放坡條件下有限土體主動土壓力計算

方　燾，王海龍，楊銳銳，胡文韜，呂雪冬

（1.華東交通大學土木建筑學院，江西 南昌330013；2.南昌市政公用集團，江西 南昌330000）

放坡條件下有限土體主動土壓力計算

方燾1，王海龍2，楊銳銳1，胡文韜1，呂雪冬1

（1.華東交通大學土木建筑學院，江西 南昌330013；2.南昌市政公用集團，江西 南昌330000）

通過極限平衡法推導了放坡條件下有限土體主動土壓力計算公式，基于該公式分析了不改變有限土體寬度與基坑深度的比值（b/H），但改變基坑大小的情況下，對剪切面破裂角無影響，且有限土體主動土壓力與基坑深度的平方成正比關系。改變邊坡坡角，隨著b/H的值增大，剪切破裂角及有限土體主動土壓力會趨于一定值，且該計算公式適用范圍與邊坡坡角無關，與內摩擦成負相關。

有限土體；主動土壓力；破裂角；坡角

近年來，隨著城市地下軌道不斷發(fā)展，異形、交叉等大型深基坑［1-2］不斷涌現，在這些復雜的基坑中，往往基坑與基坑之間會出現高差，具有高差的這部分土體并非半無限長，而是有限的（如圖1所示）。經典的朗肯土壓力理論或庫侖土壓力理論采用的是半無限土體的假設條件，顯然對有限土體并不適合。高印立［3-4］基于土體的塑性上限理論，提出了一種有限土體土壓力的計算公式，指出利用極限分析法得到的有限土體土壓力與朗肯土壓力理論存在顯著差異。王文杰［5］從土壓力基本原理出發(fā)，根據兩豎直擋墻之間矩形片體單元受力平衡條件，簡單推導得出了有限寬度土體的土壓力計算方法。李峰［6］基于滑楔體平衡理論，推導了考慮土體變形情況的有限土體土壓力計算模式，馬平［7］基于極限平衡理論及平面滑裂面假定，在考慮土黏聚力及有限土體寬度的基礎上，推導有限土體滑裂面剪切破壞角的數學表達式，并建立有限土體主動土壓力計算公式，肖世國［8］根據極限平衡及應力圓分析理論，對一般重力式擋墻主動土壓力計算模型進行了分析，獲得了近似解析解。池云飛等［9］基于經典庫侖土壓力理論，推導出計算梯形斷面滑動土楔主動土壓力公式。周含川［10］基于主動土壓力為三角形分布或高大擋墻的梯形分布條件下，推導了有限土體斷面形狀更通用有限土體主動土壓力計算方法。本文采用推導庫侖土壓力理論的推導方式推導出了放坡條件下有限土體主動土壓力的計算公式。并通過算例分析，得出該條件下有限土體的適用范圍及相關的一些結論。

圖1　存在有限土體基坑示意圖Fig.1　Schematic diagram of existing limited soil pit

1　放坡條件下有限土體主動土壓力計算分析

1.1放坡條件下有限土體主動土壓力計算模型

基本假設：基坑深度為H，有限土體為ABCD，其寬度為b，邊坡傾角為β，支護擋墻豎直，墻背面為粘性土，土的容重為γ，內摩擦角為φ，土體的外摩擦角為δ。當支護結構在土壓力的作用下產生水平向位移，使墻背面土體產生滑裂體（視為剛性體），并處于極限平衡狀態(tài)。此時的滑裂面為BF，滑裂體為ABFD，在滑裂體上作用有滑裂土體的重力W，滑裂面BF上的反力R，反力R與滑裂面的法線成φ角，并作用在法線的下方；AB面上的反力Ea（即主動土壓力），反力Ea與AB面的法線成δ角，并作用在法線的下方，如圖2所示。

1.2放坡條件下有限土體主動土壓力基本方程

取單位長度有限土體考慮，由圖1中的關系可得滑裂體的重力W為

式中：γ為土的重度，kN·m-3；b為坡頂的寬度，即有限土體的寬度，m；H為坡頂到坡底的垂直距離，即計算點的深度，m；β為邊坡的坡角。

根據圖2所示各力的關系，不考慮均布荷載，建立平面直角坐標系，如圖3所示。

圖2　有限土體受力分析圖Fig.2　Analysis diagram of limited soil stress

圖3　有限土體受力簡圖Fig.3　Limited soil force diagram

可得平衡方程為

由式（1）（2）（3）可得有限土體主動土壓力計算公式為

1.3放坡條件下有限土體主動土壓力求解方法

根據極限平衡法求解出的主動土壓力公式可知：求解主動土壓力關鍵在于解出剪切破裂面傾角。對于半無限土體而言，朗肯與庫侖土壓力理論得到的主動土壓力計算時的剪切破裂面傾角均為θ=45°+φ/2，剪切破裂面傾角是個定值，與深度無關。對于有限土體而言，剪切破裂面傾角會隨著深度的改變而改變。

當深度H一定時，根據上式（4）可知：Ea為剪切破裂面傾角θ的函數。按照極限平衡理論，Ea對θ求導，并令dEa/dθ=0，此時求出的θ′即為剪切破裂面傾角，求出的極大值即為有限土體主動土壓力。式（4）對θ求導可得：

2　有限土體主動土壓力分析

根據式（5）可知，剪切破裂面傾角不再是定值45°+φ/2，而是一個與有限土體寬度、邊坡坡角、土的內摩擦角及深度等有關的變量，其所得的關系曲線如圖4、圖6所示。

當計算θ′與b/H、H的關系時，取γ=18 kN·m-3，β=45°，φ=17°，δ=2/3 φ，計算數據如表1所示；當計算θ′與b/H，β的關系時，取γ=18 kN·m-3，H=10 m，φ=17°，δ=2/3 φ，計算數據如表2所示；當計算θ′與b/H，φ的關系時，取γ=18 kN·m-3，β=45°，H=10 m，δ=2/3 φ，計算數據如表3所示。

表1　不同深度相同b/H下有限土體θ、Ea值Tab.1 Limited soil θ，Eavalue at different depths and under the same ratio of b and H

由圖4、圖5可知，隨著b/H的增大，剪切破裂面傾角與b/H成負相關；若隨著H的增大，但不改變b/H時，剪切破裂面傾角無變化。但其有限土體主動土壓力增大，且主動土壓力與H的平方成正比。當H一定時，隨著b的增大，有限土體土壓力增大，并趨于庫侖土壓力。

由圖6、圖7可知，當b/H一定時，隨著邊坡坡角的增大，剪切破裂面傾角與坡角成正相關；隨著b/H的增大，剪切破裂面傾角越來越小，并趨于一定值；其主動土壓力與b/H成正比，與坡角成反比關系。

由圖8～圖12可知，基于MATLAB計算分析，當改變坡角，內摩擦角不變時，b=0.85 H，剪切破裂面線臨界于邊坡與坡頂的交點；若b≤0.85 H時，剪切破裂面線交于邊坡上，破壞模式與本文研究的有限土體受力分析一致，可根據式（4）計算有限土體主動土壓力；若b＞0.85 H時，剪切破裂面線交于坡頂處，此時破壞模式與經典的主動土壓力破壞模式一致，可依照庫侖理論來計算主動土壓力，并且隨著坡角的增大，不改變該破壞模式。當改變內摩擦角，邊坡坡角不變時，隨著內摩擦角增大，適用本文研究的破壞形式所對應的b/H的值越小。

由此可知，有限土體主動土壓力剪切破裂面傾角是個變量，它與有限土體寬度與深度的比值、邊坡坡角等因素有關；當b/H＞0.85時，即θ′≤48.7°時，此時不能按照有限土體計算主動土壓力。

表2　不同坡角相同b/H下有限土體θ、Ea值Tab.2　Limited soil θ，Eavalue at different slope angle and under the same ratio of b and H

圖4　b/H與θ關系曲線圖Fig.4　Relationship graph of b/H and θ

圖5　b/H與Ea關系曲線圖Fig.5　Relationship graph of b/H and Ea

圖6　不同β下b/H與θ關系曲線圖Fig.6　Relationship graph of b/H and θ under different β

圖7　不同β下b/H與Ea關系曲線圖Fig.7　Relationship graph of b/H and θ under different Ea

表3　不同內摩擦角相同b/H下有限土體θ值Tab.3　Limited soil θ value at different internal friction angles and under the same ratio of b and H

圖8　坡角為60°示意圖Fig.8　Schematic diagram of slope angle of 60°

圖9　坡角為90°示意圖Fig.9　Schematic diagram of slope angle of 90°

圖10　坡角為45°示意圖Fig.10　Schematic diagram of slope angle of 45°

圖11　內摩擦角為25°示意圖Fig.11　Schematic diagram of internal friction angle of 25°

圖12　內摩擦角為5°示意圖Fig.12　Schematic diagram of internal friction angle of 5°

3　結論

本文根據極限平衡法推導出來放坡條件下有限土體主動土壓力計算公式，以及采用編程軟件MATLAB對放坡條件下有限土體滑裂面剪切破壞角的進行了求解，得到了以下主要結論。

1）有限土體主動土壓力的適用范圍與邊坡坡角無關，與內摩擦角成負相關。

2）有限土體主動土壓力剪切破裂面傾角是個變量，與基坑形狀的大小無關，而與有限土體寬度與深度的比值、邊坡坡角成負相關。

［1］李鐘.深基坑支護技術現狀及發(fā)展趨勢（一）［J］.巖土工程界，2001，4（1）：42-45.

［2］孫鈞.市區(qū)基坑開挖施工的環(huán)境土工問題［J］.地下空間，1999（4）：257-265.

［3］高印立.有限土體土壓力的計算探討［J］.建筑科學，2000，16（5）：53～56.

［4］高印立.極限分析法計算有限范圍土體土壓力［J］.建筑結構，2001，31（8）：66-68.

［5］王文杰，曾進群，陳小丹.深基坑開挖中有限土體土壓力計算方法探討［J］.巖土工程界，2004，8（3）：30-31.

［6］李峰，郭院成.基坑工程有限土體主動土壓力計算分析研究［J］.建筑科學，2008，24（1）：15-18..

［7］馬平，秦四清，錢海濤.有限土體主動土壓力計算［J］.巖石力學與工程學報，2008（S1）：3070-3074.

［8］肖世國，陶志平.土質邊坡重力式擋墻主動土壓力的近似解析解［J］.路基工程，2009（1）：32-34.

［9］池云飛，包志仁，陳中濤，等.復雜邊坡主動土壓力求解與應用［J］.人民黃河，2011，33（3）：88-89.

［10］周含川.有限土體主動土壓力計算及探討［J］.重慶建筑，2009，12（8）：34-37.

（責任編輯王建華）

Active Earth Pressure Calculation of Limited Soil in Grading Conditions

Fang Tao1，Wang Hailorg2，Yang Ruirui1，Hu Wentao1，Lv Xuedong1
（1.School of Civil Engineering and Architecture，East China Jiaotong University，Nanchang 330013，China；2.Nanchang Municipal Public Group，Nanchang 330000，China）

Formula of active earth pressure of limited soil under grading conditions is derived by limit equilibrium method.Based on this formula，not changing the ratio of limited soil width and pit depth（b/H），but changing the size of pit，this study finds out that the rupture angle of shear surface would not be influenced and the active earth pressure of limited soil is in proportion to the square of pit depth.With the change of slope angle，value of b/H increases，shear fracture angle and active earth pressure of limited soil tend tobe a certain value.And scope of this formula is irrelevant to slope angle and negatively correlates with internal friction.

limited soil；active earth pressure；rupture angle；slope angle

TU43

A

1005-0523（2016）04-0050-06

2015－03－25

南昌市政公用集團科技基金（2014）

方燾（1976—），男，副教授，博士，研究方向為道路與鐵道。