一種改進(jìn)的輔助函數(shù)法及其對(duì)近似長水波方程的求解

邱　春

(四川建筑職業(yè)技術(shù)學(xué)院土木工程系，四川德陽618000)

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一種改進(jìn)的輔助函數(shù)法及其對(duì)近似長水波方程的求解

邱春

(四川建筑職業(yè)技術(shù)學(xué)院土木工程系，四川德陽618000)

提出一種求解非線性演化方程的改進(jìn)的輔助函數(shù)法，根據(jù)不同的參數(shù)可給出不同形式的精確解，從而有助于探索非線性方程的新解.用此方法求解了近似長水波方程，得到了其多組精確解.

改進(jìn)的輔助函數(shù)法；輔助方程；近似長水波方程

非線性演化方程在物理學(xué)等領(lǐng)域有著重要的作用，而這些方程的準(zhǔn)確求解可以幫助我們更好的理解其動(dòng)力學(xué)特征，因而尋找非線性演化方程的精確解尤為重要，近年來涌現(xiàn)出一系列求解方法，如：齊次平衡法，[1]Jacobi橢圓函數(shù)展開法,[2]sine-cose方法,[3]雙曲函數(shù)展開法,[4]輔助方程法,[5]使用這些方法，人們獲得了非線性演化方程大量精確解.本文提出了一種改進(jìn)的輔助方程法，并用之求解了近似長水波方程，結(jié)果表明該方法是方便是有效的.

1　方法介紹

設(shè)非線性演化方程一般形式為

(1)

式中f是其參數(shù)的多項(xiàng)式函數(shù)，引入行波變換

(2)

c為待定波常數(shù)

將(2)式代入(1)式得到關(guān)于U,U',U''...的常微分方程

(3)

式中“U'”表示導(dǎo)數(shù)dU/dξ.

設(shè)方程 (3) 的解為如下形式

(4)

其中ai，bi為待定常數(shù)，n由(3)中U的最高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)與非線性項(xiàng)平衡來確定, F(ξ) 及G(ξ)為輔助函數(shù)，且滿足如下微分方程組

(5)

且滿足

(6)

(7)

2　近似長水波方程的求解

考慮如下形式的長水波方程[7]

(8)

引入行波變換

(9)

式中c待定波速常數(shù)，將(9)式代入(8)式，經(jīng)過簡單變形有

(10)

將(10)式中兩方程關(guān)于ξ積分一次得到下式

(11)

式中C1，C2為積分常數(shù)

平衡方程(11)第一式中u'和v， 第二式中v'和uv可知m=1，n=2, 于是方程(11)有如下形式的解.

(12A)

(12B)

將以上4組解的系數(shù)代入式(12A)及(12B)，并結(jié)合F和G表達(dá)式可得出近似長水波方程(8)式對(duì)應(yīng)的精確解

說明：

1)以上各種情況下的解必須滿足對(duì)應(yīng)的系數(shù)約束條件

3　結(jié)論

本文采用一種改進(jìn)的輔助微分方程法求解了近似長水波方程，得到其多組精確行波解，包含部分新解，這些解有助于我們更好的理解波的傳播機(jī)理，因而有著重要的應(yīng)用價(jià)值；此方法簡單易行，具有一定的普遍性，也可用于探索其它非線性方程的新解.

[1] Fan E G, Zhang H Q.NewexactsolutionstoasystemofcoupledKdvequations[J]. Phys Lett A, 1998(5):389-392.

[2] Liu S K, Fu Z T, Liu S D, Zhang Q et al.Jacobiellipticfunctionexpansionmethodandperiodicwavesolutionsofnonlinearwaveequations[J]. Phys Lett A,2001(1):69-74.

[3] Yan C T.Asimpletransformationfornonlinearwaves[J]. Phys Lett A, 1996(1):77-84.

[4] Fan E G.Extendtanh-functionmethodanditsapplicationstononlinearequations[J].Phys Lett A, 2000(4-5):212-218.

[5] Fan E G.Anewalgebraicmethodforfindingthelinesolitonsolutionsanddoublyperiodicwavesolutiontoatwo-dimensionalperturbedKdvequation[J]. Chaos Solitons Fractals, 2003(3):567-574.

[6]劉式適，劉式達(dá). 物理學(xué)中的非線性方程[M]. 北京：北京大學(xué)出版社, 2001:47-56.

[責(zé)任編輯范藻]

An Improved Auxiliary Function Method and Its Applications for the Approximate Long Water Wave Equations

QIU Chun

( Civil Engineering School of Sichuan College of Architecture Technology, Deyang Sichuan 618000, China)

In this paper, we present a new improved auxiliary method and use it to investigate the approximate long water wave equations; as a result, more explicit solutions according to some parameters are obtained, some of which are new.

improved auxiliary function method; auxiliary equation; the approximate long water wave equations

2016-04-15

德陽市重點(diǎn)科學(xué)技術(shù)研究項(xiàng)目(2014ZZ095-3)

邱春(1976—)，男，江蘇徐州人.工程師，博士，主要從事工程水力學(xué)及非線性方程研究.

O175

A

1674-5248(2016)05-0013-04