式為［12］

其中，［Mv］，［Cv］，［Kv］分別為車輛的質量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣；［Fv］為力向量，位移列向量為

其次，建立鋼軌的振動方程。不計鋼軌本身阻尼影響，由Euler梁彎曲動力學可得到其動力學方程為［12］

為第i個扣件對鋼軌的作用力，ErIr為鋼軌抗彎剛度，Pj（t）為第j位輪對作用在鋼軌上的垂向力，nr為軌道長度內扣件的個數，xri為第個扣節點在鋼軌上的坐標值，xwj為第j位輪對的坐標值。方程（3）為四階偏微分方程，用Ritz法進行降階處理，鋼軌視為簡支梁模型，設其正則振型函數是

其中，Lr為鋼軌長度。則方程（3）的解可表示為

這里Nr為所截取的模態階數；qrn（t）為正則坐標。將（6）代入（3）式，兩邊同乘各階振型，然后積分，再利用模態的正交性，可得到關于正則坐標的二階常微分方程為

再次，建立板式道床中的軌道板垂向振動方程［12］

其中：EI為軌道板的抗彎剛度；ρ為軌道板單位長度質量；nr為鋼軌扣件數目；n為板下彈簧數目，鋼軌支點反力Frsi（t）和彈簧支點力Fssj（t）分別為

這里，kj，cj為第j個彈簧剛度和阻尼，kpi，cpi為第i個鋼軌扣件剛度和阻尼，而Z（x，t），（x，t）為軌道板的垂向位移和速度。

根據Ritz法，軌道板垂向位移可以表示為

式中:Tn（t）為廣義坐標；Xn為自由梁函數系；且；m為模態階數；Cm是梁函數系數；βm為梁頻率系數。這里，當m≥6時，Cm=1，βmLs=（2m-3）/π。Ls為軌道板長度，NM為截止模態階數［12］。

將式（11）代入（8）式，并在等式兩邊同乘Xk（k=1～NM），然后沿板長積分，由模態正交性和δ函數性質得軌道板廣義坐標滿足的振動方程為

同理，可得到浮置板的振動方程為

式中:EfIf是浮置板的抗彎剛度；ρf為浮置板單位長度質量；NMS為截止模態階數；Lf為浮置板長度；ns為鋼彈簧數目，鋼軌支點反力Frfi（t）和鋼彈簧支點力Ffsi（t）分別為

這里，ks，cs為鋼彈簧剛度和阻尼；kp，cp為鋼軌扣件剛度和阻尼；而Zs（x，t），（x，t）為浮置板的垂向位移和速度。

然后，輪軌接觸關系可由赫茲非線性彈性接觸理論確定，當輪軌界面存在位移不平順Z0（t）輸入時，輪軌力表達式為

最后，將車輛的振動方程（1）、鋼軌的振動方程（7）、道床的振動方程（12）或（13）組合在一起，即可組成系統的動力平衡方程組

其中，［M］，［C］和［K］分別為耦合系統的質量、阻尼、剛度矩陣；分別為耦合系統的廣義加速度矢量、廣義速度矢量及廣義位移矢量；｛P｝為耦合系統的廣義載荷矢量。

這是一個大型的二階非線性微分方程組，本文采用新型顯式積分法［12］求解。該方法與Newmark-β法具有同級精度，且具有快速簡單的特點。

3　車輛-軌道耦合系統的振動響應分析

為了考察3種不同道床中車速、不平順度及彈性參數對軌道結構和車體的動力特性影響，本節利用Matlab編程進行具體數值計算和分析。為了增加對比性，在具體計算時，列車型號、鋼軌類型和車速等保持一致，取鋼軌長120 m。車輛及軌道模型參數為［12-13］：

3.1列車行駛速度對系統的耦合振動分析

取不平順波深a=1 mm，不平順波長la=1 m，采用新型顯示積分法對系統振動方程進行求解，積分步長取△t=0.000 1 s。取列車速度為40，60，80，100 km·h-14種情況進行數值模擬分析。

圖5顯示不同類型無砟軌道車體垂向位移最大值隨車速變化趨勢。由圖5可見，隨著車速的提高，3種無砟軌道的車體垂向位移均有所增大。在車速相同的條件下，整體道床的車體垂向位移最大，板式道床的車體垂向位移稍小，浮置板式道床的車體垂向位移最小。如車速為80 km·h-1時，其位移比值依次為1.2∶1.05∶1。圖6顯示不同無砟軌道類型車體垂向加速度最大值隨車速變化趨勢。由圖6可見，隨著車速的提高，車體垂向加速度均增大。在車速相同的條件下，浮置板式道床的車體垂向加速度最大值最小，因此乘坐舒適性最好。圖7顯示鋼軌中點垂向位移最大值隨無砟軌道類型及車速變化趨勢。由圖7可見，隨著車速的提高，3種無砟軌道的鋼軌中點垂向位移均增大。在車速相同的條件下，整體道床的鋼軌垂向位移最大，板式道床的鋼軌垂向位移稍小，浮置板式道床的鋼軌垂向位移位移最小。圖8顯示鋼軌中點垂向加速度最大值隨無砟軌道類型及車速變化趨勢。由圖8可見，隨著車速的提高，3種無砟軌道的鋼軌中點垂向加速度均增大，且整體道床和板式道床的增速較大，浮置板式的變化較慢。在車速相同的條件下，整體道床的鋼軌中點垂向加速度最大，板式道床的鋼軌中點垂向加速度稍小，浮置板式道床的鋼軌中點垂向加速度最小。圖9顯示第4輪對輪軌力最大值隨無砟軌道類型及車速變化趨勢。由圖9可見，隨著車速的提高，列車第四輪對輪軌力最大值均有增大。在車速相同的條件下，整體道床的第四輪對輪軌力最大值最大，板式的稍小，浮置板式的最小。圖10顯示地基彈性力最大值隨無砟軌道類型及車速變化趨勢。由圖10可見，隨著車速的提高，地基彈性力最大值均有增大。在車速相同的條件下，浮置板式道床的地基彈性力最大值最小，因此對周圍環境影響最小。

圖5　車體最大位移隨速度變化Fig.5　Maximum displacement of vehicle body with velocity

圖6　車體最大加速度隨速度變化Fig.6　Maximum acceleration of vehicle body with velocity

圖7　鋼軌中點最大位移隨速度變化Fig.7　Maximum displacement of rail midpoint with velocity

圖8　鋼軌中點最大加速度隨速度變化Fig.8　Maximum acceleration of rail midpoint with velocity

圖9　第四輪對輪軌力隨速度的變化Fig.9　Maximum wheel/rail force of the fourth wheel set with velocity

圖10　地基彈性力隨速度的變化Fig.10　Maximum elastic force of the subgrade with velocity

3.2不平順波深對振動的影響

速度為時80 km·h-1，在不平順波長1 mm不變的情況下，取波深分別為1，2，3 mm和4 mm 4種情況下進行數值模擬計算。分析研究不平順波深對車輛軌道的加速度及輪軌力的影響，如圖11～圖13所示

圖11　車體最大加速度隨不平順波深的變化Fig.11　Maximum acceleration of vehicle body with depth of irregularity

由圖11可見，隨著不平順波深的增加，整體道床和板式道床的車體垂向加速度均有增大，而浮置板道床的車體垂向加速度幾乎沒有變化。由圖12可見，隨著不平順波深的增加，3種道床的鋼軌中點垂向加速度均有增大的趨勢。在波深相同的條件下，整體道床的鋼軌中點豎向加速度最大，板式道床的鋼軌中點豎向加速度稍小，浮置板式道床的鋼軌中點豎向加速度最小。圖13顯示第4輪對輪軌力最大值隨道床類型及波深的變化。由圖13可見，隨著波深的增加，第4輪對輪軌力最大值均增大。在波深相同的條件下，整體道床的第4輪對輪軌力最大值最大，板式道床的第四輪對輪軌力最大值稍小，浮置板式道床的第四輪對輪軌力最大值最小。

圖12　鋼軌中點最大加速度隨不平順波深的變化Fig.12　Maximum acceleration of rail midpoint with depth of irregularity

圖13　第四輪對輪軌力最大值隨不平順波深的變化Fig.13　Maximum wheel/rail force of the fourth wheel set with depth of irregularity

3.2扣件剛度變化對振動的影響

速度為時80 km·h-1，為了考察扣件剛度對振動的影響，扣件剛度分別取1×107，2×107，3×107和4×107N·m-1進行數值模擬計算，如圖14～圖16所示。

圖14　車體最大位移隨扣件剛度的變化Fig.14　Maximum displacement of body with different stiffness

圖15　鋼軌中點最大位移隨扣件剛度的變化Fig.15　Maximum displacement of rail midpoint with different stiffness

圖16　鋼軌中點最大加速度隨扣件剛度的變化Fig.16　Maximum acceleration of rail midpoint with different stiffness

由圖14可見，隨著扣件剛度的增大，車體垂向位移均有減小的趨勢。當扣件剛度由1×107N·m-1增加到2×107N·m-1時，整體道床和板式道床的車體垂向位移減幅較大，而浮置板式道床的車體垂向位移減少較小。由圖15和圖16可見，隨著扣件剛度的增大，整體式道床和板式道床中的鋼軌中點垂向位移和垂向加速度均有減小，而浮置板式道床的鋼軌中點垂向位移和垂向加速度變化不大。在扣件剛度相同的條件下，整體道床的鋼軌中點垂向位移和垂向加速度最大，板式道床的鋼軌中點垂向位移和垂向加速度稍小，浮置板式軌道的鋼軌中點垂向位移和垂向加速度最小。因此，增加扣件剛度對整體道床和板式道床有利，對浮置板式道床影響不大。

3.4板下彈簧剛度變化對振動的影響

速度為時80 km·h-1時，為了考察板下彈簧剛度對振動的影響，板下彈簧剛度分別取4×107，4.5×107，5×107和5.5×107N·m-1進行數值模擬計算，如圖17～圖20所示。

圖17　車體最大位移隨彈簧剛度的變化Fig.17　Maximum displacement of body with different stiffness

圖18　車體最大加速度隨彈簧剛度的變化Fig.18　Maximum acceleration of body with different stiffness

圖19　鋼軌中點最大位移隨彈簧剛度的變化Fig.19　Maximum displacement of rail midpoint with different stiffness

圖20　鋼軌中點最大加速度隨彈簧剛度的變化Fig.20　Maximum acceleration of rail midpoint with different stiffness

由圖17可見，隨著板下彈簧剛度的增大，板式道床的車體垂向位移變化不大，而浮置板式道床的車體垂向位移減少較大。由圖18可見，隨著彈簧剛度的增大，板式道床和浮置板式道床的車體垂向加速度變化不大，這也與文獻［13］的結論相一致。由圖19和圖20可見，隨著彈簧剛度的增大，板式道床、浮置板式道床的鋼軌中點垂向位移和垂向加速度均減小，當剛度由4×107N·m-1增加到4.5×107N·m-1時，減幅最大。但繼續增加彈簧剛度時，鋼軌中點垂向位移和垂向加速度變化緩慢。從經濟效益角度看，彈簧剛度在4×107N·m-1到4.5×107N·m-1之間取值時，能達到一個比較好的效果。

4　結論

本文建立了車輛—軌道耦合動力學模型，引入了軌道諧波不平順，采用新型顯式積分法對系統動力學方程進行求解，分析比較了系統振動響應受無砟軌道道床類型、車速、不平順波深、扣件剛度和板下彈簧剛度的影響，研究表明：

1）整體道床、板式道床及浮置板式道床在列車運行下的系統振動響應均隨車速的提高而增大；在車速相同的條件下，浮置板式道床的車體垂向位移、車體垂向加速度及地基彈性力最大值均最小，因此乘坐舒適性最好，對周圍環境的影響也最小。

2）車速相同的條件下，不平順波深對整體道床和板式道床的車體垂向加速度、鋼軌中點垂向加速度及垂向輪軌力等響應影響較大，而對浮置板式道床中的車體垂向加速度影響較小。

3）在車速相同的條件下，鋼軌扣件剛度對整體道床和板式道床的車體垂向位移、鋼軌中點垂向位移及鋼軌中點垂向加速度影響較大，對浮置板式道床的車體垂向位移、鋼軌中點垂向位移及鋼軌中點垂向加速度等影響較小；而板下彈簧剛度對板式道床的鋼軌中點垂向位移及鋼軌中點垂向加速度影響較大，對浮置板式道床的車體垂向位移、鋼軌中點垂向位移及鋼軌中點垂向加速度等影響較大。

浮置板式無砟軌道較整體式無砟軌道和板式無砟軌道動力特性好，可起到減振降噪的作用。但是浮置板式軌道結構的投資成本較大，所以目前主要用于一些有特殊減振要求的區域。

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（責任編輯王建華）

Numerical Analysis on the Influence of Different Ballastless Tracks on Vehicle Dynamics

Cheng Lin，Yao Linquan
（School of Urban Rail Transportation，Soochow University，Suzhou 215131，China）

Different types of vertical coupling dynamics models of ballastless tracks are established in this paper，based on the vehicle-track coupling dynamics theory.The vibration responses of monolithic track bed，slab track and floating slab track with trains running are all calculated respectively.The influence of different ballastless tracks，speed，depth of irregularity，stiffness of fasteners and spring on dynamic responses of the system is analyzed and compared.It shows that the vibration responses of the system increase when trains speed up and the vibration response of monolithic track bed is most connected with the influence factors；the slab track takes the second place，and that of floating-slab track has the least connection with the influence factors.It concludes that the dynamic performance of floating-slab track is comparatively better than that of slab track，and the monolithic track bed is the worst.

vehicle-track coupling dynamics；monolithic track；slab track；floating slab track；vibration response

U211.3

A

1005-0523（2016）04-0001-09

2016－03－24

國家自然科學基金項目（11172192，11572210）

陳林（1990—），男，碩士研究生，研究方向為車輛軌道耦合系統動力學。

姚林泉（1961—），男，教授，博士生導師，研究方向為計算固體力學、車輛軌道耦合系統動力學。