非線性系統分數階滑模控制分析與設計

于昊天，時　寶

（海軍航空工程學院基礎部，山東煙臺264001）

非線性系統分數階滑模控制分析與設計

于昊天，時寶

（海軍航空工程學院基礎部，山東煙臺264001）

文章對非線性整數階或分數階系統，提出了統一的分數階滑模控制方法。首先，對整數階控制系統，設計分數階滑模面，提出分數階趨近律，通過對倒立擺系統的仿真，驗證了該方法的有效性；然后，引入最優控制指標，研究了滑模控制階次α對控制效果的影響，對于該整數階系統，控制指標最優時α??；最后，將本文方法推廣到分數階系統的控制，通過對分數階Chen系統的仿真，驗證了該方法的有效性，并發現對于該系統控制指標最優時，控制階次與系統階次不同元。

非線性控制系統；分數階系統；分數階滑模控制；倒立擺；分數階Chen系統

17世紀，在經典微積分建立不久，分數階微積分已經初步定義，但是由于缺乏明確物理意義，300多年來并沒有引起科學家們足夠的關注，其發展也僅停留在理論上，自20世紀60年代，這個塵封已久的概念重新回到了學者們的視野中。尤其是90年代以來，隨著科學技術的發展，尤其是航空航天技術、生物學、粘彈性材料研究的發展和應用，分數階微積分巨大的研究潛力和應用價值引起越來越多的關注，也使其得到了快速的發展［1-2］。

遺傳性、自相似性在客觀世界物理現象中廣泛存在，半導體的例子也許最能說明分數階模型要比整數階模型更加準確［3］。與此同時，分數階控制方法的研究和應用也在最近20年得到了極大的發展。分數階控制器目前主要有由Oustaloup團隊提出的分數階魯棒控制器CRONE，現在已有Matlab專門的工具箱［4］；由Podlubny提出的PIλDμ控制器，這也是目前研究比較廣泛的方法［5-7］。這些控制方法在模擬仿真和部分應用中，較傳統控制方法展示出了一定的優點，如收斂更快，超調量更小，誤差更小等等.

近年來，隨著非線性理論的發展和工業控制技術的進步，滑模控制方法取得了很對好的研究成果［8-9］。很多學者對機械系統、機電系統、混沌系統等分數階滑模控制進行了一系列研究［10-20］。文獻［10-11，16］設計的控制量中出現了Dα（sgn（s）。文獻［13］在一階微分系統的控制中引入了D1+αe，取得較好的控制效果，但是引入的分數階微分次數超過原系統的階次，仍有改進的余地。

1　分數階微積分相關知識

分數階微積分有各種定義，如Riemann-Liouville定義，Grünwald-Lletnikov定義，本文使用Caputo定義。［2］

定義1：α階Caputo導數定義如下：

式中，n-1＜α≤n。

定義2：α階積分計算方法如下：

式中，α＞0。

Caputo定義下導數有以下性質［2］。

性質1：線性性

性質2：零初值情況下導數復合性質

引理1：［15］對于異元線性分數階方程組描述的系統

式中：x=（x1，x2，…，xn）∈?n；αi是有理數且0＜αi≤1，i=1，2，…，n。

假設M是α1，α2，…，αn分母的最小公倍數，并定義

則系統零解是Lyapunov意義下全局漸近穩定的充要條件是det（Δ（λ）=0的所有的根λ滿足。

引理2：［15］系統

a1x+a2D1-αx+…+anDn-1-αx+Dn-αx=0，-1＜α≤1，在Lyapunov意義下全局漸近穩定的充要條件是，分數次冪特征多項式

引理3：［22］函數x（t）∈?在定義域上是連續可微的。那么對?t≥t0，有，其中0＜α≤1。

2　整數階系統的分數階滑模控制

對單輸入動力學系統［23］

式中，x，u∈?是系統的輸出和控制輸入。

通常，f（x）、b（x）≠0不是精確已知的，但是它們能夠被已知連續函數F1（x）、F2（x）界定。

現在的控制問題是：在 f（x）、b（x）具有建模不精確性的情況下，設控制律使得狀態x，跟蹤特定的時變狀態xd。

假設初始時刻t0=0，且初始狀態滿足。

令e=x-xd為跟蹤誤差。

2.1滑模面的設計

設計滑模面

式中，-1＜α≤1參數a1，a2，…，an∈?，且滿足Hurwitz條件，即滿足引理2中的漸近穩定條件。

那么，方程s=0是漸近穩定的，并且s的界可以轉化為跟蹤誤差e的界。

特別地，當n=1時。系統滑模面化簡為s=a1e+D1-αe，由s=0得到D1-αe=-a1e，當a1＞0時，零解漸近穩定。

如果s有界，不妨設|s|≤C，對微分方程兩邊做Laplace變換，

并且注意到e（0）=0，化簡得到

兩邊做Laplace逆變換，

其中，*是卷積符號，因此，

由Mittag-Leffler函數和函數（t-τ）α-1的性質知：

式中，B（1-α，α）是Beta函數，在α給定的情況下是常數，即e是有界的。

當n＞1時，可以通過遞推的方法得到，對于滿足引理2條件參數族a1，a2，…，an，當s有界時e有界。

2.2趨近律

由于e（0）=e′（0）=…=e（n-1）（0）=0，于是，

式中，j=1，…，n。

由性質2，得到DαDj-αe=Dje=e（j），于是，

設計控制量u使得：

式（2）中：ε≥0；sign（s）是符號函數。

把式（2）代入式（1）得到：

當0＜α＜1時，由引理3知：

所以，在該控制律下，系統是全局漸近穩定的。

當 f精確已知時，上述控制量u的設計滿足要求。

當 f不精確，或者存在隨機擾動時，有2種處理方法。

方法1：在模型建立中，加入隨機干擾項d（x），假設其滿足|d|≤k0，系統的控制量可以設計為

此時可以得到Dαs≤-ε·sign（s）-ks，仍然滿足穩定性要求。

方法2：利用 f（x）的界定函數F（x）。設此時 f（x）的估計函數為），滿足。

構造控制量：

代入到Dαs中得到：

仍然滿足穩定性要求。

2.3倒立擺系統控制的仿真研究

為驗證本文方法的有效性，以倒立擺系統［9］作為仿真模型進行研究。

一級倒立擺的非線性方程為

x為倒立擺與垂直軸之間的夾角，m為擺的質量，2l為擺的長度，a=1/（m+M），M為小車的質量，g為重力加速度，u為控制量，此處為施加給小車的力。

取m=2kg，M=8kg，l=0.5 m，g=9.8 m/s2，初始角度 x（0）=65°，x′（0）=0，擺的期望軌跡為xd=sint。

假設系統存在隨機擾動d=0.2sin（3t），本系統為二階系統，選取滑模面

控制量

選取 α=0.75，a1=1，a2=5，ε=10，k=200，k0=0.2。

仿真結果如圖1～3所示。

仿真結果顯示，本文方法能夠有效地完成使實際角度跟隨期望角度目標，由于有隨機擾動的存在，實際角度總是會產生震蕩。

圖1　實際角度x與期望角度xd時域圖Fig.1 Practical anglexand expected anglexd

圖2　角度誤差e時域圖Fig.2 Time-domain plot of errore

圖3　滑模量s時域圖Fig.3 Time-domain plot of the sliding modes

2.4滑模控制的最優控制階次

本文方法中引入了滑膜控制參數α（分數階次），仿真發現，固定其他參數的情況下，不同α的控制效果是不同的。

為了更加精確的描述控制效果，引入二次型控制性能指標：

式中，L≥0，對任意t∈?+，有Q（t）＞0，R（t）＞0。

二次型性能指標中：

綜上，二次型控制性能指標是系統控制過程中末端狀態、動態誤差和能量消耗的度量，目標就是選取α使得指標J最小。

對于上文中的倒立擺系統，α與指標J變化關系如圖4所示。

控制指標最優時α=0.802，此時系統各狀態變化如圖5～7所示。

圖4　α與指標J變化關系Fig.4 Change relation ofαand indexJ

圖5　實際角度x與期望角度xd時域圖Fig.5 Practical anglexand expected anglexd

圖6　角度誤差e時域圖Fig.6 Time-domain plot of errore

圖7　滑模量s時域圖Fig.7 Time-domain plot of the sliding modes

3　分數階系統的分數階滑模控制

對分數階系統Dn+px=f（t，x），加入控制量u得到Dn+px=f（x）+b（x）·u，其中n∈?+，0≤p＜1。

3.1滑模面與趨近律設計

設計滑模面

式中：-1＜α≤1；參數a1，a2，…，an∈?，且滿足Hurwitz條件，即滿足引理2中的漸近穩定條件。

類似整數階系統分析可以得到：

設計控制量u使得

于是，

由引理3可知：

所以，在該控制律下，系統是全局漸近穩定的。特別地，n=0時，系統方程為：

對應滑模面：

控制量為

3.2分數階Chen系統的控制仿真

本文對分數階Chen系統的控制進行仿真研究。觀察分數階Chen系統：

分數階Chen系統一般是電路系統，所以可以對y進行控制，但由于觀測誤差的存在，這種控制不能完全使得y=0。

同時，當y=0時，系統簡化為：

當c1，c2＞0時，x、z是Mittag-Leffler漸進穩定的。因此，對y加入控制：

式中，

取參數（c1，c2，c3，c4）=（35，3，28，-7），階次（q1，q2，q3）=（0.9，0.92，0.93），初始值（x0，y0，z0）=（-9，-5，14），在10 s內混沌系統仿真圖像如圖8～9所示。y、z的相圖幾乎是重合的，在下文的仿真中，只給出x、z的相圖。

圖8　（x，y，z）變化圖像Fig.8 Plot of（x，y，z）

圖9　x、z的時域圖Fig.9 Time-domain plot ofxandz

取控制參數a=1、ε=0.1、k=0.1、α=-0.3。仿真圖像如圖10～12所示。

圖10　控制后（x，y，z）變化圖像（α=-0.3）Fig.10 Change image of control（x，y，z）（α=-0.3）

圖11　控制后x、z的時域圖（α=-0.3）Fig.11 Time-domain control ofxandz（α=-0.3）

取控制參數a=1，ε=0.1，k=0.1，α=0.2。仿真圖像如圖13～15所示。

圖14　控制后x、z的時域圖（α=0.2）Fig.14 Time-domain control ofxandz（α=0.2）

圖15　滑模量s的時域圖（α=0.2）Fig.15 Time-domain plot of the sliding modes（α=0.2）

以上2個仿真雖然只有滑模控制階次不同，但控制效果差別很大。階次α=-0.3時，x、y、z、s都有振動，但是總體收斂速度很快，1s內到達穩定。階次α=0.2時，x、y、z、s不存在振動，單調趨于0，但是總體收斂速度較慢，10 s以后才能到達穩定。下面專門討論控制階次對控制效果的影響。

3.3滑模控制最優階次

取a=0.012，ε=0.1，k=0.1。用前文控制指標J，仿真得J隨滑模控制階次α變化圖像，見圖16。在α∈（-1，1）內，控制效果在（-0.9，-0.2）內較好。此時滑模面方程含有積分項和微分項，比單純含有微分項控制效果要好。仿真得到最優滑模控制階次a=-0.805。此時，各狀態量隨時間變化見圖17～20。

圖16　控制指標J隨滑模控制階次α變化圖像Fig.16 Change image of control orderαand indexJ

圖17　最優控制下（x，y）相圖Fig.17 Phase diagram of optimum control（x，y）

圖18　最優控制下（y，z）相圖Fig.18 Phase diagram of optimum control（y，z）

圖19　最優控制下x、z時域圖Fig.19 Time-domain plot of optimum controlxandz

圖20　最優控制下滑模量s時域圖Fig.20 Time-domain plot of the optimum control sliding modes

4　結論

本文對非線性整數階或分數階系統提出了統一的分數階滑模控制方法，相對于傳統的整數階滑模控制和常用的同元分數階滑模控制，增加了滑膜控制階次α，多了一個控制參數，使控制器設計的靈活度大大增加。通過仿真分析，本文提出的滑模控制設計方法，對整數階系統的最優控制滑模控制階次為分數階，對分數階系統的最優滑模控制階次α≠p，說明了本文方法的有效性。對于整數階系統控制，分數階的微分積分由于需要之前所有時刻的狀態進行計算，比整數階微分積分運算計算量要大，而對于分數階系統控制而言，非同元的控制方法在計算過程中不能消去對應的分數階微積分項，則會增加運算量。是追求要更好的控制效果，還是要更快的運算速度，需要視情而定。最后，從傳統滑模控制器發展變化出的模糊滑模控制，自適應滑模控制，變結構控制等等，都可以與分數階相結合。

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Analysis and Design of Fractional Sliding Mode Control for Nonlinear Systems

YU Haotian，SHI Bao
（Department of Basic Sciences，NAAU，Yantai Shandong 264001，China）

In this paper，a general fractional sliding control strategy was presented for both integer order and fractional order nonlinear systems.Firstly，for inter order systems，the fractional sliding mode surfaces were desiged，whose boundedness and stability were discussed.As an numerical example，an inverted pendulum system was effectively controlled.Secondly，the introduction of control index was introduced to seek the relationship between control orderαand control effect，and it was found when optimal control index was reached，α??.Finally，the method was applied in fractional order systems.The effective control of a fractional Chen system showed the effectiveness of the proposed method.And it showed that when optimal control index was reached，the control order didn’t equal to system’s order.

nonlinear control systems；fractional order systems；fractional sliding mode control；inverted pendulum；fractional Chen system

TP391

A

1673-1522（2016）04-0407-08

10.7682/j.issn.1673-1522.2016.04.002

2016-03-06；

2016-04-13

山東省自然科學基金資助項目（ZR2014AM006）

于昊天（1988-），男，碩士生；時寶（1962-），男，教授，博士，博導。