應變軟化圓形隧道圍巖的逐步量綱一化應力分析方法

蔣武軍，鄒金鋒

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應變軟化圓形隧道圍巖的逐步量綱一化應力分析方法

蔣武軍1，鄒金鋒2

(1. 湖南省高速公路管理局，湖南 長沙，410001；2. 中南大學 土木工程學院，湖南 長沙，410075)

基于線性Mohr?Coulomb強度準則，采用量綱一化分析方法，改進應變軟化圍巖應力位移求解的逐步應力分析法。通過將軟化圍巖塑性區分為有限個圓環，對每個圓環求解其應力和應變增量，得到軟化圍巖應力和位移解。利用現有的理論解驗證該方法的正確性和可靠性。通過數值計算和參數分析，揭示部分參數對圍巖應力和位移的影響規律。研究結果表明：當圓環數量=500時，逐步量綱一化應力解與精確解吻合度較高；塑性區隨臨界塑性應變偏差增大而減小，當增加到某一定值時，圍巖內部不存在殘余區；塑性半徑及圍巖位移隨著的減小而不斷增大，當為0時，軟化圍巖近似于脆性狀態。

應變軟化；逐步應力法；Mohr?Coulomb強度準則；圓形隧道

在均質巖土圓孔隧道開挖過程中，對圍巖的應力與應變進行研究是解決巖土工程問題的基礎。由于在開挖過程中位移變化取決于應力路徑，一般采用非線性方法求出可靠的解，而在目前研究中，彈塑性分析方法被廣泛使用[1?2]，此前研究者普遍采用Mohr?Coulomb(M?C)強度準則對巖土體的彈塑性進行分析。然而，大多數巖石類材料的強度包絡線是非線性的。在非線性準則中，HOEK等[3]提出的強度準則由于提供了可靠的工具預測巖體節理強度而被廣泛認同，隨后，HOEK?BROWN強度準則發展為廣義形 式[4]，其中強度參數不再是常數，其取值從良好狀態巖體的0.5到較差狀態巖體的0.6，并被廣泛應用。WANG等[5?8]對圓孔隧道開挖時的應力和變形彈塑性進行分析發現：理論分析方面，主要是基于理想彈塑、彈?脆性力學模型計算非關聯流動法則下圍巖應力、變形彈塑性解析表達式。許淵等[9]推導出考慮軸向力和滲透力共同作用下的彈?脆?塑性圍巖的應力和位移非線性解。王水林等[10]通過將巖體應變軟化過程簡化為一系列脆塑性過程，基于經典彈塑性力學理論，提出了應變軟化過程模擬方法及其相應的有限元求解過程。從國內外的研究特點可以看出，應變軟化分析主要采用理論分析和數值模擬方法，理論分析可以在本質上反映應變軟化狀態，但在計算時參數大多是近似估算的，數值解比理論解有所降低，同時計算過程較復雜。為此，本文作者在以上理論分析的基礎上，基于M?C強度準則，引入量綱一化方法進行精確求解，排除變量、參數在量綱上的影響，以期為軟化圍巖隧道的開挖設計與施工提供理論支持。

1 問題定義

圖1所示為在無限均質巖體中開挖半徑為的圓孔隧道，初始地應力0在開挖之前均布在隧道周圍。當內在支撐力i低于臨界值ic時，隧道周圍會產生塑性破壞。對于彈脆塑或者理想彈塑性情況，可以推導出塑性區半徑表達式[11?12]。若考慮應變軟化情況，則可根據圖1中的s處邊界面將塑性區分為軟化區和殘余區，對這種情況一般無法求出閉合形式的解，同時塑性區和軟化區的半徑、應力分布和位移只能通過數值解進行估算。

圖1 開孔過程中塑性區形成圖

1.1 屈服函數

對于M?C屈服準則，有

1.2 塑性勢函數

選用M?C準則作為塑性勢函數，故塑性勢函數可以表示為

1.3 強度參數演化

其中：代表剪脹角、黏聚力及內摩擦角中的任意1個；為臨界塑性應變偏差即殘余區初始值，可通過實驗得到；下標p和r分別表示材料參數的峰值和殘余值。

1.4 臨界支撐力

只有當內在支撐力i低于臨界值ic時，圓孔周圍塑性區才會形成。對于M?C準則巖土體，ic為

后，在彈塑性邊界面上(見圖1)，徑向應力R等于ic，且R獨立于半徑，

2 應變軟化近似值

2.1 預處理

假設塑性區被分成個圓環，塑性半徑為p。第個圓環在半徑分別為和之間，如圖2所示。在彈塑性邊界上，應力和應變分別為：

圖2 塑性區分環圖

2.2 應力和彈性應變增量

本文采用一種新的量綱一化計算方法，將圓形隧道簡化為軸對稱模型，將開挖過程中應變軟化圍巖中塑性區按應力分成有限個滿足平衡方程和幾何相容方程的同心圓環，基于M?C強度準則，求解每環的平衡方程和相容方程得到應力應變增量，從而得出軟化區應力和徑向位移解。用量綱一化變量將物理平面 (，)轉化成以為坐標系的單位面(其中，為半徑，為塑性區半徑與隧道半徑比值)，變換式為[6, 13]：

轉化的塑性區在單位半徑的圓內，由變換式定義的空間被稱為單位面。在單位平面上，彈塑性交界面被固定在=1處，而孔壁位于=1/處[14?15]。

對于M?C強度準則，根據式(2)和式(3)，令

內壓力和外壓力分別轉化為

屈服條件改寫為

根據CARRANZA-TORRES[4]提出的量綱一化方法，在變量的單位平面上，將式(14)或式(15)進行量綱一處理：

根據BROWN等[1]提出的方法，將軟化區應力分成份，同時注意到塑性區從外部邊界=p處的b到內部邊界=處的i，應力增量可以轉化為

故第個圓環應力可以近似求解為

式(19)中假設每一環應力增量為常量，而每一環的實際厚度取決于平衡方程。若足夠大，則相應的環向應力為

2.3 位移近似解

上述方法將應力分成份，當足夠大時，假設每一環巖體參數不變，根據量綱一化平衡方程可以表示為

第環的應力平衡方程可以近似為

而量綱一化的應變為

塑性區總應變是由彈性部分和塑性區部分組成，可以寫成下列形式[16?17]：

相容方程又可以表示為

根據胡克定律，在平面應變條件下應變與應力的關系為

結合式(23)，(27)和(28)，可知

則第個圓環的總應力為

由于

其中：u為徑向位移；為量綱一化徑向位移。故量綱一化環向應變計量綱一化位移為：

將上述計算方法重復次求出結果，則塑性區半徑為

3 算例驗證

3.1 理論解可靠性驗證

選取SHARAN[8]得出的應力與位移精確解進行對比，同時采用HOEK?BROWN(H?B)和M?C強度參數轉換技術，對同一種巖體參數的理論解進行對比。參照SHARAN[8]的精確解參數，設定相同的輸入參數：隧道半徑=5 m，初始地應力0=30 MPa，圍巖支護力i=5 MPa，圍巖彈性模量=5 GPa，圍巖泊松比=0.25，圍巖單軸抗壓強度峰值和殘余值cp=cr=30 MPa，采用H?B強度參數與M?C強度參數進行轉換的技術[13, 18]，獲得的M?C強度參數p=2.146 78 MPa，p=26.364 5°，r=01.724 92 MPa，p=22.497 7°。基于M?C準則解的結果如圖3和圖4所示。

圖3 量綱一化彈脆塑應力與精確應力轉化解對比

圖4 量綱一化彈脆塑位移與精確位移轉化解對比

從圖3可以看出：基于M?C強度準則解的應力分布情況符合軟化分布規律，塑性區的徑向和環向應力分布解均與精確解較吻合；當=0時，圍巖為彈脆塑材料，由于不存在圍巖軟化區，在塑性區和彈性區交界面上，環向應力存在突變。圖4所示為基于M?C強度準則的量綱一化彈?脆?塑位移與精確位移對比結果。從圖4可以看出：基于M?C強度準則方法求得的位移比精確解略小，整體上誤差滿足要求。從計算效率看，本文量綱一化逐步應力法的計算時間為0.003 562 s，SHARAN[8]的計算時間為0.000 024 s。雖然本文計算效率比SHARAN[8]的計算效率低，但在本文計算中，由于兩者計算時間都極短，本文的逐步應變方法考慮了圍巖軟化過程，故具有一定的理論 意義。

在應變軟化特性分析中，為求得應力和位移，只對計算結果有較大影響的參數進行分析。選取分別為0，0.004，0.008，0.012和100，并選取100對M?C強度準則的解進行分析。其中=0時代表彈脆塑狀態，=100時可以近似認為彈塑性狀態，其他值代表軟化狀態。參照文獻[4]設置計算參數：隧道半徑=2 m，初始地應力0=15 MPa，圍巖支護力i=25 MPa，圍巖彈性模量=5.7 GPa，圍巖泊松比=0.3，圍巖單軸抗壓強度峰值和殘余值cp=cr=30 MPa，采用H?B強度參數與M?C強度參數進行轉換的技術，獲得的M?C強度參數p=1.781 46 MPa，p=26.869°，r=1.070 76 MPa，p=21.110 5°，計算結果如圖5和圖6所示。

圖5 徑向和環向應力隨變化分布

圖6 量綱一化位移隨變化分布

4 結論

1) 本文解的應力分布情況符合軟化分布規律，塑性區的徑向和環向應力及位移分布與精確解較吻合，證明了本文逐步應力量綱一化解的正確性和有效性。

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(編輯 陳燦華)

Dimensionless analysis of stress numerical stepwiseprocedure in strain-softening rock mass

JIANG Wujun1, ZOU Jinfeng2

(1. Hunan Provincial Expressway Administration Bureau of Hunan Province, Changsha 410001, China;2. School of Civil Engineering, Central South University, Changsha 410075, China)

Based on generalized Mohr?Coulomb failure criterion, an improved numerical method and stepwise procedure for the stress and displacement analysis of a circular opening excavated in a strain-softening rock mass were proposed by using the dimensionless analysis method. By deviding the plastic region of strain-softening rocks into finite annuli and calculating the stress and strain increments, the stress and displacement in the plastic region were obtained. The stress and displacement increments of the annulus were obtained through the stress equilibrium and compatibility equation of the annulus, and the stress and displacement of strain-softening region were obtained. The validity and reliability of the proposed solution were confirmed by the existing theoretical solution. The influence of partial parameters on the stress and displacement was revealed by numerical calculation and parameter analysis. The results show that the dimensionless solution is in agreement with the exact solution when the number of the annulus is enough. The plastic region decreases with the increase of the critical plastic strain deviation, and the plastic residual area vanishes when the critical plastic strain deviation increases to a certain definite value. The plastic radius and displacement increase with the decrease of the critical plastic strain deviation. The softened region turns into brittle when the softening control parameter is equal to zero.

strain-softening; numerical stepwise stress procedure; Mohr?Coulomb failure criterion; circular tunnel

10.11817/j.issn.1672-7207.2016.08.040

TU921

A

1672?7207(2016)08?2842?06

2016?01?11；

2016?03?03

國家自然科學基金資助項目(51208523)(Project (51208523) supported by the National Natural Science Foundation of China)

鄒金鋒，博士，副教授，從事巖土與地下工程的研究；E-mail：zoujinfeng_csu@163.com