閉正則模糊擬陣的一類基交換性質(zhì)

李 堯 龍

(渭南師范學院 商學院，陜西 渭南 714099)

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【自然科學基礎理論研究】

閉正則模糊擬陣的一類基交換性質(zhì)

李 堯 龍

(渭南師范學院 商學院，陜西 渭南 714099)

研究了閉正則模糊擬陣的一類基交換性質(zhì)，得到了閉正則模糊擬陣的基交換性質(zhì)的一些刻畫。研究了閉正則模糊擬陣的限制、對偶和并等基有序性質(zhì)，得到了閉正則模糊擬陣的基公理的等價刻畫，舉例說明了此類閉正則模糊擬陣的基交換性質(zhì)。

模糊擬陣；閉正則模糊擬陣；基交換性質(zhì)

0　引言

1988年,Goetschel和Voxman提出了模糊擬陣理論。此后，他們定義了模糊擬陣的秩函數(shù)、模糊擬陣的基和極小圈等概念，研究了模糊擬陣的對偶、和與積等結構，得到了模糊擬陣的貪心算法等許多深刻的性質(zhì)[1-4]，從而初步建立了模糊擬陣的理論體系。我國學者也在模糊擬陣方面有深入研究[5-10]。我們知道，在一般的矩陣理論和擬陣理論研究中，基及其性質(zhì)對刻畫矩陣和擬陣有十分重要的作用，并且矩陣和擬陣的許多基礎性質(zhì)也都是由基來刻畫的，另外擬陣也可以用基集來等價地定義。在模糊擬陣的研究過程中，閉正則模糊擬陣是一類很重要的模糊擬陣，有著非常好的性質(zhì)，如任意閉正則模糊擬陣的基的基數(shù)相等，并且用閉正則模糊擬陣來刻畫貪心算法。本文結合文獻[7]得到了閉正則模糊擬陣的一類基交換性質(zhì)，得到了閉正則模糊擬陣的基交換性質(zhì)的若干刻畫。研究了閉正則模糊擬陣的基有序性質(zhì)，并舉例說明了閉正則模糊擬陣基交換性質(zhì)。這些結果豐富了模糊擬陣的性質(zhì)。

1　預備知識

定義1[11]設E是有限集，I為E的非空子集族，它滿足如下條件：

(1)A∈I且B?A,則B∈I，

(2)A,B∈I且|A|< |B|(|A|表示A的勢)，則有C∈I使得A?C?A∪B，

則稱偶對M=(E,I)為E上的一個擬陣，I中的元素稱為M的獨立集，M的極大獨立集稱為M的基，M的所有基的集合記為β(M)。

設E是有限集,μ:E→[0,1]是一映射,則稱μ為E上的一個模糊集。用F(E)表示E上的所有模糊集組成的集族。

定義2[1]設E是有限集，I?F(E)為E上的非空模糊子集族，它滿足如下條件：

(1)?μ∈I,ν∈F(E)，若ν<μ,則ν∈I，

則稱偶對M=(E,I)為E上的一個模糊擬陣，M中的元素稱為M的模糊獨立集，M的極大模糊獨立集稱為M的模糊基，M的所有模糊基的集合記為β(M)。

定理1設M=(E,I)是一個模糊擬陣,則有有限序列 0=r0

(1) 當0rn時,Is=?，

(2) ?s,t∈(ri-1,ri],有 Is=It(i=1,2,…,n)，

(3) 若0≤s≤t≤1,則It?Is，

(4) 若ri-1

稱0=r0

本文沿用文獻[1-4,7]的術語和記號,未加說明或定義的概念,請參閱文獻[1-4,7]。

2　閉正則模糊擬陣的基交換性質(zhì)

基交換性質(zhì)是擬陣理論中很重要的性質(zhì)之一，許多深刻的結論都由基交換性質(zhì)得到。在模糊擬陣的研究中,關于閉正則模糊擬陣,有如下的基交換定理。

定義3設M=(E,I)為閉正則模糊擬陣,μ為M的基，ξ,ξ′為兩個模糊集。若ξ≤μ且(μζ)∨ξ′為M的基，則稱序對ξ,ξ′為一個μ-交換。

推論1設M=(E,I)是一閉正則模糊擬陣,μ,μ′為M的基，ξ,ξ′為兩個模糊集。設ξ,ξ′為μ-交換，ξ′,ξ為μ′-交換，則ξ,ξ′可表示為

令

由文獻[4]定理 2.4,(E,I)是一個模糊擬陣。

由I的定義知(E,I)的基為

由于(E,I)是閉的且所有基的基數(shù)相等,所以(E,I)是閉正則模糊擬陣。對于(E,I)中任意的基μ，(E,I)都滿足μ-交換。

3　閉正則模糊擬陣的基有序性質(zhì)

基有序性質(zhì)是擬陣理論中一個很有趣的性質(zhì),不是所有的擬陣都滿足基有序性質(zhì)[12-13]。以下在閉正則模糊擬陣中研究基有序性質(zhì)。

定理5設M=(E,I)是一基有序的閉正則模糊擬陣,T?E。若M|T=(E,I|r)是閉正則模糊擬陣，則M|T是基有序的。

證明設ξ,ξ′為M|T的兩個基，則存在M的兩個基μ,μ′使得μ|T=ξ,μ′|T=ξ′，由M是基有序的，則存在π∶μ→μ′為μ與μ′的交換序。顯然π|T∶ξ→ξ′為π在T上的約束，當然也是ξ，ξ′的一個交換序。故M|T是基有序的。

定理6設M=(E,I)是一閉正則模糊擬陣，M*=(E,I*)為其對偶模糊擬陣。若M是基有序的，則對偶模糊擬陣M*是基有序的。

則π*是μ1,μ2的一個交換序。

定理7設M1=(E,I1)與M2=(E,I2)是閉正則模糊擬陣,若M1,M2是基有序的，則M1與M2的并是基有序的。

證明(分兩種情況證明)設M是M1與M2的并。

(1)若M沒有反環(huán)

(2)若M有反環(huán)

則易知π是μ1,μ2的一個交換序。

以下給出基交換性質(zhì)的一個例子。

令I=↓Β={μ∈F(E)|μ≤ν，ν∈Β}。容易驗證,Β={μi|i=1,2,…,12}為(E,I)中的基集族,故(E,I)為模糊擬陣。又?μi∈Β,|μi|=|μj|(i≠j)，故(E,I)為閉正則模糊擬陣。容易驗證(E,I)是滿足μi-交換的(i=1,2,…，m)。由定理7，其對偶擬陣也是基有序的。

注1基有序性質(zhì)是擬陣理論中一類基交換性質(zhì)。但是滿足基有序性質(zhì)的擬陣要求比較苛刻,許多擬陣并不滿足基有序性質(zhì)。在閉正則模糊擬陣中,我們研究了閉正則模糊擬陣的一類子擬陣,對偶擬陣和兩個基有序模糊擬陣的和是基有序的。之所以能夠得到這樣好的結果,關鍵在于模糊擬陣的閉正則性。

注2在閉正則模糊擬陣中,基有序擬陣的子擬陣未必是基有序的,因為一個閉正則模糊擬陣的子擬陣未必是閉正則的,而一般的模糊擬陣可能沒有基,更談不上基有序性質(zhì)。

[1]R.Goetschel,W.Voxman.Fuzzymatroids[J].Fuzzysetsandsystems,1988,(27):291-302.

[2]R.Goetschel,W.Voxman.Baseoffuzzymatroids[J].Fuzzysetsandsystems,1989,(31):253-261.

[3]R.Goetschel,W.Voxman.Fuzzycircuits[J].Fuzzysetsandsystems,1989,(32):35-43.

[4]R.Goetschel,W.Voxman.Fuzzymatroidstructures[J].Fuzzysetsandsystems,1991,(41):343-357.

[5] 吳德垠.閉正規(guī)模糊擬陣的模糊基集特征[J].重慶大學學報，1996，19(3)：30-35.

[6] 李堯龍.偏序集廣義擬陣的閉包公理[J].東北師范大學學報，2008，41(1)：16-19.

[7]Yao-LongLi,Guo-JunZhang,Ling-XiaLu.Axiomsforbasesofclosedregularfuzzymatroids[J].Fuzzysetsandsystems,2010,161(12):1711-1725.

[8] 李堯龍.推廣的模糊橫貫理論[J].模糊系統(tǒng)與數(shù)學，2015，(1)：65-70.

[9] 劉桂真，陳慶華.擬陣[M].長沙：國防科技大學出版社，2004.

[10] 陳娟娟，吳德垠，夏軍.準模糊圖擬陣的子擬陣[J].西南大學學報(自然科學版)，2014，(8):5-9.

[11] 李堯龍.模糊橫貫的若干性質(zhì)[J].西南師范大學學報(自然科學版)，2013,38(9)：8-12.

[12] J.Oxley.Matroid Theory[M].New York:Oxford University Press,1992.

[13] 賴虹建.擬陣論[M].北京：高等教育出版社，2002.

【責任編輯牛懷崗】

Some Properties on Basis Exchange Axioms of Closed Regular Fuzzy Matroids

LI Yao-long

(School of Business,Weinan Normal University,Weinan 714099,China)

The basis exchange axioms of some closed regular fuzzy matroids are introduced. Some properties of basis exchange axioms of closed regular fuzzy matroid are studied. Characteristic theorems of basis exchange axioms of closed regular fuzzy matroids are presented. Finally,examples of basis exchange axioms are presented.

fuzzy matroid; closed regular fuzzy matroid; basis exchange axioms

O157.1

A

1009-5128(2016)12-0009-05

2016-03-14

陜西省自然科學基礎研究計劃項目：擬陣的模糊化與模糊擬陣的優(yōu)化算法研究(2014JM1026)；渭南師范學院特色學科建設項目：數(shù)學方法在秦東經(jīng)濟社會發(fā)展中的應用(14TSXK02)；渭南師范學院科研基金項目：模糊擬陣與偏序集擬陣中若干問題的研究(13YKS005)

李堯龍(1970—),男,陜西渭南人,渭南師范學院商學院教授,理學博士，主要從事模糊擬陣理論研究。