基于傅里葉級數的多環反饋開關電流小波濾波器實現

李目，吳笑鋒，席在芳，何怡剛

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基于傅里葉級數的多環反饋開關電流小波濾波器實現

李目1，吳笑鋒1，席在芳1，何怡剛2

(1. 湖南科技大學 信息與電氣工程學院，湖南 湘潭，411201；2. 合肥工業大學 電氣與自動化工程學院，安徽 合肥，230009)

提出一種基于傅里葉級數的多環反饋結構開關電流小波濾波器設計新方法。利用傅里葉級數法求取小波函數的時域小波逼近函數，以雙輸入多輸出開關電流雙線性積分器和單輸入多輸出電流鏡作為基本單元設計相應的多環反饋結構小波濾波器，并通過調節開關電流濾波器的時鐘頻率獲得不同尺度小波函數。對所設計的電路進行時域、頻域和靈敏度分析，并研究元件非理想性對電路的影響。研究結果表明：該方法的小波逼近函數求取容易，濾波器電路具有設計簡單、靈敏度低和受非理想性因素影響小的特點。

小波函數；傅里葉級數；函數逼近；開關電流濾波器；多環反饋結構

小波變換作為一種良好的時頻分析工具被廣泛地應用于工程領域的信號處理，它是分析非平穩隨機時變信號最有效的數學工具之一。由于傳統的連續小波變換通常采用數字電路結合軟件實現，難以滿足低壓、低功耗、實時和微型化的應用要求，因此，連續小波變換的模擬電路的實現成為國內外模擬信號處理領域研究的熱點。目前，采用模擬電路實現連續小波變換方法主要有時域法和頻域法。時域法是根據連續小波變換定義設計小波函數發生器、乘法器和積分器實現。由于設計產生不同尺度和位移小波簇的小波函數發生器難度很大，所以，采用時域法實現連續小波變換的研究進展緩慢，頻域法成為當前的主要方法。在頻域上，連續小波變換可看成是不同尺度且品質因數恒定的帶通濾波器組對信號進行濾波處理，因此，設計多尺度的小波濾波器成為模擬硬件實現連續小波變換的關鍵技術。迄今為止，國內外學者提出了多種模擬濾波器實現連續小波變換的方法。其中，濾波器的類型主要包括連續時間濾波器[1?9]和抽樣數據濾波 器[10?15]。由于抽樣數據濾波器的時間常數可通過調節時鐘頻率或元件參數比來達到精確控制，濾波器的頻率特性容易改變，因此，采用抽樣數據濾波器電路實現連續小波變換方法得到了研究者們的廣泛關注。例如，LIN等[10]提出了基于并聯結構開關電容濾波器的連續小波變換實現方法，通過調節濾波器中的時鐘頻率精確實現不同尺度小波函數，但開關電容電路中需要線性浮置電容，該結構與數字VLSI CMOS工藝不兼容，難于集成化。此外，隨著集成工藝的發展，電源電壓越來越低，直接減小電路上的最大電壓擺幅，致使電壓模開關電容電路的動態范圍會隨之減小，特別是低壓高速的運算放大器設計困難。為了解決開關電容電路面臨的問題，基于電流模開關電流技術的小波濾波器實現成為當前的重要研究方向。其中，胡沁春等[11]提出了基于Padé頻域逼近的串聯結構開關電流濾波器實現連續小波變換方法，但Padé逼近法中分子和分母多項式次數難于確定且不能保證獲得的系統是穩定的。趙文山等[12]利用最小二乘法逼近時域小波函數，采用并聯結構開關電流濾波器設計實現連續小波變換，但最小二乘法屬于局部優化算法，使該算法收斂至最優的初始值難以選擇；LI等[13?15]采用智能優化算法逼近時域小波函數，但該算法的參數設置復雜，迭代次數多，運行時間長。另外，串、并聯結構小波濾波器電路較復雜，且通帶靈敏度高。針對上述方法的不足，本文作者提出一種基于傅里葉級數的多環反饋開關電流小波濾波器設計新方法。利用傅里葉級數逼近法求取時域小波逼近函數，并采用開關電流雙線性積分器和電流鏡電路作為基本單元設計出沖激響應為小波逼近函數的多環反饋小波濾波器，通過調節濾波器的時鐘頻率獲得不同尺度小波函數。通過仿真實驗結果驗證該方法的有效性。

1 小波函數的傅里葉級數逼近

傅里葉級數逼近屬于一種正交函數逼近法。周期函數()的傅氏級數展開式為

其中：a為()的傅氏級數展開的系數。由式(1)可知：()為周期函數，用它無法直接逼近1個可實現的時限脈沖響應函數()(如小波函數)。為了能夠應用傅里葉級數逼近該類型函數，可沿時間軸重復()產生1個周期為的周期信號h()，且將式(1)中無限項截斷成只包含2+1項的傅氏級數展開式及頻域表達式：

為了保留h()在0＜＜時的部分，將h()?()經過1個差分系統[16]：

則

式中：“*”表示卷積。由式(4)可知：該函數不是有理函數，不能直接通過電路綜合實現。為了利用傅氏級數逼近算法，對被研究函數進行處理。假設()為時限函數，即對于＜0和＞，構造2個周期函數h1()和h2()：

且

根據函數h1()和h2()的對稱性，在2周期內將它們展開成傅里葉級數，h1()只包含奇次諧波，h2()只包含偶次諧波?，F構造函數和，分別定義為

將式(7)代入式(8)并整理后得

將式(7)和式(9)代入式(4)可求得()為

()經拉普拉斯反變換后即可獲得()。

()，h1()和h2()的波形如圖1所示。