對(duì)教科書細(xì)節(jié)的研讀與思考例析
——以勾股定理為例

王傳利

（肇慶學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，廣東 肇慶　526061）

對(duì)教科書細(xì)節(jié)的研讀與思考例析
——以勾股定理為例

王傳利

（肇慶學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，廣東 肇慶526061）

以義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書（人教版）8年級(jí)下冊中“勾股定理”為例，以13個(gè)教學(xué)細(xì)節(jié)為切入點(diǎn)，說明如何研讀教科書.教師應(yīng)抓住關(guān)鍵性教學(xué)細(xì)節(jié)認(rèn)真研讀教科書：重點(diǎn)研讀特定教學(xué)內(nèi)容的核心提示語，明確教學(xué)的主要內(nèi)容，確定教學(xué)主題；整體解讀特定教學(xué)內(nèi)容，將之劃分為不同教學(xué)模塊，確定具體教學(xué)流程；仔細(xì)研究各教學(xué)模塊，基于教學(xué)點(diǎn)獲得關(guān)于特定教學(xué)內(nèi)容的學(xué)科教學(xué)知識(shí).

數(shù)學(xué)教科書；閱讀；數(shù)學(xué)思想方法；教學(xué)細(xì)節(jié)；教學(xué)點(diǎn)

教師在課堂教學(xué)中對(duì)每個(gè)細(xì)節(jié)的落實(shí)與把握，是在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中取得良好教學(xué)效果的根本保障，“教學(xué)細(xì)節(jié)”是一個(gè)應(yīng)該得到充分重視的教學(xué)要素［1］.教師只有認(rèn)真研讀教科書，將之讀懂、讀透，善于發(fā)掘教科書中易為人忽視的細(xì)節(jié)，才能取得良好的教學(xué)效果.教師認(rèn)真研讀教科書是正確使用教科書的前提和保證，是教師提高教學(xué)效果的基礎(chǔ).本文中，筆者以義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書（人教版）8年級(jí)下冊中“勾股定理”為例，解析教師應(yīng)如何研讀教科書.之所以選擇勾股定理為例，是因?yàn)楣垂啥ɡ碓跀?shù)學(xué)學(xué)科中具有典型性和代表性，有利于培養(yǎng)學(xué)生觀察、發(fā)現(xiàn)、分析、解決問題的能力，還有利于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)計(jì)算、論證、推理能力，正因?yàn)槿绱耍垂啥ɡ黹L期以來一直是教學(xué)與研究的熱點(diǎn)問題之一.

1　研讀教科書應(yīng)從教學(xué)細(xì)節(jié)入手

教學(xué)細(xì)節(jié)是構(gòu)成教學(xué)行為的最小單位，只有處于教學(xué)關(guān)節(jié)點(diǎn)、連接點(diǎn)上的教學(xué)行為，才具有推動(dòng)、激活、連接、延續(xù)教學(xué)過程的功能［2］50.教學(xué)活動(dòng)中直接影響教學(xué)目標(biāo)落實(shí)及教學(xué)流程合理化的舉足輕重的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，稱之為“關(guān)鍵性細(xì)節(jié)”［3］.教學(xué)細(xì)節(jié)包括某一特定教學(xué)內(nèi)容的每個(gè)教學(xué)要點(diǎn)（如數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)問題情境引入、問題串的設(shè)計(jì)、學(xué)生的已有知識(shí)、困惑以及試誤、例習(xí)題的精選等）［4］.這些教學(xué)點(diǎn)鏈接著教學(xué)過程的各個(gè)環(huán)節(jié)，有的蘊(yùn)含在某個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)里，有的則處于前后教學(xué)環(huán)節(jié)的銜接處.教師只有抓住教學(xué)中的細(xì)節(jié)，才能在課前完成對(duì)教學(xué)的預(yù)設(shè)，從而為在教學(xué)中實(shí)施并完成教學(xué)目標(biāo)打好基礎(chǔ).

課程標(biāo)準(zhǔn)與教材對(duì)教學(xué)具有一定的先天性預(yù)設(shè)，規(guī)定了教學(xué)所應(yīng)達(dá)成的培養(yǎng)目標(biāo)和基本要求，以及達(dá)成目標(biāo)的主要方式和途徑，而作為教學(xué)組織者的教師對(duì)此認(rèn)識(shí)的程度和內(nèi)化水平，決定著教學(xué)預(yù)設(shè)水平的高低［2］49.教師應(yīng)認(rèn)真研讀教科書，抓住教學(xué)細(xì)節(jié)仔細(xì)研究教科書中的特定教學(xué)內(nèi)容，對(duì)各教學(xué)點(diǎn)進(jìn)行認(rèn)真思考，制定相應(yīng)的教與學(xué)策略，從而獲取關(guān)于特定教學(xué)內(nèi)容的學(xué)科教學(xué)知識(shí).很多優(yōu)秀教師都具備這方面素養(yǎng)，他們總能敏銳地捕捉教學(xué)細(xì)節(jié)，對(duì)教科書編寫者的意圖、數(shù)學(xué)史的融入、數(shù)學(xué)思想方法的挖掘、問題串的設(shè)計(jì)及數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)有整體而全面的把握與認(rèn)知，從而能夠做到合理使用與改造教科書，完成對(duì)教科書的“二次開發(fā)”，踐行“用教材教”而非死板地“教教材”.

2　基于教學(xué)細(xì)節(jié)研讀數(shù)學(xué)教科書

精致教學(xué)理論認(rèn)為學(xué)習(xí)過程應(yīng)該先有整體概念藍(lán)圖，再逐一建構(gòu)內(nèi)容知識(shí)，其目的是使學(xué)習(xí)者在學(xué)習(xí)局部細(xì)節(jié)知識(shí)之前，先在腦中建立一個(gè)概念地圖，即對(duì)整個(gè)學(xué)習(xí)任務(wù)有個(gè)清晰的整體概念模型.當(dāng)教學(xué)目標(biāo)和需求確定后，應(yīng)選擇一項(xiàng)最簡單、最有代表性的教學(xué)內(nèi)容作為“綜述”層面的內(nèi)容，然后按照細(xì)節(jié)性、復(fù)雜性、具體性遞增的方式，逐級(jí)設(shè)置其他精致層面［5］.基于此，在研讀教科書時(shí)，教師應(yīng)遵循自上而下、從整體到部分的教學(xué)序列，明確研讀的目的和任務(wù)，帶著問題驅(qū)動(dòng)自己閱讀.首先，教師要找到教學(xué)的主要內(nèi)容，確定教學(xué)主題；其次，教師應(yīng)劃分教學(xué)模塊，確定教學(xué)流程；最后，教師應(yīng)基于教學(xué)細(xì)節(jié)認(rèn)真研讀教科書，獲得關(guān)于特定教學(xué)內(nèi)容教與學(xué)的策略.

2.1重點(diǎn)研讀，明確教學(xué)的主要內(nèi)容和教學(xué)主題

2.1.1研讀教科書時(shí)，應(yīng)先確定教學(xué)的主要內(nèi)容

教師在進(jìn)行特定教學(xué)內(nèi)容教學(xué)時(shí)，首先要明確教學(xué)的主要內(nèi)容.數(shù)學(xué)教學(xué)的主要內(nèi)容多是明確顯示在教科書上的，那就是特定教學(xué)內(nèi)容的核心提示語—數(shù)學(xué)概念、法則、定理、公式，一般以黑體字或加粗予以標(biāo)示，義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書則以藍(lán)色字體標(biāo)示.勾股定理一節(jié)的核心提示語——“命題1如果直角三角形的兩直角邊長分別為a，b，斜邊長為c，那么a2+b2=c2.”就是教與學(xué)的主要內(nèi)容.

2.1.2確定教學(xué)主題

數(shù)學(xué)教學(xué)是著重于傳授知識(shí)還是發(fā)展能力，在業(yè)界歷來存有爭議.按照新課程標(biāo)準(zhǔn)，教師在向?qū)W生傳授知識(shí)的同時(shí)，還要特別注重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)思想方法提出問題、觀察問題、分析問題和解決問題的能力，為此，教師需要認(rèn)真思考講授內(nèi)容以便確定教學(xué)主題.

具體到勾股定理的教學(xué)，一般有2種教學(xué)主題：一種是介紹勾股定理的數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)文化；一種是探究與發(fā)現(xiàn)勾股定理.前者基本上靠教師直接講解，后者則由教師引導(dǎo)學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)并得出結(jié)論.雖然教科書勾股定理一節(jié)中蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)史知識(shí)，新課改也強(qiáng)調(diào)適當(dāng)向?qū)W生介紹數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)文化，但教師應(yīng)分清主與輔且要講究方式方法，若只是對(duì)歷史信息的直接和簡單運(yùn)用，則僅屬于對(duì)數(shù)學(xué)史知識(shí)運(yùn)用的較低層次［6］.教師應(yīng)明確以后者為教學(xué)主題，因?yàn)槠淠茌^好地體現(xiàn)三維課程目標(biāo)，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)更為有益.

2.2整體研讀特定教學(xué)內(nèi)容，劃分教學(xué)模塊，確定教學(xué)流程

課堂教學(xué)中涉及3條思路：教師教的思路，學(xué)生學(xué)的思路和教材本身所固有的邏輯思路（即教學(xué)內(nèi)容中各知識(shí)點(diǎn)之間的本質(zhì)聯(lián)系）.優(yōu)秀執(zhí)教者能在一節(jié)課中成功地將3條思路融合為一，形成特定的主題線索［7］.通過研讀教科書，可以發(fā)現(xiàn)勾股定理一節(jié)具體可分為8個(gè)教學(xué)模塊（見表1）.據(jù)此可以初步確定本節(jié)課的教學(xué)流程：引入—探究—猜想—證明—應(yīng)用—小結(jié)，這是教科書提供給教師的一個(gè)基本教學(xué)框架（見圖1）.

對(duì)教科書上的幾大模塊進(jìn)行分析，可知其符合所確立的教學(xué)主題.如果勾股定理的教學(xué)重點(diǎn)放在發(fā)現(xiàn)、探究和證明該定理上，則所用時(shí)間會(huì)較長，且一節(jié)課很難較全面地介紹數(shù)學(xué)史知識(shí).本節(jié)課應(yīng)分為2個(gè)課時(shí)：第1課時(shí)為勾股定理的探究、證明及簡單應(yīng)用（即教科書上的前4個(gè)模塊和模塊Ⅶ）；第2課時(shí)為勾股定理的應(yīng)用（即教科書上的后4個(gè)模塊）.

表1　勾股定理的教學(xué)模塊

圖1　勾股定理閱讀教科書流程圖

2.3仔細(xì)閱讀，基于教學(xué)細(xì)節(jié)獲得關(guān)于教與學(xué)的學(xué)科教學(xué)知識(shí)

在對(duì)教科書本身固有的邏輯思路分析透徹后，教師就應(yīng)該根據(jù)各教學(xué)模塊劃分的教學(xué)過程，思考其教的思路和學(xué)生學(xué)的思路.評(píng)價(jià)一節(jié)課的優(yōu)劣，首先要看教師教學(xué)的思路是否清晰，即教學(xué)流程是否科學(xué)、自然而得體.一般每節(jié)課思路和流程的形成至少要借助于2個(gè)關(guān)鍵性細(xì)節(jié)，關(guān)鍵性教學(xué)細(xì)節(jié)起著不可忽視的整合作用［8］，因此，教師在研讀教科書過程中要注意對(duì)教學(xué)細(xì)節(jié)的挖掘與思考.具體到勾股定理教學(xué)，教師需要思考如下13個(gè)教學(xué)細(xì)節(jié)（見表2）.

教學(xué)細(xì)節(jié)1～3屬于教學(xué)模塊Ⅰ，教學(xué)細(xì)節(jié)4～6屬于教學(xué)模塊Ⅱ，教學(xué)細(xì)節(jié)7～9屬于教學(xué)模塊Ⅳ，教學(xué)細(xì)節(jié)10與11屬于教學(xué)模塊Ⅵ，教學(xué)細(xì)節(jié)12與13屬于教學(xué)模塊Ⅰ，Ⅱ，Ⅳ，Ⅵ，Ⅶ，Ⅷ，而教學(xué)細(xì)節(jié)1，3，5，7，12，13又將各教學(xué)模塊串成一個(gè)整體.這13個(gè)教學(xué)細(xì)節(jié)將勾股定理的引入、探究、猜想、證明和應(yīng)用有機(jī)地聯(lián)結(jié)為一體，聚焦于以下3個(gè)問題.

表2　勾股定理的13個(gè)教學(xué)細(xì)節(jié)

2.3.1在勾股定理的教學(xué)中注意滲透數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)史

1）在教學(xué)中運(yùn)用所挖掘的數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行教學(xué).評(píng)價(jià)一堂數(shù)學(xué)課的教學(xué)質(zhì)量，首先要關(guān)注教師在教學(xué)過程中是否揭示出數(shù)學(xué)的本質(zhì)，讓學(xué)生體悟到數(shù)學(xué)思想方法.一堂數(shù)學(xué)課如果能使學(xué)生體會(huì)到其中的數(shù)學(xué)思想和方法，就屬于高品位的數(shù)學(xué)教學(xué)［9］88.教師不僅要通過研讀教科書挖掘其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，還要懂得如何在教學(xué)中使用和滲透數(shù)學(xué)思想方法.

教師根據(jù)核心提示語找到關(guān)鍵詞語，再研讀教學(xué)模塊即可確定特定教學(xué)內(nèi)容蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法.在勾股定理教學(xué)中，教師根據(jù)核心提示語“命題1”，找到關(guān)鍵詞語“直角三角形和a2，b2，c2”，再結(jié)合教學(xué)模塊Ⅱ，Ⅲ，Ⅶ，可以確定本節(jié)課蘊(yùn)含數(shù)形結(jié)合、特殊—一般—特殊、化歸、割補(bǔ)等數(shù)學(xué)思想［10-11］.在實(shí)施教學(xué)時(shí)，教師應(yīng)靈活使用這些數(shù)學(xué)思想方法：a.利用數(shù)形結(jié)合思想，借助以a，b，c為邊的正方形的面積可以探究和證明定理（拼一拼）；b.在形成定理的過程中，先由易于計(jì)算的特殊直角三角形獲得命題1，然后猜想對(duì)于一般直角三角形也有命題1，再應(yīng)用獲得的勾股定理，這是對(duì)“特殊—一般—特殊”數(shù)學(xué)思想的靈活應(yīng)用；c.在探究定理的過程中，利用割補(bǔ)法可求出斜放正方形的面積；d.在探求過程中，利用化歸思想，可將“求斜放正方形的面積問題”轉(zhuǎn)化為“求正放正方形和直角三角形的面積問題”；e.在小結(jié)環(huán)節(jié)，教師應(yīng)再次引導(dǎo)學(xué)生回顧本節(jié)課運(yùn)用了哪些數(shù)學(xué)思想方法.按照以上方法施教，學(xué)生就可以在教師引導(dǎo)下于觀察、探究、猜想、驗(yàn)證的教學(xué)過程中習(xí)得數(shù)學(xué)思想方法.

2）在教學(xué)中正確運(yùn)用勾股定理中的數(shù)學(xué)史知識(shí)進(jìn)行教學(xué).教科書中的教學(xué)模塊Ⅰ，Ⅳ，Ⅴ，Ⅶ和Ⅷ中均含有數(shù)學(xué)史知識(shí)，教學(xué)細(xì)節(jié)1，3，5，7，8和11則都涉及對(duì)數(shù)學(xué)史的思考.雖然勾股定理涉及的數(shù)學(xué)史知識(shí)十分豐富，但教師在實(shí)際教學(xué)中應(yīng)有選擇性地加以應(yīng)用.在課堂引入部分，可以考慮借助“畢達(dá)哥拉斯的地板磚”；在證明環(huán)節(jié)，則宜適當(dāng)引入趙爽弦圖、畢達(dá)哥拉斯證明或總統(tǒng)證明；在得到定理環(huán)節(jié)，可以適當(dāng)介紹“勾三股四弦五”的故事和百牛定理；至于勾股定理的發(fā)現(xiàn)與證明等相關(guān)數(shù)學(xué)史知識(shí)，教師可以讓學(xué)生在課下進(jìn)行收集與整理，專門開展勾股定理的主題匯報(bào)活動(dòng)，而這正是教科書教學(xué)模塊Ⅷ的目的所在.

2.3.2講好勾股定理的引入、探究和證明

教學(xué)模塊Ⅰ，Ⅱ，Ⅳ，Ⅴ，Ⅷ為勾股定理的引入、探究和證明環(huán)節(jié)，而教學(xué)細(xì)節(jié)1，3，5～9和11正是針對(duì)這幾個(gè)模塊教與學(xué)的思考.勾股定理的引入、探究和證明應(yīng)是一個(gè)一脈相承的有機(jī)整體，讓學(xué)生由畢達(dá)哥拉斯的發(fā)現(xiàn)想到如何進(jìn)行探究，由自主探究自然地得出勾股定理的過程及證明思路，這是數(shù)學(xué)教師的教學(xué)追求.

1）教學(xué)模塊Ⅰ有2點(diǎn)作用：一是通過數(shù)學(xué)史的引入，讓學(xué)生體悟到大數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)勾股定理的過程；二是可以為教學(xué)模塊Ⅱ提供探究思路.如果對(duì)模塊Ⅰ的這2點(diǎn)作用認(rèn)識(shí)不到位，教師就不能很好地引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和探究勾股定理，也就難以由此順利得出勾股定理的證明.勾股定理的引入、探究和證明，用到了正方形的面積和“勾股樹”知識(shí)（見圖2）.教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生以等腰直角三角形的3邊向外做3個(gè)正方形來解釋勾股樹，這正好與教科書中如下結(jié)論相吻合：“可以發(fā)現(xiàn)，以等腰直角三角形兩直角邊為邊長的小正方形的面積的和，等于以斜邊為邊長的正方形的面積.”

圖2　勾股樹

2）關(guān)于勾股定理的探究.在探究勾股定理環(huán)節(jié)中，教師需要做到如下幾點(diǎn)：

a.教師應(yīng)敢于放手讓學(xué)生嘗試直接用尺子度量直角三角形3條邊的長，由此得到命題1.通過對(duì)幾個(gè)直角三角形的測量學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)，由于得到的數(shù)據(jù)不總為整數(shù)，他們很難猜想歸納出命題1，這就迫使學(xué)生必須尋求新的探究方式.

b.為了解決測量3條邊所得數(shù)據(jù)不總為整數(shù)這個(gè)問題，學(xué)生必須正視教科書中畢達(dá)哥拉斯的發(fā)現(xiàn)，進(jìn)而需要借助勾股樹進(jìn)行探究.

c.教學(xué)模塊Ⅱ提供了網(wǎng)格線，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生將地板磚抽象成教科書中的網(wǎng)格線.先要去掉地板磚上的裝飾及每個(gè)正方形的對(duì)角線，得到大的方格線；繼而把大方格線縮小至網(wǎng)格線（每個(gè)小正方形的邊長設(shè)定為1，見圖3）.正確制作幾何畫板，借此形象地向?qū)W生演示網(wǎng)格線的形成過程，對(duì)教師是一個(gè)較大的挑戰(zhàn).

圖3　網(wǎng)格線的形成過程

弗賴登塔爾［9］82曾經(jīng)說過：“沒有一種數(shù)學(xué)思想如當(dāng)初剛被發(fā)現(xiàn)時(shí)那樣發(fā)表出來.一旦問題解決了，思考的程序便顛倒過來，把火熱的思考變成冰冷的美麗.”雖然教師無法追溯畢達(dá)哥拉斯的探究思路，但至少可以洞悉教科書編寫者的意圖.數(shù)學(xué)教師有責(zé)任并且要有能力引領(lǐng)學(xué)生親歷探究過程，同時(shí)要注意培養(yǎng)其動(dòng)手操作和類比遷移的能力.

d.正確引導(dǎo)學(xué)生利用網(wǎng)格線探究勾股定理.有了教學(xué)細(xì)節(jié)5的考慮，學(xué)生自然能聯(lián)想到利用網(wǎng)格線進(jìn)行探究.為了能將直角三角形放入網(wǎng)格線中，可借助畢達(dá)哥拉斯的發(fā)現(xiàn)，啟發(fā)學(xué)生將直角三角形的2條直角邊置放于整格部分，并且利用直角三角形的3條邊向外作3個(gè)正方形得到勾股樹（見圖4），之后探究3個(gè)正方形的面積關(guān)系即可.教師應(yīng)啟發(fā)學(xué)生思考為何正方形正放好求解而斜放不好求解，從而引導(dǎo)其將“斜”化歸為“正”；之后，進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生利用割補(bǔ)法計(jì)算斜放正方形面積并完成表格3.

圖4　割補(bǔ)法的使用和講解

表3　勾股定理探究表

表3的設(shè)計(jì)很重要，它向?qū)W生明示了研究方向，從畢達(dá)哥拉斯到學(xué)生的探究都是從面積關(guān)系入手考慮的，符合我們研讀教科書得到的關(guān)鍵詞語.相比顧泠沅［9］253的勾股定理教學(xué)設(shè)計(jì)，它省略了討論“2ab+1=c2”，直奔主題“a2+b2=c2”，這就是研讀教科書的益處.教科書中并沒有給出表3，教師只有認(rèn)真研讀教科書才能設(shè)計(jì)出合理的表格.

3）關(guān)于勾股定理的證明.教科書在教學(xué)模塊Ⅳ和Ⅷ分別給出了趙爽弦圖、畢達(dá)哥拉斯證法、弦圖的另一種證法及總統(tǒng)證法.教師需要靠其自身的教學(xué)智慧，選擇恰當(dāng)?shù)淖C法證明勾股定理.為此，教師必須讀透讀懂教科書，才能真正理解編寫者的意圖.

a.教科書在探究得出命題1后給出了利用趙爽弦圖證明勾股定理的方法，這使得探究和證明銜接不良，顯然不符合確定的教學(xué)主題.在實(shí)際教學(xué)中，許多教師認(rèn)為勾股定理的證明思路學(xué)生不易想到［12］，而且，從學(xué)生體驗(yàn)知識(shí)發(fā)現(xiàn)過程的角度看，要讓學(xué)生循著前人的思考路徑“再發(fā)現(xiàn)”勾股定理是不現(xiàn)實(shí)的［13］.根據(jù)教學(xué)細(xì)節(jié)4～6的思考，在學(xué)生經(jīng)過探究后可順利得出如圖5的勾股定理證明過程.基于以上原因，教師應(yīng)在探究得出命題1后先采用“拼一拼”的證法，之后，再采用趙爽弦圖的證法比較好.

圖5　拼一拼

b.學(xué)生對(duì)“拼一拼”從嚴(yán)格意義上講是否算一種證法存在困惑.教師可結(jié)合數(shù)學(xué)史知識(shí)選擇教學(xué)模塊Ⅳ中的趙爽弦圖，或者選擇教學(xué)模塊Ⅷ中弦圖的另一種證法及畢達(dá)哥拉斯證法，延續(xù)探究思路向?qū)W生說明，古代數(shù)學(xué)家包括畢達(dá)哥拉斯都是通過“拼一拼”的方式證明勾股定理的.

c.學(xué)生有可能提出用尺子測量的方法不能得出勾股定理，但可利用幾何畫板通過度量任意直角三角形的3條邊，當(dāng)3條邊的邊長為小數(shù)時(shí)，仍有“a2+b2=c2”成立.教師在充分肯定學(xué)生想法的同時(shí)，要明確告知學(xué)生：實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)只能增加結(jié)論的可靠性，特殊實(shí)例永遠(yuǎn)代替不了一般規(guī)律，命題1只有通過嚴(yán)格論證才能稱之為定理.

d.教師應(yīng)具備動(dòng)態(tài)的知識(shí)觀和教學(xué)觀.根據(jù)關(guān)鍵詞語可以悟出：從畢達(dá)哥拉斯的發(fā)現(xiàn)到勾股定理的探究再到勾股定理的證明，都是借助于“面積相等——以直角三角形3條邊為邊長的3個(gè)正方形的面積關(guān)系”，因此，不管采用何種證法都要以此為基礎(chǔ).模塊Ⅷ中的總統(tǒng)證法實(shí)際上也是“拼一拼”的證法，可是其在教科書中是以靜態(tài)形式呈現(xiàn)的，需要教師認(rèn)真去讀去悟，動(dòng)態(tài)地生成教與學(xué)的策略.

勾股定理的證明方法據(jù)說超過400種，大致可歸結(jié)為2類：一類是代數(shù)法——通過嚴(yán)格的演繹方法證明定理；一類是幾何法—通過“拼一拼”的方法證明定理.趙爽弦圖是幾何法的典型代表，歐幾里得證法是代數(shù)法的典型代表.歐幾里得證法雖然是用全等三角形證明勾股定理，但對(duì)學(xué)生來講太復(fù)雜，教師不宜在課堂上講授此方法.教師若能多關(guān)注、多思索勾股定理證明中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)文化，則其能聯(lián)想到的證明方法會(huì)更多，在授課中所滲透的數(shù)學(xué)文化會(huì)更精彩，其引導(dǎo)的教學(xué)過程也會(huì)更具內(nèi)涵，這對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)無疑是助益良多的［14］.

2.3.3對(duì)教學(xué)模塊Ⅵ中勾股定理的應(yīng)用探究3的思考

教學(xué)細(xì)節(jié)11可引發(fā)教師一系列的思考：義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書（人教版）分別在平方根、立方根2節(jié)中各安排了1道例題說明無限不循環(huán)小數(shù)，當(dāng)時(shí)并沒有點(diǎn)出無理數(shù)的概念；無理數(shù)一節(jié)僅讓學(xué)生在數(shù)軸上畫出，卻沒有要求往下畫；勾股定理一節(jié)為何給出在數(shù)軸上的畫法？平方根、立方根、無理數(shù)、勾股定理的先后順序能否打亂？教師若能認(rèn)真研讀不同版本的教科書和相關(guān)的教研論文，再注意考慮勾股定理與三角形的全等與相似、正余弦定理、射影定理、切割線定理及三角函數(shù)等前后知識(shí)之間的聯(lián)系，認(rèn)真揣摩編寫者的教育理念和編寫意圖，就可以從中獲得許多特定教學(xué)內(nèi)容的學(xué)科教學(xué)知識(shí).

3　結(jié)語

教科書、學(xué)生、教師是構(gòu)成課堂教學(xué)過程的3個(gè)空間因素，教師研讀教科書時(shí)應(yīng)體悟出3種思路：教師教的思路、學(xué)生學(xué)的思路、教科書本身固有的邏輯思路.教師要抓住關(guān)鍵性教學(xué)細(xì)節(jié)，從學(xué)生的立場出發(fā)，重新對(duì)教科書進(jìn)行整合與編碼，合理地選擇、優(yōu)化和創(chuàng)新教學(xué)內(nèi)容，實(shí)現(xiàn)從忠實(shí)到調(diào)適再到創(chuàng)新教科書.教師對(duì)教科書的深度解讀與合理設(shè)計(jì)，為學(xué)生的數(shù)學(xué)思考構(gòu)造了一條思維的綠色通道［14］，可以使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)的理解更加全面、清晰、通透［14］.研讀教科書是為了更好地獲取特定教學(xué)內(nèi)容的學(xué)科教學(xué)知識(shí)，每位教師都應(yīng)下功夫?qū)炭茣钛屑?xì)讀，這是提高教學(xué)效果毋庸置疑的基礎(chǔ)與前提.

本文所說的教科書是狹義的教材，是指教師和學(xué)生在課堂教學(xué)中所用的課本，而說教材是教師之間交流的重要平臺(tái)，是傳統(tǒng)說課中重要但又不受重視的環(huán)節(jié)，也是我們今后研究的方向.

［1］張愛軍，張順清.教學(xué)細(xì)節(jié)范疇倫：概念、本質(zhì)與特征［J］.中小學(xué)教師培訓(xùn)，2011（5）：37-39.

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［13］朱哲.中美兩國數(shù)學(xué)教科書中的“勾股定理”比較——以北師大版《數(shù)學(xué)》和美國《發(fā)現(xiàn)幾何》為例［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2009，48（2）：1-4.

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Reading Up and Thinking of the Details of Textbooks——Take the Pythagorean Theorem as an Example

WANG Chuanli
（School of Mathematics and Statistics，Zhaoqing University，Zhaoqing，Guangdong 526061，China）

ractIn this paper，we select"Pythagorean theorem"in the standard experimental textbook for grade eight of the compulsory education curriculum as an example and explain how to read textbooks from 13 teaching details.Teachers should be teaching and reading textbooks based on students'learning by grasping this crucial details，focus on reading the core of the specific teaching content to determine the main content of the teaching and the teaching theme；overall reading specific teaching content to divide the teaching module，determine the teaching process（teaching link design）；carefully reading the teaching module，obtain Pedagogical Content Knowledge of specific teaching content knowledge.

ordsmathematical textbook；reading；mathematical thinking method；teaching details；teaching points

O174.52

A

1009-8445（2016）02-0022-08

（責(zé)任編輯：陳靜）

2015-12-01

廣東省教育科學(xué)研究基金資助項(xiàng)目（2013JK179）；肇慶教育發(fā)展研究院教育研究重點(diǎn)課題資助項(xiàng)目（ZQJYY201513）

王傳利（1975-），男，山東鄒城人，肇慶學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院講師，碩士.