基于Backstepping的嚴格反饋極值搜索系統控制器設計

張　雷，胡云安，張　楊，王佩飛

（海軍航空工程學院a.控制工程系；b.研究生管理大隊，山東煙臺264001）

基于Backstepping的嚴格反饋極值搜索系統控制器設計

張雷a，胡云安a，張楊a，王佩飛b

（海軍航空工程學院a.控制工程系；b.研究生管理大隊，山東煙臺264001）

針對一類含不確定參數的嚴格反饋型極值搜索系統的控制問題，將極值搜索方法和反演（Backstepping）控制方法相結合，設計出系統狀態的極值參考軌跡，利用Backstepping控制方法逐步遞推選取適當的Lyapunov函數設計控制器和不確定參數自適應估計律，實現目標函數的極值搜索。仿真表明所提出控制器設計方法的有效性。

嚴格反饋；不確定參數；極值搜索系統；自適應估計律

實際控制系統中，系統的參考輸出量與輸入量之間通常可以構成某種未知的參考軌跡，這種參考軌跡關系意味著在參考輸入的作用下，系統的輸出軌跡中存在一個全局最優輸出值（極大值或者極小值）［1-2］。面對實際的極值搜索被控對象，有時很難準確而完整地掌握和分析它結構和機理，這不可避免地導致了系統模型建立的不夠準確；同時，考慮到系統參數可能存在的不確定性等因素影響，最終導致研究人員很難準確地知曉系統的參考軌跡形式并實現未知參考軌跡的尋優［3-4］。長期以來，人們為了能夠找到實現未知參考軌跡尋優的方法進行了不斷的探索。這些尋優方法被統稱為最優化方法，或者優化方法，已發展比較成熟的方法如粒子群方法［5-6］、遺傳方法［7］、模擬退火方法［8］等方法都具有較好的搜索效果，但這些方法都是從數值計算的角度去解決尋優問題，且要求系統的參考軌跡是已知或至少部分已知的。如何從控制的角度采用適當的控制方法，在實際系統的參考軌跡不能確定的情況下，仍能夠使得系統的輸出量自適應地收斂并穩定于輸出量的全局最優輸出值，從而使控制過程中期望的控制目標最優化，這是控制界學者一直致力于解決的一類問題，而極值搜索方法首次從控制的角度解決了未知參考軌跡的尋優問題［9］。文獻［10］針對一類含不確定參數的極值搜索系統的控制問題，設計最優控制器，使目標函數沿期望狀態軌跡收斂至其對應的函數極值。文獻［11］針對多變量參數不確定極值搜索系統進行了控制器設計，保證了系統的穩定性。

20世紀90年代初，Kanellakopoulos［12］首次提出了反演（Backstepping）控制方法，在逐步遞推的設計過程中引入虛擬控制量的概念，并基于Lyapunov穩定性理論給出了控制器的設計過程。對于嚴格反饋非線性系統而言，自適應Backstepping［13］能夠在參數未知的情況下得到很強的穩定性結論，而魯棒自適應backstepping控制則能夠處理模型中存在不確定項和外部干擾的情況。對于確定的嚴格反饋非線性系統，利用傳統的Backstepping控制器便可得到全局漸近穩定的結論，Yao等［14-15］將自適應技術與Backstepping控制方法相結合，解決了具有參數不確定性的嚴格反饋非線性系統的控制問題，Wang［16］，Zhang［17］，Polycarpou［18］等分別利用神經網絡對系統中的未知非線性函數進行估計，解決了含有未知函數的嚴格反饋非線性系統的控制問題，以上文獻都為本文Backstepping控制器設計提供了參考。

本文針對一類含不確定參數的嚴格反饋型單輸入極值搜索系統的極值搜索問題，將極值搜索方法和Backstepping控制方法相結合，設計出能使目標函數搜索到極值的極值參考軌跡；利用Backstepping控制方法，逐步遞推選取適當的Lyapunov函數進行控制器設計。仿真表明了所設計的不確定參數自適應估計律能實現本文的控制目標。

1　問題描述

考慮如下形式的一類含不確定參數的嚴格反饋型單輸入極值搜索系統：

假設1：目標函數y=J（x1，θ）存在唯一極值點，且對應的系統狀態量滿足：

本文將設計自適應估計律對不確定參數θ進行估計，對式（3）進行微分可得：

由式（4）可得狀態量x1的參考軌跡x1，d應滿足

式中，kd∈?+為設計常數。

將式（5）代入式（4）可得

由式（3）可得Ves≥0成立且僅在時存在Ves=0。由式（4）可得極值參考軌跡x1，d如式（5）所示時成立且僅在時存在。當狀態量x1將沿著極值參考軌跡x1，d向著使的方向趨近時，最終可達到對應的極值點處，此時目標函數取得極值。

控制目標：目標函數搜索到其對應的極值處，閉環系統中的所有信號有界。

目標函數搜索其對應極值的過程即是狀態量準確跟蹤極值參考軌跡且不確定參數量被準確估計的過程。

假設2：極值參考軌跡 x1，d及其高階導數為有界光滑函數。

假設3：存在常數 T0、μ0＞0對于函數向量存在

2　基于Backstepping的控制器設計

采用Backstepping技術對預設性能控制器進行設計，不確定參數θ的估計誤差為，通過自適應方法對不確定參數進行估計。以n=3為例，控制系統原理框圖如圖1所示。

第1步：考慮系統（1）中的第1個子系統，設不確定參數θ的估計誤差為，構造Lyapunov函數，對V1求一階導數可得：

針對式（8）設計x2的虛擬軌跡：

式中，k1＞0為設計參數。

由式（8）、（9）可得：

式中，z2=x2-x2，d。

當x2能夠準確跟蹤x2，d時，即z2趨近于0。

圖1　當n=3時控制系統原理框圖Fig.1 Block diagram of control system forn=3

第2步：考慮系統（1）中的第2個子系統

針對式（12）設計x3的虛擬軌跡

式中，k2＞0為設計參數。

定義z3=x3-x3，d，由式（12）、（13）可得：

第3步：考慮系統（1）中的第3個子系統

針對式（16）設計x4的虛擬軌跡

式中，k3＞0為設計參數。

定義z4=x4-x4，d，由式（15）、（16）可得

針對式（20）設計xi+1的虛擬軌跡

式中，ki＞0為設計參數。

定義zi+1=xi+1-xi+1，d，由式（19）、（20）可得：

參考式（23），設計實際控制量和參數估計律分別為：

式（24）、（25）中：kn＞0為設計參數；。

將參考Backstepping方法設計的控制輸入量式（24）和自適應估計律式（25）代入式（23）可得：

定理1：考慮系統（1）所描述的一類參數不確定嚴格反饋非線性系統，在假設1～4成立的前提下，采用極值參考軌跡如式（5）所示，虛擬控制器設計如式（21）、（22）所示，實際控制輸入量如式（24）所示，自適應估計律如式（25）所示，可以得到如下結論：

1）目標函數J（x1，θ）搜索到其對應的極值處；

2）系統（1）是漸進穩定的且閉環系統中的所有信號有界。

需要特別強調的是，對于極值參考軌跡x1，d設計中的關于目標函數的導數和計算過程中所用到的虛擬控制量導數，采用解析法進行求解。

3　仿真分析

針對如下對象進行仿真分析，數學模型如下：

式（27）中：x1、x2為系統狀態變量；θ=1為不確定參數；為目標函數，具有全局極大值

參考式（5）設計狀態量x1的極值參考軌跡x1，d為：

采用本節所設計的Backstepping控制方法進行仿真分析，系統的狀態變量初始值分別為，參數估計初始值為，極值參考軌跡 x1，d初始值為。控制器參數：g=2， kd=1，k1=2，k2=4。仿真結果如圖2～8所示。

圖2　目標函數J（x1，θ）仿真圖Fig.2 Simulation result of objective functionJ（x1，θ）

圖3　不確定參數估計值仿真圖Fig.3 Simulation result of uncertain parameter estimated value

圖4　狀態變量x1和極值參考軌跡x1，d仿真圖Fig.4 Simulation result of state variablex1and extremum reference trajectoryx1，d

圖5　狀態變量x1跟蹤誤差z1Fig.5 Simulation result of state variablex1tracking errorz1

圖6　狀態變量x2和參考軌跡x2，d仿真圖Fig.6 Simulation result of state variablex2and reference trajectoryx2，d

圖7　狀態變量x2跟蹤誤差z2Fig.7 Simulation result of state variablex2tracking errorz2

圖8　控制輸入量u仿真圖Fig.8 Simulation result of control inputu

由圖2可知：設計的極值參考軌跡x1，d有效，目標函數能夠準確收斂至全局極大值處；由圖3可知：設計的估計律能夠準確估計不確定參數；由圖4、5可知：狀態量x1能夠準確跟蹤極值參考軌跡x1，d最終收斂至處；由圖6、7可知：狀態量x2能夠準確跟蹤極值參考軌跡x2，d；由圖8可知：控制輸入量u有界。通過仿真分析可知：本文設計的Backstepping控制方法可以實現控制目標且效果較好。

4　結論

本文針對一類含不確定參數的嚴格反饋型單輸入極值搜索系統的極值搜索問題。首先，設計出能使目標函數搜索到極值點的極值參考軌跡；其次，利用Backstepping控制方法逐步遞推選取適當的Lyapunov函數進行控制器設計；最后，設計不確定參數的自適應估計律，滿足控制目標。仿真驗證了本文設計方法可行有效。

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Controller Design for Strict-Feedback Extremum Seeking Systems Based on Backstepping

ZHANG Leia，HU Yunana，ZHANG Yanga，WANG Peifeib
（Naval Aeronautical and Astronautical University a.Department of Control Engineering；b.Graduate Students’Brigade，Yantai Shandong 264001，China）

To solve control problems of strict-feedback extremum seeking systems with uncertain parameter，extremum seeking control method and Backstepping control method were combined.System state extremum reference trajectory was designed.Backstepping controller and uncertain parameter adaptive estimation law were designed based on the appropriate Lyapunov functions selected by recurrence method，objective function extremum seeking was realized.Simulation result showed that the proposed controller design method was effectiveness.

strict-feedback；uncertain parameter；extremum seeking systems；adaptive estimation law

TP273+.23

A

1673-1522（2016）04-0401-06

10.7682/j.issn.1673-1522.2016.04.001

2016-05-14；

2016-06-02

國家自然科學基金資助項目（60674090）

張雷（1988-），男，博士生。