Banach空間中分層不動點的 黏性連續型廣義逼近格式的收斂性

王元恒,　謝　飛

(浙江師范大學 數理與信息工程學院,浙江 金華　321004)

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Banach空間中分層不動點的 黏性連續型廣義逼近格式的收斂性

王元恒,謝飛

(浙江師范大學 數理與信息工程學院,浙江 金華321004)

主要在更廣泛的自反Banach空間中給出一種求非擴張映像T的分層不動點的新的黏性隱形連續型廣義逼近迭代算法,并在一定條件下證明了這種迭代程序強收斂于T的一個分層不動點,同時此點也是一個在優化理論中有著重要應用的廣義變分不等式的解.其結果推廣和改進了一些近代已有的結果.

非擴張映像;變分不等式解;分層不動點;黏性逼近;強收斂性

0　引　言

設E為賦范線性空間,映射T:E→E.若

則稱T為非擴張映像.用Fix(T)表示T的不動點集，即Fix(T)={x∈E:Tx=x}.

對于映射f:E→E,若存在一個常數α∈(0,1)和?x,y∈E,使得

則稱f在E上是壓縮的.用ΠE表示E上的所有壓縮映像集族,即ΠE={f:f在E上壓縮}.

非擴張映射的一個經典研究方法就是用壓縮映射不動點逼近非擴張映射不動點[1-3],更確切地,給出t∈(0,1),并定義一個壓縮映射Tt:E→E,有

其中,u∈E為一個給定的點.Banach壓縮映射原理能保證Tt在E中有唯一不動點xt.文獻[2]將文獻[1]的結論推廣到Banach空間,并證明了:若E是一致光滑Banach空間,則xt強收斂到T的不動點x*,t→0.文獻[3]證明了文獻[2]的結論在含有一個弱連續對偶映射的自反Banach空間中仍然成立.

(1)

一個經典的優化問題就是關于實Hilbert空間上非擴張映射不動點集的二次極小化問題

(2)

式(2)中:C是H上非擴張映射T的不動點集;b是H內給定的一個點.文獻[6]給出了下面迭代法中定義的序列{xn}:

(3)

式(3)中,x0∈H給定.在{αn}滿足一定的條件下,文獻[6]還證明了此序列 {xn} 強收斂到極小化問題(2)的唯一解.

近年來,許多學者[7-13]利用黏性逼近法對廣義非擴張映射的不動點和變分不等式的解進行了統一聯合研究.文獻[14]對非擴張映射引進了下面黏性迭代序列{xn}:

(4)

式(4)中:f是H上壓縮映射;任意選定x0∈H,序列{σn}?(0,1).在{σn} 滿足一定合適條件下,文獻[14]證明了由式(4)生成的序列{xn}強收斂到變分不等式

的唯一解x*.

結合迭代法(3)和(4),文獻[15]考慮并證明了下面一般迭代法:

(5)

在系數{αn}滿足適當條件時,由式(5)生成的序列{xn}強收斂到下面變分不等式的唯一解:

這也正是最小化問題

的最優化條件解,其中h是γf的勢(即h′(x)=γf(x),?x∈H).

文獻[16]介紹了用下面的混合迭代法解變分不等式:

(6)

式(6)中:F是一個k-Lipschitzian和η-強單調算子;k>0;η>0;0<μ<2η/k2.若λn滿足適當條件,文獻[16]還證明了由式(6)生成的序列{xn}強收斂到下面變分不等式的唯一解:

特別地，文獻[17]在Hilbert空間中考慮了下面較一般的迭代法:

(7)

在序列{αn}的系數滿足適當條件下,文獻[17]還證明了由式(7)生成的序列{xn}強收斂到下面變分不等式的唯一解x*∈C:

其中,C=Fix(T)為分層不動點集.最近,文獻[18]將文獻[17]的結果由Hilbert空間推廣到Banach空間,并給出了更廣泛的分層不動點迭代序列及其收斂性定理.

受到上述結果的啟發,本文給出Banach空間E上的一種更加廣泛的黏性隱式連續型廣義迭代逼近格式

(8)

其中:φ:[0,∞)→[0,∞)是度規函數;Jφ是Banach空間E上的φ正規對偶映射.

顯然,若E是Hilbert空間且φ是恒等函數,則Jφ是E上的恒等映射,于是這里的Banach空間上的分層不動點問題就變成了過去Hilbert空間上的分層不動點問題;若f(x)=u,?x∈E為常值算子,則這里的黏性問題就變成了一般壓縮型迭代問題;若F是恒等算子,則這里的關于F的廣義變分不等式就變成了過去的一般變分不等式;若取t=αn→0,n→∞,則這里的連續型迭代格式xt就變成了一般序列形式的迭代格式xn.所以,本文結果在一定意義上改進和推廣了許多已有的近代結果[1-18].

1　預備知識

本文總假設E是一個自反Banach空間,E*是E的對偶空間.用xn?x表示序列xn弱收斂到x;xn→x表示xn強收斂到x.

度規函數φ:[0,∞)→[0,∞),是指當t→∞時,φ為嚴格連續增函數,且φ(0)=0和φ(t)→∞,t→∞.關于度規函數φ的對偶映射Jφ:E→2E*定義如下:

顯然,若取φ(t)=t,則對偶映射Jφ=J即為通常的正規對偶映射;空間lp(1

則

其中,? 表示凸分析中Φ(t)的次微分.

引理1[5]假設{an}是一個非負實數序列,滿足

其中序列{αn}?(0,1)和序列{bn}滿足:

引理2[19]假設Banach空間E含有一個弱連續對偶映射Jφ,其中φ是度規函數,則有下述結論:

1)對所有x,y∈E,以下不等式成立:

特別地,對所有x,y∈E,有

2)若E上的序列{xn}弱收斂到點x∈E,則下列等式成立:

引理3[20]設K是Banach空間E上閉凸子集,T:K→K是非擴張映射且Fix(T)≠?.若序列{xn}在K上弱收斂到x且(I-T)xn強收斂到y,則(I-T)x=y.

容易證明下述引理:

引理4設E是Banach空間,f:E→E是壓縮映射.其中:系數α滿足0<α<1;F:E→E是k-Lipschitzian算子和η-強單調算子,且

其中:k>0;η>0.則對于0<γ<μη/α,

即μF-γf是具有系數μη-γα的強單調算子.

定義1設Banach空間E有一個弱連續對偶映射Jφ,φ是度規函數,I是E恒等映射,F:E→E是k-Lipschitzian算子.若存在一個常數τ>0,有下面的性質:

(9)

‖αI-βμF‖=sup‖x‖≤1|〈(αI-βμF)x,Jφ(x)〉|,α∈[0,1],β∈[-1,-1],

則稱F為(關于φ的具有系數τ的)強正定增生算子.顯然,若E=H是實Hilbert空間,則不等式(9)即是式(1).下面的引理在本文主要結論證明中可應用到:

引理5假設Banach空間E有一個弱連續對偶映射Jφ,其中φ是度規函數,F:E→E是k-Lipschitzian和τ強正定增生算子.若常數ρ:0<ρ<φ(1)‖μF‖-1,則‖I-ρμF‖≤φ(1)(1-ρτ).

即I-ρμF是正的.所以由式(9)得

‖I-ρμF‖=sup{〈(I-ρμF)x,Jφ(x)〉:x∈E,‖x‖=1}=

sup{φ(1)-ρ〈μFx,Jφ(x)〉:x∈E,‖x‖=1}≤φ(1)-ρτφ(1)=φ(1)(1-ρτ).

引理5證畢.

2　主要結果

下面總假設Banach空間E有一個弱連續對偶映射Jφ,φ是度規函數,且在[0,1]上是不變的,即φ([0,1])?[0,1].T是E上的非擴張映射,Fix(T):={x∈E:Tx=x}≠?.F在E上是k-Lipschitzian且η-強正定增生算子,k>0,η>0.f在E上是一個壓縮自映射:?x,y∈E,‖f(x)-f(y)‖≤α‖x-y‖,α∈[0,1)是一個常數.

給定f∈ΠE,0<α<1.設t∈(0,1),0<μ<2η/k2,0<γ<μφ(1)(η-μk2/2)/α:=τφ(1)/α,將E上的映射St定義為

則對?t∈(0,1),St是壓縮映射.事實上,

‖Stx-Sty‖≤tγ‖f(x)-f(y)‖+‖(I-μtF)Tx-(I-μtF)Ty‖≤

tγα‖x-y‖+‖I-tμF‖‖Tx-Ty‖≤tγα‖x-y‖+φ(1)(1-tτ)‖x-y‖≤

[1-t(φ(1)τ-γα)]‖x-y‖,

(10)

所以,由Banach壓縮映射原理知,St在E上存在唯一不動點xt,使得式(8)成立.這正是連續型迭代格式(8)的由來.

顯然,這樣的Banach空間E是存在的,例如lp(1

(11)

證明證明過程將分為 5 步.

(12)

且

(13)

將式(12)和式(13)相加,得

而對任意的x,y∈E,有

〈(μF-γf)x-(μF-γf)y,Jφ(x-y)〉=

〈μF(x-y),Jφ(x-y)〉-γ〈f(x)-f(y),Jφ(x-y)〉≥τφ(‖x-y‖)-γαφ(‖x-y‖)=

(τ-γα)φ(‖x-y‖)≥(τφ(1)-γα)φ(‖x-y‖)≥0,

所以必有

第2步證明式(8)中的xt是有界的.取p∈Fix(T),則可以得到

‖xt-p‖=‖tγf(xt)+(I-tμF)Txt-p‖=‖(I-μFt)Txt-(I-tμF)p+t(γf(xt)-μF(p))‖≤

φ(1)(1-tτ)‖xt-p‖+t(γα‖xt-p‖+‖γf(p)-μF(p)‖),

從而

所以{xt}是有界的,從而{f(xt)}和{μFT(xt)}也是有界的.

第3步令Ww={w∈E:?tn→0, s.t.xtn?w},則?w∈Ww,Tw=w.

由式(8)知

由Banach空間E的自反性和序列{xt}的有界性知,Ww≠?.對?w∈Ww,存在{xt}的子序列{xtn}弱收斂到w∈E,n→∞,tn→0.因為Jφ是弱序列連續的,所以可由引理2得到:對所有x∈E,

令

則

因為當n→0時,

所以

(14)

另一方面,

(15)

由式(14)和式(15)得

從而得Φ(‖T(w)-w‖)=0,Tw=w.

第4步證明當n→∞時,xtn→w.

于是,由引理1得

Φ(‖xtn-w‖)=Φ((I-tnμF)Txtn-(I-tnμF)w+tn(γf(xtn)-μF(w)))=

Φ(‖(I-tnμF)Txtn-(I-tnμF)w‖)+tn〈γf(xtn)-μF(w),Jφ(xtn-w)〉≤

Φ(φ(1)(1-tnτ)‖xtn-w‖)+tnγ〈f(xtn)-f(w),Jφ(xtn-w)〉+

tn〈γf(w)-μF(w),Jφ(xtn-w)〉≤

φ(1)(1-tnτ)Φ(‖xtn-w‖)+tnγ‖f(xtn)-f(w)‖‖Jφ(xtn-w)‖+

tn〈γf(w)-μF(w),Jφ(xtn-w)〉≤

φ(1)(1-tnτ)Φ(‖xtn-w‖)+tnγα‖xtn-w‖‖Jφ(xtn-w)‖+

tn〈γf(w)-μF(w),Jφ(xtn-w)〉=

φ(1)(1-tnτ)Φ(‖xtn-w‖)+tnγαΦ(‖xtn-w‖)+tn〈γf(w)-μF(w),Jφ(xtn-w)〉=

(1-tn(τφ(1)-γα))Φ(‖xtn-w‖)+tn〈γf(w)-μF(w),Jφ(xtn-w)〉.

移項合并得

(16)

由xtn?w和Jφ的弱連續性知式(16)的右端趨向于0.于是Φ(‖xtn-w‖)→0,n→∞.所以,當n→∞時,xtn→w.

第5步最后證明w是變分不等式(11)的解.

對?z∈Fix(T),有

〈(I-T)xt-(I-T)z,Jφ(xt-z)〉=〈xt-z,Jφ(xt-z)〉+〈Txt-Tz,Jφ(xt-z)〉=

Φ(‖xt-z‖)-〈Tz-Txt,Jφ(xt-z)〉≥Φ(‖xt-z‖)-‖Tz-Txt‖‖Jφ(xt-z)‖≥

Φ(‖xt-z‖)-‖z-xt‖‖Jφ(xt-z)‖=Φ(‖xt-z‖)-Φ(‖xt-z‖)=0.

由式(8)可以推出

(17)

注意到xtn-Txtn→w-T(w)=w-w=0,現在用tn替換式(17)中的t,并令n→∞,就有

3　結束語

定理1的結果,在比一致凸更廣泛的自反Banach空間中,把正規對偶映射J推廣到度規函數對偶映射Jφ;把離散型迭代序列推廣成連續型迭代格式.從定理1的證明過程可以看出,其證明的思想方法也具有創新性,先證明一個集合中的每個元素都是變分不等式(13)的解,再由解的唯一性說明這個集合就是單點集,也即說明了黏性隱式廣義連續型迭代格式(8)的強收斂性.所以,本文的結果在一定意義上從許多方面改進和推廣了許多已有的近代結果(如文獻[1-18]).

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(責任編輯陶立方)

The convergence for a generalized viscosity implicit iteration to approximatea hierarchical fixed point of nonexpansive mappings in Banach spaces

WANG Yuanheng,XIE Fei

(CollegeofMathematics,PhysicsandInformationEngineering,ZhejiangNormalUniversity,Jinhua321004,China)

A generalized viscosity implicit continuous iterative method was introduced to approximate a hierarchical fixed point of nonexpansive mappings, which was also a solution of a variational inequality in Banach spaces. Under certain approximate assumptions of the operators and coefficients, the strong convergence for the generalized iteration was obtained by some certain techniques in Bananch spaces. The results extended and improved many recent results announced by other authors.

nonexpansive mapping; solution of variational inequality; hierarchical fixed point; viscosity iterative approximating; strong convergence

10.16218/j.issn.1001-5051.2016.03.002

收文日期：2016-02-20；2016-03-13

國家自然科學基金資助項目(11271330);浙江省自然科學基金資助項目(LY14A010011)

王元恒(1961-),男，河南南陽人，教授.研究方向：非線性泛函分析.

O177.91

A

1001-5051(2016)03-0246-07