由圖結(jié)構(gòu)確定的交換環(huán)研究

單金炘，王榮榮，王成敏

江南大學(xué)理學(xué)院，江蘇無錫214125

由圖結(jié)構(gòu)確定的交換環(huán)研究

單金炘，王榮榮，王成敏

江南大學(xué)理學(xué)院，江蘇無錫214125

針對由圖結(jié)構(gòu)所確定的交換環(huán)的代數(shù)結(jié)構(gòu)、性質(zhì)，本文深入討論了無圈圖（獨點、星圖、雙星圖）與交換環(huán)之間的對應(yīng)關(guān)系，并確定了相應(yīng)的交換環(huán)的代數(shù)結(jié)構(gòu)及同構(gòu)分類，同時對有圈圖的圖結(jié)構(gòu)進(jìn)行了刻畫。結(jié)果表明：只有唯一條件符合時，環(huán)的零因子圖才能確定，從而奠定完全圖帶一個角對應(yīng)的交換環(huán)代數(shù)結(jié)構(gòu)的理論與實踐基礎(chǔ)。

交換環(huán)；無圈圖；代數(shù)結(jié)構(gòu)

近年來，零因子圖的研究在代數(shù)領(lǐng)域越來越受到學(xué)者的關(guān)注，主要研究內(nèi)容：在一定的條件下，環(huán)與半群的代數(shù)性質(zhì)、結(jié)構(gòu)是否與其零因子圖的性質(zhì)、結(jié)構(gòu)存在著關(guān)聯(lián)關(guān)系。Yousefian在對半群的零因子圖進(jìn)行定義時，明確指出了關(guān)聯(lián)條件：乘法交換半群S的元為0，且滿足0S=｛0｝，其全體零因子的集合為Z（S），零因子圖則為Γ（S），頂點集記為Z（S）*，設(shè)任意兩個頂點為x，y，當(dāng)出現(xiàn)條件xy=0且x≠y時，這兩個頂點只有一條邊相連［1］。若該乘法交換半群未包含不等于0的零因子，則其零因子圖為空圖。由于交換環(huán)的本身是元為0的乘法交換半群，所以也具備了相對應(yīng)的零因子圖。從兩者的研究文獻(xiàn)看，零因子圖是因為交換環(huán)的研究需要而產(chǎn)生的，其染色素與團數(shù)的關(guān)系、圖性質(zhì)與環(huán)性質(zhì)的關(guān)系，是該領(lǐng)域的主要研究方向。但是在早期，0也被定義為圖的頂點，因此該點與其它的頂點存在相連關(guān)系。在后期的研究中，交換環(huán)的零因子圖被重新定義，0不再作為圖的頂點出現(xiàn)，這樣對環(huán)的代數(shù)結(jié)構(gòu)能夠更好地進(jìn)行刻畫，這種新的定義被當(dāng)前的學(xué)者普遍采納。

下面給出一些相關(guān)的概念。首先是完全圖的概念，即任何一組不同的頂點，都有一條簡單的邊進(jìn)行連接所構(gòu)成的圖。基于同構(gòu)原則，就算頂點有n個，其完全圖也僅有一個（Kn），若一個完全圖的頂點被分解為2個非空的子集x與y，兩者的任何一個頂點都相互連接，該圖則被稱為完全二部圖（K|X|，|Y|），當(dāng)符合條件|X|=1時，該完全二部圖則被稱為星圖（K|Y|）。兩個星圖的中心點被某一個圖所連接，該圖則被稱為雙星圖。按照正常的圖論，連接頂點x與y的邊通常用x-y表示，但是在交換環(huán)中，該符號同時具備了減法的含義。為了區(qū)別交換環(huán)內(nèi)本身的減法符號，在后面的研究中，連接頂點x與y的邊用x-o y表示。此次所討論的環(huán)R均是帶有單位元的交換環(huán)（不一定是有限環(huán)），環(huán)R是圖G對應(yīng)的交換環(huán)。當(dāng)G=Γ（R）時，若環(huán)R中沒有非零的冪零元，則稱R是reduced環(huán)。對于交換環(huán)R，用Z（R）表示R的全體零因子集合，環(huán)R的冪零根則用N（R）表示，特征用char（R）表示。

1　無圈圖對應(yīng)的環(huán)的代數(shù)結(jié)構(gòu)

Lakos證明了無圈的零因子圖為獨點、星圖及雙星圖［2］。關(guān)于無圈圖與半群之間的對應(yīng)關(guān)系的研究這方面已取得了很多成果，可參見文獻(xiàn)［3-8］。然而，對于交換環(huán)這一方面卻少有系統(tǒng)的研究，這部分主要討論無圈圖與交換環(huán)之間的對應(yīng)關(guān)系。首先給出獨點對應(yīng)的交換環(huán)的代數(shù)結(jié)構(gòu)，有如下結(jié)論：

定理1.1設(shè)R是交換環(huán)并滿足|Z（R）|=2，則R≌Z4或者R≌Z2［x］/（x2）。

證明：不妨設(shè)Z（R）=｛0，x｝，其中x≠0，不難驗證x2=0，由正合列0→A nn（x）→R→R x→0可得R/A nn（x）≌R x。

對于有限星圖與交換環(huán)之間的對應(yīng)關(guān)系，Qijiao等人進(jìn)行了討論，給出有限星圖對應(yīng)的交換環(huán)的代數(shù)結(jié)構(gòu)［9］，即Γ（R）是有限星圖當(dāng)且僅當(dāng)R同構(gòu)于下列環(huán)之一：Z8，Z2［x］/（x3），Z4［x］/（2x，x2-2），Z9，Z3［x］/（x2），Z2×F

其中F是有限域。但是對于無限星圖與交換環(huán)的對應(yīng)關(guān)系，這方面的研究還比較少，特別是無限星圖確定的交換環(huán)的代數(shù)結(jié)構(gòu)至今仍然沒有完全解決。下面直接從圖的結(jié)構(gòu)出發(fā)，采用代數(shù)與圖論結(jié)合的方法討論無限星圖對應(yīng)的環(huán)的代數(shù)結(jié)構(gòu)、性質(zhì)，證明思路是全新的。

定理1.2設(shè)交換環(huán)R無限星圖的滿足條件是Γ（R），則以下結(jié)論成立：

（1）如果R為reduced環(huán)，則R≌Z2×D，D為無限整環(huán)。

（2）如果R不是reduced環(huán)，則R/Z（R）≌Z2，并且R不是Artin環(huán)。char（R）=0，或者2，或者4。

證明：（l）當(dāng)一個y∈Z（R）*已知時，且deg（y）=1的條件滿足，R為reduced環(huán)，則A nn（y）=｛0，x｝，x作為Γ（R）的中心點，滿足x≠y，因為不難驗證x2=x，因此可以對R=R1⊕R2直和分解，在該等式中，R1=R x，R2=R（1-x），Γ（R）為無限星圖，則R為無限環(huán)。在Ri中，無限環(huán)至少有一個存在，其中i的數(shù)值為1或2。設(shè)|R1|=∞，|R2|-1≤1，可以得出：|R2|=2。對R1為整環(huán)的證明如下：

首先反向證明，設(shè)R1非整環(huán)，在該假設(shè)中Γ（R1）≠0，如果r∈Z（R1）*的條件滿足deg（r）≥2，則有2個不相等的點x、y存在，而Γ（R）的頂點集｛（x，0），（y，0）｝和｛（r，0），（r，1），（0，1）｝組成了K2，3，顯然與Γ（R）為星圖存在著矛盾，所以Γ（R1）應(yīng)沒有頂點度＞1的點存在，而且Γ（R1）為連通圖，則deg（r）=1不難證明，但是跟Γ（R1）為無限圖又有矛盾。

根據(jù)以上分析，無限整環(huán)D是存在的，且R≌Z2×D。

（2）反向證明R并非Artin環(huán)。設(shè)R是Artin環(huán)，若R為局部環(huán)，Z（R）=N（R）=｛0，x｝，Γ（R）為獨點集，這與已存在的集矛盾，所以R并非局部環(huán)。對比（1）可知，R≌Z2×D，D為無限整環(huán)，這跟R不是reduced環(huán)互相矛盾。

（3）證明char（R）=0，2，4。首先要使char（R）=n＞0。由于N（R）=｛0，x｝，因此2x=0，根據(jù)以上條件可以推斷出n為偶數(shù)，如果n為奇數(shù)，nx=0，2x=0，則得出x=0，這肯定不可能。所以n可以用以下等式表示：n=2ik，i≥1，k為奇數(shù)，根據(jù)已經(jīng)推斷出的n為偶數(shù)，則當(dāng)n＜6的情況下，其數(shù)值必定為2，4。

下面給出無限星圖對應(yīng)的無限交換環(huán)的例子：

例1.1令R1=Z［x］/（2x，x2），R2=Z2［x，｛yi|i∈Λ｝］/（x2，｛xyi|i∈Λ｝），R3=Z4［｛xi|i∈Λ｝］/（｛2xi|i∈Λ｝）。Λ為無限集。Γ（Ri）是一個無限星圖很容易驗證。

接下來討論雙星圖與交換環(huán)之間的對應(yīng)關(guān)系，首先給出一個引理：

引理1.1設(shè)R是交換環(huán)，x-o y-o z是Γ（R）中長為2的道路。若x-o y-o z不包含在Γ（R）的任何圈中，則R/A nn（y）≌Z2。

證明：對于任意的r∈R，反設(shè)ry≠0，y，若ry=x，則x-o y-o z-o x是Γ（R）中長為3的圈，若ry≠x，則x-o y-o z-o x是Γ（R）中長為4的圈，與已知矛盾。考慮正合列0→A nn（y）→R→R y→0，有R/A nn（y）≌R y，因此R/A nn（y）≌Z2。

定理1.3設(shè)R是交換環(huán)滿足Γ（R）是雙星圖，則R/A nn（y）≌Z2×Z4或者R/A nn（y）≌Z2×Z2［x］/（x2）。

證明：由于Γ（R）為雙星圖，所以有一條x-o y-o z-o w的道路存在，其長度為3，而Γ（R）內(nèi)不存在圈，因此x-o y-o z和x-o z-o w都處于任何一個圈之外。由引理1.1可得R/A nn（y）≌R y≌Z2，R/A nn（z）≌R z≌Z2，因此A nn（y）與A nn（z）都是R的理想值，易知A nn（y）≠A nn（z），因此R=A nn（y）+ A nn（z）。

令J=A nn（y）∩A nn（z），可知J≠｛0｝，而y-o z在任何一個圈之外，因此J?｛0，y，z｝，如兩者相等，可得y+z=0，即y與z互為倒數(shù)，因此A nn（y）=A nn（z），這與A nn（y）≠A nn（z）矛盾，因此J=｛0，y｝或者J=｛0，z｝。不妨設(shè)J=｛0，y｝，則y2=0，z2≠0，可以選擇z2。為證明z2=z，首先假設(shè)z2≠z，如果z2=y，則得出yw=0，形成y-o z-o w-o y的三角形，顯然不存在這種可能。所以z2≠y，同理可證z2≠w，而z2w=0=z2y，所以形成y-o z-o w-o z2-o y的四邊形，與已知的條件存在矛盾，所以該假設(shè)不成立，從而反向證明出z2=z。在這種情況下，直和分解R=R z⊕R（1-z），可以選擇R（1-z）。因為R/J≌R/A nn（y）×R/A nn（z），所以R/｛0，y｝≌Z2×Z2，且|R|=8。因為R（1-z）≌R/R z，得出|R（1-z）|=4，在基于同構(gòu)原則的交換環(huán)中，只有Z4、Z2［x］/（x2）、Z2×Z2的階為4，不難驗證當(dāng)R（1-z）≌Z2×Z2時，R≌Z2×Z2×Z2。此時Γ（R）不是雙星圖。因此R（1-z）≌Z4，或者R（1-z）≌Z2［x］/（x2）。此時，R同構(gòu)于Z2×Z4，或者Z2×Z2［x］/（x2）。

到目前為止已完全解決了無圈圖與交換環(huán)之間的對應(yīng)關(guān)系。

2　有圈圖對應(yīng)的交換環(huán)

由于零因子圖中有圈圖的種類繁多，因此它與交換環(huán)之間的對應(yīng)關(guān)系的研究也就比較復(fù)雜。在這部分主要討論完全圖帶一個角對應(yīng)的交換環(huán)的代數(shù)結(jié)構(gòu)。首先給出交換環(huán)上有圈的零因子圖的一個具體刻畫：

命題2.1設(shè)R是交換環(huán)滿足G=Γ（R）且K（G）≠0，則Γ（R）K（G）=｛x∈Z（R）*|A nn（x）=（0，y），其中y∈K（G）｝。在特別情況下，若Γ（R）K（G）≠0，則Γ（R）K（G）中的點都是離散的。

證明：令W=Γ（R）K（G）=｛x∈Z（R）*|A nn（x）=（0，y），其中y∈K（G）｝。易知對任意的x∈W，有deg（x）=1，故W∩K（G）=0，于是有W?Γ（R）K（G），下面證明Γ（R）K（G）?W：

首先證明對任意的x∈Γ（R）K（G），存在y∈K（G），使得xy=0。取x∈Γ（R）K（G），z∈K（G），有d（x，z）≤3。當(dāng)d（x，z）=1時，結(jié)論顯然成立。若d（x，z）=3，則存在x2，x3∈Z（R）*滿足x-o x2-o x3-o z是Γ（R）中長為3的道路，由定理1.3可知｛x2，x3｝∈K（G）。若d（x，z）=2，則存在x2∈Z（R）*滿足x-o x2-o z中長為2的道路，同理可知x2∈K（G），故對任意的x∈Γ（R）K（G），存在y∈K（G）使得xy=0，即x與y相連。因為x不屬于集合K（G），所以｛x，y｝不是K（G）的子集。不難證明｛0，y｝?A nn（x）?｛0，x，y｝，則x+y∈A nn（x）→x+y=0→x=-y→x∈K（G），這與x不屬于集合K（G）矛盾。故A nn（x）=｛0，y｝，這樣就證明了Γ（R）K（G）?W，綜上可得W=Γ（R）K（G）。

當(dāng)Γ（R）K（G）≠0時，由上述的證明可知Γ（R）K（G）中的點只與K（G）中的點相鄰，故Γ（R）K（G）中的點都是離散的。

由命題2.1的的證明思路，自然會想到這樣的一個問題：完全圖帶一簇端點集是否是交換環(huán)的零因子圖？下面將對這一問題進(jìn)行討論。

定義2.1完全圖帶一個角是指在完全圖中的某一個頂點上添加若干端點，頂點與端點之間相連接所構(gòu)成的圖，記為K n⊙T，其中T是與完全圖K n的一個項點相連的所有端點的集合。

顯然，當(dāng)n=1，2時，K n⊙T是星圖。只有當(dāng)n≥3時，K n⊙T才是有圈圖。由于已經(jīng)確定了與星圖對應(yīng)的有限交換環(huán)的代數(shù)結(jié)構(gòu)，因此僅需要對n≥3的情況進(jìn)行討論。

定理2.1設(shè)R是交換環(huán)滿足Z?=N（R）且Γ（R）=K n⊙T，則n=3，|T|≤4。

證明：顯然Γ（R）是星圖加細(xì)，不妨假設(shè)c是Γ（R）的中心。令I(lǐng)=V（K n）∪｛0｝，顯然c∈I，易知R c=｛0，c｝，故c2=0。下面要證明IT?｛0，c｝。

事實上，若IT不是｛0，c｝的子集，則存在b∈V（K n）｛c｝，以及t∈T，在這種情況下，bt不屬于集合｛0，c｝。易知bt∈V（K n），若bt=b，則1-t∈A nn（b）?A nn（c），再由ct=0可推出c=0，顯然這是不可能的。故bt≠b，因為b+bt≠0，b，bt，所以b+bt∈V（K n），而且b（b+bt）=0=b·bt，所以可以推斷出b2=0。根據(jù)以上分析，可以考慮選擇bt2，利用前面類似的證明可得bt2≠0，b，bt，若bt2=c，那么（bt）2=b（bt2）=0=（bt）t2，由此可推出t2∈A nn（bt）A nn（b）=0，這顯然也不可能。因此bt2≠0，c，b，bt，如果重復(fù)之前的討論，得出互不相等的一組數(shù)列：b，bt，bt2，…btm，…，這與已知Z（R）中所有元素都是冪零元矛盾。因此IT?｛0，c｝，下面反設(shè)n≥4，T≠0或者n=3，|T|＞4。

若n＞4，T≠0，則至少存在三個互不相同的頂點a，b，d∈V（K n），滿足等式成立條件ac=bc=dc=0。當(dāng)t∈T時，ct=0，at=bt=dt=c，所以t（a-b）=0=t（a-d），得出a-b，a-d∈A nn（t）｛0｝?｛t，c｝，由于a-b≠a-d，可以設(shè)a-b=t，a-d=c，而且t（b-d）=0，a-b≠a-d=c，因此b-d=t，d-b =c，這顯然是矛盾的。

若n=3，|T|＞4，不妨假設(shè)V（K n）=｛al，a2，c｝，并且至少存在5個互不相同的t1，t2，t3，t4，t5∈T，滿足a1ti=c=a2ti，其中1≤i≤5，故t1-ti∈［A nn（a1）∩A nn（a2）］｛0｝?｛a1，a2，c｝，其中2≤i≤5。顯然，對任意的i≠j，都有t1-ti≠t1-tj，這與｛t1-ti|2≤i≤5｝?｛a1，a2，c｝矛盾。

綜上所述，僅當(dāng)n=3，|T|＞4時，G=K n⊙T才是環(huán)的零因子圖。G為有限圖［10，11］，當(dāng)|T|=1，2或者3時，K3⊙T都沒有對應(yīng)的交換環(huán)。只有當(dāng)|T|=4時，K3⊙T才成為環(huán)的零因子圖，其有限局部環(huán)互不同構(gòu)：

Z2［x］/（x4），Z4［x］/（x2+2），Z4［x］/（x2+2x+2），Z4［x］/（x3-2，2x），Z16

為了讀者的理解方便，定理3.1中的圖結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1　圖K3⊙T，其中|T|=4Fig.1 Figure K 3⊙T，where|T|=4

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Research on Commutative Ring Determined by the Graph Structure

SHAN Jin-xin，WANG Rong-rong，WANG Cheng-m in
SchoolofScience/Jiangnan University，Wuxi214122，China

This paper discussed the corresponding relationship between the acyclic graph（isolated vertex，star graph，double star graph）and commutative ring，in terms of the algebraic structures and properties of commutative ring determ ined by the graph structure.Italso confirmed corresponding commutative ring'salgebraic structuresw ith isomorphism classification and characterized the graph structure of cyclic graph.The result showed thatonly when the condition was achieved，zero-divisor graph of algebraic ring could be determ ined.Hence，it established the theoretical and practical foundation for the complete graphwith an anglewhichwas corresponding to algebraic structuresof commutative ring.

Commutative ring；acyclic graph；algebraic structure

G633.62

A

1000-2324（2016）04-0600-04

2014-03-11

2014-03-22

國家自然科學(xué)基金：兩類碼的最優(yōu)性及組合編制研究（11471144）

單金炘（1989-），男，江蘇無錫人，碩士研究生.研究方向：組合設(shè)計理論、圖論等.E-mail：w cm@jiangnan.edu.cn