基于彈性地基板理論的樁網復合地基樁土應力比及沉降計算

趙明華，劉猛，馬繽輝，龍軍

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基于彈性地基板理論的樁網復合地基樁土應力比及沉降計算

趙明華1，劉猛1，馬繽輝2，龍軍1

(1. 湖南大學土木工程學院，湖南長沙，410082；2. 湖南科技大學土木工程學院，湖南湘潭，411201)

將樁網復合地基中的水平加筋墊層視為彈性薄板，墊層下的豎向樁體及樁間土體視為不同剛度的彈簧體系，基于Filonenko?Borodich雙參數彈性地基模型，考慮加筋墊層的抗彎、拉作用，根據靜力平衡建立薄板撓曲變形控制微分方程，并利用Bessel復變函數推導出相應的撓度函數。在此基礎上，考慮樁土變形協調，推導樁網復合地基樁土應力比及沉降的計算公式。為驗證本文方法的可行性，對某工程算例進行計算分析。最后，基于本文方法，探討分析加筋墊層復合彈性模量、筋材拉力、樁土剛度比等因素對樁網復合地基樁土應力比和沉降的影響。研究結果表明：計算與實測結果吻合良好。樁土應力比隨樁土剛度比、加筋墊層復合彈性模量及格柵拉力的增大而增大。

樁網復合地基；圓形薄板；雙參數地基模型；樁土應力比；沉降

近年來，隨著我國高速公路、鐵路建設的興起，軟土地基問題日益突出，地基承載力不足、沉降過大、不均勻沉降等問題尤為嚴重。樁網復合地基作為由豎向樁體和水平加筋體構成的新型軟基處理形式，對上述地基問題的處置具有良好的效果，且該地基處理方法施工簡單、進度較快，在鐵路軟基處理中得到廣泛的應用[1]。關于樁網復合地基的工作機理的研究，目前已取得了不少成果[2?4]，其中樁土應力比與沉降作為反映樁網復合地基工作性狀的重要參數，其計算方法的研究也一直是該領域的熱點。其中，楊宇[5]利用螺旋線模擬墊層變形形狀，考慮了墊層的“網兜效應”；陳昌富等[6]考慮加筋墊層抗拉作用，假設墊層變形后形狀為旋轉拋物面，基于Winkler地基推導了樁土應力比計算式；ABUSHARAR等[7]假設樁間土應力均布，利用墊層變形的圓弧假定，提出了一種樁土應力比的簡易計算方法。對于相當一部分工程，單層格柵并不能滿足工程需要，墊層中需設置土工格室或多層格柵，同時，HAN等[2]指出此類結構不同于單層格柵的情況，加筋材料與所包含的散體填料可形成一“柔性筏板”，具有較強抗彎作用，顯然，上述基于薄膜理論所導出的方法因不能考慮抗彎作用并不適合于土工格室或多層格柵的情況。因此，饒為國等[8]為考慮“柔性筏板效應”將加筋墊層假設為薄板，假定薄板變形后形狀為拋物線，推導了樁土應力比計算式；鄭俊杰[9]則認為此類墊層不僅具有“柔性筏板效應”，同時也具有“拉膜效應”，于是假定加筋墊層變形為重三角函數形式，并考慮其變形過程中的幾何非線性，從而獲得了兼顧墊層“柔性筏板效應”與“拉膜效應”的樁土應力比及沉降計算方法。此外，由上述文獻可知，加筋體變形形狀是計算樁土應力比以及沉降的前提和關鍵，不同的變形形狀所求得的樁土應力比與沉降也不相同，所以越接近于加筋墊層實際變形所求得的樁土應力比與沉降也就越準確，而上述文獻均事先假定了加筋體的變形，不能真實反映加筋體的受力狀態，這導致計算結果與實測結果的誤差較大。為此，譚慧明等[10]基于Winkler彈性地基矩形板理論推導出了三維情況下水平加筋體的撓曲函數，但受限于矩形板邊界條件的復雜性，難以考慮樁體沉降對于加筋墊層的影響；之后，趙明華等[11?12]以單樁影響范圍內復合地基為研究對象，將樁土分別離散成不同剛度的彈簧系列，借助于彈性地基圓板理論與樁土界面處墊層的變形協調，導出了考慮樁土共同變形的加筋墊層的撓曲函數，在此基礎上提出了樁土應力比的計算方法。而上述2種分析方法，依然只考慮了加筋墊層的“柔性筏板作用”，并未考慮筋材的“拉膜效應”。由上述分析可知：在未假定加筋墊層變形情況下，綜合考慮墊層的“柔性筏板效應”、“網兜效應”與樁土共同變形，是準確求解樁網復合地基樁土應力比及沉降的關鍵，為此，本文作者基于Filonenko?Borodich雙參數地基模型，綜合考慮加筋墊層的“柔性筏板效應”與“網兜效應”，同時考慮樁土變形，根據Bessel復變函數推導出加筋墊層的撓曲變形的解析函數，進而得出樁網復合地基樁土應力比和沉降的計算表達式，以期進一步完善樁網復合地基樁土應力比與沉降的計算方法。

1 計算模型及基本假設

取如圖1所示的單樁影響范圍內的典型單元體進行分析，樁體直徑為，中心距為d，單樁加固范圍直徑為e，正方形布樁時，e=1.13d，梅花形布樁時，e=1.05d。

圖1 樁網復合地基示意圖

為進一步簡化計算進行如下假定。

1) 樁網復合地基計算模型如圖2所示，將單樁加固范圍內的加筋墊層視為置于Filonenko?Borodich雙參數地基模型[13]上的彈性圓薄板，其中筋材拉力可用下式求得：

其中：g為筋材平均應變；g為加筋體的抗拉剛度。

2) 樁體對薄板的豎向支撐力p為均布力，根據文獻[6]，[10]及[11]，樁與樁間土變形均符合Winkler地基模型；

3) 不考慮差異沉降所引起的路堤荷載重分布的情況，即路堤荷載為均布荷載[7?8, 11]。

2 樁頂加筋體變形分析

令1()表示樁頂加筋體的撓曲函數，根據Filonenko?Borodich雙參數地基模型，在路堤荷載與樁頂反力p共同作用下，樁頂加筋體的控制微分方程為

式(2)所對應的齊次方程通解為

式中：J，Y分別為第一類和第二類階Bessel函數；1，2，3和4為待定常數。

均布荷載及支持力p作用下，式(2)的特解為，結合式(4)，因此樁頂薄板撓曲變形函數為

3 樁間土頂部薄板變形分析

令2()表示樁頂薄板的撓曲函數，在均布荷載與地基土支撐作用下，樁間土頂部薄板的控制微分方程為

式中：s為樁間土基床系數。

為簡化計算，令

式(6)所對應的齊次方程可轉化為如下形式：

由式(7)可知：21與22根據2?4s的正負分為實數與虛數2種情況，而2種情況下方程(8)的解不同。下面就這2種情況進行討論。

1) 當2≥4s時，令

式(8)的通解為

式中：N為第二類階虛變量Bessel函數；5，6，7和8為待定常數。

均布荷載作用下，式(6)的特解為2*=/s，結合式(10)，可得2≥4s時，樁間土頂部薄板撓曲變形函數：

(11)

2) 當2＜4s時，式(6)的通解可構造[13]為

式中：u和v分別為階第一類Bessel函數的實數部分與Hankel函數的實數部分；f和g分別為階Bessel函數的虛數部分與Hankel函數的虛數部分。

4 待定系數求解

要最終確定薄板的撓曲函數，還要對式(5)，(11)和(12)中的未知參數1，2，…，8及p通過邊界及連續條件進行求解。

由于圓板中心處(=0)的薄板轉角為0，可得2=3=0。

在樁土交界處，薄板撓度、轉角、徑向彎矩以及剪力的連續條件如下：

此外，根據假設(2)，樁土交界處圓板的撓度1(/2)為

樁頂反力p為上部路堤荷載與墊層向樁體轉移荷載之和，即

根據文獻[2]，單元體=e/2處轉角與剪力邊界條件如下：

同時，根據薄板撓曲函數式(5)，(11)及(12)，可得薄板轉角、徑向彎矩、剪力表達式如下。

1) 在樁頂范圍內，即0≤≤/2時，

2) 在樁間土范圍內，即e/2≤≤/2時，分2種情況考慮。

①當2≥4s時，

②當2≥4s時，為簡化表達，令，，根據歐拉公式可得

結合式(20)，可得

(21)

式中：Z()(其中=1，2，3，4)分別表示u()，v()，f()，g()。

根據上述分析，聯立方程(14)~(17)可求出1，4，…，8及p，從而得到板的撓度表達式。

5 樁土應力比及沉降計算

由上述分析可知：如計算前已知筋材應變，可直接利用式(1)計算筋材拉力，進行待定系數求解。然而，多數工程中并未事先對筋材變形進行測量，針對此類情況，曹新文等[4]通過現場試驗研究發現，路堤荷載下筋材平均應變與沉降近似成如下關系：

式中：和為相關擬合參數，可根據沉降計算位置，按文獻[4]中所列表格選取，試驗中所采用的格柵抗拉剛度為50 kN/m。

根據上述研究成果，選取加筋體最大撓度2(e/2)作為式(22)中沉降，筋材拉力未知情況下，待定系數的求解步驟如下：

1) 假定初始拉力0(0可以取很小的值)，將其代入式(2)與式(6)中求解加筋墊層的撓曲函數，得到1(/2)與2(e/2)；

2) 將前一次得到2(e/2)作為，代入式(22)，并結合式(1)求得拉力，而后重新將代入式(2)與式(6)，求解加筋墊層的撓曲函數，得到1(/2)與2(e/2)；

3) 選定誤差，將所得到1(/2)和2(e/2)并與前一次的結果進行比較，若比較結果均小于誤差，則停止計算，否則繼續按照?步驟2)和3)進行迭代計算。

上述步驟流程如圖3所示。

圖3 計算流程示意圖

得到加筋墊層的撓曲函數以及p后，由圖2所示的計算模型可見，根據方向受力平衡，可得樁間土頂部平均豎向應力s為

則樁土應力比可按下式計算[14]：

文獻[8]認為：在大面積堆載情況下，樁頂沉降較小，可將樁間土沉降作為地基沉降，則

6 相關參數確定方法

6.1 樁體變形剛度p

為綜合考慮樁體變形過程中的非線性，樁體變形剛度取樁基載荷試驗?曲線上割線斜率。

6.2 樁間土基床系數s

同樣為綜合考慮樁間土體變形過程中的非線性，樁間土基床系數s取載荷試驗?曲線上割線斜率，如無實測資料，也可遵照地區經驗取值，或按照下式確定：

式中：s為土體變形模量，多層土體按深度加權平均；s為土層厚度。

6.3 墊層計算厚度

從加筋材料與散體材料樁共同作用的角度出發，取加筋材料及其所包裹的填料所形成的復合結構的厚度，若為多層格柵，即為頂層與底層格柵之間的距離作為薄板厚度；若為土工格室，則可直接取土工格室的厚度。

6.4 墊層復合彈性模量

對于格柵墊層，鄭俊杰等[9]給出了其復合彈性模量的確定方法，即取格柵彈性模量與墊層填料的變形模量的加權平均值；對于土工格室，楊明輝等[15]通過疊梁試驗給出了不同型號土工格室配合各種常用填料所構成的多種格室墊層的平均彈性模量。

7 算例及參數分析

7.1 算例1

遂渝鐵路DK10+320和DK10+336試驗路段軟土地基按樁網復合地基技術處理[4]，樁體為粉噴樁，直徑=0.50 m，樁中心距d=1.0 m，梅花形布樁e= 1.05 m，粉噴樁樁頂鋪設雙層雙向抗拉剛度為50 kN/m的土工格柵，間距為30 cm。地基為第四紀洪積松軟土，基巖為泥巖，上部填土荷載重度s=20 kN/m3，路基填筑高度=10m，碎石墊層c=25 kN/m3。根據靜載試驗，樁體變形剛度系數為p為2 000 kN/m。薄板厚度取0.3 m，復合彈性模量為52 MPa，泊松比為0.3，其他計算參數如表1所示。

表1 試驗路段軟土地基部分計算參數

Table 1 Partial calculation parameters for soft foundation

路堤中心沉降及土工格柵加筋墊層下方樁土應力比的計算值與實測值的比較見表2。

表2 算例1沉降與樁土應力比計算結果

DK10+336試驗段地基沉降隨路堤填土高度的變化如圖4所示。由表2及圖4可見：本文方法得出的雙層土工格柵樁網復合地基樁土應力比及沉降均與實測值較接近。

1—實測值；2—計算值。

7.2 算例2

湖南某高速公路軟土地基試驗路段采用土工格室+攪拌樁復合地基進行處理，攪拌樁直徑為0.50 m，樁間距d=1.2 m，梅花形布樁，樁頂填筑1層厚30 cm砂墊層，中心設置1層厚度為10 cm的土工格室。地基為淤泥質黏土，上部填土荷載重度s= 20 kN/m3，試驗路段路基填筑高度4 m。實測沉降為5.3 cm，樁土應力比為。樁體變形剛度系數p為2 355 kN/m，處理后樁間土基床系數s為1 024 kN/m3，薄板厚度為0.10 m，復合彈性模量為40 MPa，復合泊松比取0.3。

經計算樁土應力比與沉降如表3所示。

表3 算例2沉降與樁土應力比計算結果

Table 3 Results of settlement and pile-soil stress ratio for example 2

由表3可知：本文計算所得樁土應力比較文獻[11]方法更為接近實測值，此外，沉降與實測值也較為接近。這是由于本文較文獻[11]方法，考慮了格室體的抗拉作用。

7.3 參數分析

為進一步探討分析加筋墊層復合彈性模量、格柵拉力、樁土剛度比等對樁網復合地基沉降及樁土應力比的影響，以算例2中參數為基礎，針對上述因素進行相應的參數分析。

7.3.1 樁土剛度比對沉降及樁土應力比的影響

不考慮筋材拉力的影響，引入p=4p/(π2)，表征樁體變形剛度及置換率的綜合影響，其他參數不變。

沉降與樁土剛度比的關系如圖5所示。可見：樁土剛度比對沉降的影響隨著彈性模量的增大而增大。而且同一彈性模量時，復合地基的沉降隨樁土剛度比增大而減小。但當樁土剛度比超過一定值時，繼續增大樁土剛度比，對沉降的減小作用不大。

E/MPa：1—40；2—80；3—120；4—160。

樁土應力比與樁土剛度比的關系如圖6所示。由圖6可見：不同彈性模量時，樁土剛度比與樁土應力比兩者關系呈非線性，且彈性模量越小，非線性現象越明顯。此外，彈性模量越大，樁土剛度比對樁土應力比影響就越明顯。

E/MPa：1—40；2—80；3—120；4—160。

7.3.2 筋材拉力對沉降及樁土應力比的影響

沉降和樁土應力比與筋材拉力的關系分別如圖7和圖8所示。由圖7和8可見：對于同一彈性模量，沉降隨筋材拉力增大而減小，而樁土應力比隨拉力增大而增大。此外，對兩者的影響隨的增大而逐漸減弱。由此可見，當墊層材料的彈性模量較小時，采用級配材料，適當增大界面摩阻力可有效增大樁土應力比，減小沉降。

E/MPa：1—40；2—80；3—120；4—160。

E/MPa：1—40；2—80；3—120；4—160。

8 結論

1) 樁網復合地基沉降隨樁土剛度比、格柵拉力及加筋墊層復合彈性模量的增大而減小。樁網復合地基樁土應力比隨樁土剛度比、加筋墊層復合彈性模量及格柵拉力的增大而增大。當加筋墊層抗彎剛度較小時，筋材抗拉作用對樁土應力比、沉降的影響不能忽略。

2) 準確測定墊層復合彈性模量、格柵應變以及樁、土變形剛度是采用本文方法計算的關鍵。

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(編輯 趙俊)

Calculation of pile-soil stress ratio and settlement of pile-net composite foundation based on elastic foundation plate

ZHAO Minghua1, LIU Meng1, MA Binhui2, LONG Jun1

(1. College of Civil Engineering, Hunan University, Changsha 410082, China;2. College of Civil Engineering, Hunan University of Science and Technology, Xiangtan 411201, China)

The horizontal reinforced mattress was regarded as a thin plate based on the Filonenko?Borodich double-parameter foundation model. Piles and the surrounding soils were simplified as springs with different rigidities. According to static equilibrium of the model, the governing differential equation was established with consideration of the bending and tension of the reinforced mattress and the deformation of the pile and the soil. Using Bessel complex-variables functions, a deformation function of horizontal reinforced mattress was deduced. Then according to the deformation compatibility conditions, the formulas of the pile-soil stress ratio and settlement of the composite foundation were deduced relatively. Finally, two existing cases were employed for calculation and analysis. The influences of the tension force and the pile-soil stiffness ratio on the behavior of the composite foundation were also discussed respectively based on the current solution. The results show that the analysis results of the current solutions has a good agreement with the test results. The pile-soil ratio increases with the increase of the pile-soil rigidity ratio, composite modulus of reinforced mattress and tensile force of geosynthetic.

pile-net composite foundation; post-buckling; double-parameter foundation model; pile-soil stress ratio; settlement

10.11817/j.issn.1672-7207.2016.06.026

TU 470

A

1672?7207(2016)06?2007?08

2015?06?15；

2015?09?04

國家自然科學基金資助項目(51078138，51308208)(Projects(51078138, 51308208) supported by the National Natural Science Foundation of China)

趙明華，博士，教授，博士生導師，從事樁基礎、軟土地基處理研究；E-mail：mhzhaohd@21cn.com