板帶軋制過程考慮滑動與粘著摩擦的軋制力模型

李維剛，魯凌云, 劉超，劉相華

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板帶軋制過程考慮滑動與粘著摩擦的軋制力模型

李維剛1，魯凌云1, 劉超1，劉相華2

(1. 武漢科技大學信息科學與工程學院，湖北武漢，430081；2. 東北大學研究院，遼寧沈陽，110819)

將軋制變形區分為滑動摩擦區和粘著摩擦區，得到適用于帶鋼熱軋過程的改進卡爾曼(KARMAN)微分方程，給出軋制力數值計算公式。結合變形區入口與出口的邊界條件，采用龍格?庫塔(Runge?Kutta)法交替求解前滑區與后滑區的單位壓力分布，2個接觸弧角相交處就是中性點，通過對單位壓力與摩擦應力進行數值積分得到軋件的軋制力，再根據希齊柯克(Hitchcock)公式迭代計算多次得到最終軋制力。最后，分析新型軋制力模型應用于熱連軋機組面臨的問題，給出熱軋過程摩擦因數對單位壓力分布與軋制力的影響規律，并通過布倫特(Brent)方法實現對熱軋過程摩擦因數的軟測量，指出摩擦因數在1個軋制周期內的演變規律，為熱連軋過程摩擦因素在線模型的建立與新型數值軋制力模型的在線應用提供參考。

熱軋帶鋼；軋制力；微分方程；摩擦因數

軋制力是板帶鋼軋制過程控制的關鍵參數，其計算精度直接影響著整個軋制過程，是板形、板厚設定控制的基礎[1?2]，國內外學者對軋制力計算進行了大量研究[3?11]。研究單位壓力在接觸弧上的分布規律，對準確計算板帶鋼軋制時的軋制力具有重要意義。計算單位壓力經常采用Karman(卡爾曼)微分方程或Orowan(奧洛萬)微分方程，兩者均建立了軋制變形區內微元體上的力平衡關系，很多軋制力解析公式是以這2個方程為基礎推導出來的。如通過求解Karman方程得到Tselikov(采利柯夫)公式、Stone(斯通)公式，通過求解Orowan方程得到Sims(西姆斯)公式、Bland(勃蘭特)公式。其推導過程分別采用不同的假設條件或化簡條件，對軋制力計算精度必然造成一定影響。隨著數值計算方法的興起與計算機性能的提高，通過數值方法在線求解單位壓力微分方程成為可能。與目前廣泛在線使用的解析式軋制力模型不同，此類模型為數值軋制力模型。由于其假設條件較少，模型原理及結構清晰，開放性強，為精細化計算軋制力提供了新方法。從理論上說，只要摩擦因數與流變應力準確，數值軋制力模型可以達到所希望的預測精度。由代數模型向微分模型發展，由宏觀模型向微觀模型發展，代表了軋制模型未來的發展方向，因此，開發數值軋制力在線計算模型很有意義。本文研究一種滑動摩擦與粘著摩擦共存條件下的數值軋制力模型，給出適合于在線計算的數值解法，探討新型軋制力模型用于熱連軋機組在線計算面臨的問題，指出摩擦因數對單位壓力分布與軋制力的影響規律，最后通過Brent方法實現對熱軋過程摩擦因數的軟測量。

1 滑動/粘著摩擦共存的軋制力模型

通過對變形區內軋件微元體所受應力的分析，Karman推導了軋制過程的力平衡微分方程，即Karman方程[3]。在其推導過程中，認為整個接觸區都是滑動摩擦。當摩擦力不大時，Karman方程近似程度較好，被廣泛用于冷軋軋制力計算。當軋制過程表面摩擦力等于或接近材料剪切屈服極限時，方程采用的基本假設偏差大，故不宜直接用于熱軋過程。CHEN等[3]同時考慮滑動摩擦與粘著摩擦，得到了適用于熱軋過程的力平衡微分方程。

1.1 改進Karman微分方程

在軋制變形區內任取1個微元，分析作用在微元上的作用力(見圖1)，對微元進行受力分析得

對微元進行水平受力分析，由力平衡得

式中：p為單位壓力；p′為單位壓力的垂直分量；τ為摩擦應力；θ為任意微元的接觸角；h為任意微元的高度；hin和hout分別為軋件入口厚度與出口厚度；σin和σout分別為入口張力與出口張力。式(1)和(2)構成了微元在垂直方向與水平方向上的力平衡方程。

圖1 變形區內微元體的應力平衡關系

根據軋制過程中的板厚變化，由幾何關系得：

式中：′為軋輥壓扁半徑。在軋制過程中，使用剪切變形功理論作為材料的屈服條件，有

式中：2為流變應力。軋件與軋輥間的接觸摩擦非常復雜，對此所提出的假設或理論很多，如認為遵循干摩擦定律、假設接觸表面上單位摩擦不變、采用液體摩擦定律、應用經驗公式等。本文將變形區分為滑動摩擦區和粘著摩擦區，分別應用不同摩擦規律，推導得到改進Karman微分方程。

1.1.1 滑動摩擦區

根據滑動摩擦假設，認為在變形區內軋件與軋輥的接觸表面產生滑移，遵循干摩擦定律，其接觸表面的摩擦應力為

式中：為摩擦因數，正號表示后滑區(入口側)，負號表示前滑區(出口側)。根據式(1)~(6)，可推導得到滑動摩擦區內的微分方程為

式中：

式(8)和(9)中的分母取正號表示后滑區，取負號表示前滑區。

1.1.2 粘著摩擦區

根據粘著摩擦假設條件，認為在變形區內軋件與軋輥的接觸表面產生粘著，可用剪切屈服極限代替接觸表面的摩擦應力：

=±;?≥(10)

根據式(1)~(5)及(10)，可推導得到粘著摩擦區內的微分方程：

式中：

式(12)取負號代表后滑區，取正號代表前滑區。式(7)和(11)是結合力平衡方程、幾何條件、塑性方程與摩擦規律推導出來的結果，即改進Karman方程。由于在軋制變形區內同時考慮了滑動摩擦與粘著摩擦，故改進Karman方程可用于分析熱軋過程，克服了原Karman方程在整個變形區僅考慮滑動摩擦的 缺陷。

1.2 軋制力計算公式

對軋件進行軋制力分析，假設接觸弧變形后仍為圓弧，在接觸弧上作用有垂直于輥面切線的單位壓力和平行于輥面切線的摩擦應力。軋制力由單位壓力和摩擦應力的垂直分量合成：

1.3 數值求解

在式(13)所示的軋制力計算公式中，需要事先獲得單位壓力與摩擦應力沿軋輥接觸弧的分布，因此，要先求解微分方程(7)與(11)。

求解微分方程(7)和(11)，要先確定微分方程的邊界條件。在接觸弧的入口和出口平面，邊界條件可通過微元的平衡方程予以確定。入口處的單位壓力in如下。

?in≤in時的摩擦為滑動摩擦，

?in＞in時的摩擦為粘著摩擦，

出口處的單位壓力out為

入口處、出口處的接觸角分別為：

式(7)和(11)為帶邊界條件的微分方程，要得到其解析解非常困難，可通過數值方法進行求解。龍格?庫塔方法(Runge?Kutta，簡稱為R?K法)是一種在工程上應用廣泛的高精度單步算法，其理論基礎來源于泰勒展開公式和使用斜率近似表達微分，它在積分區間多預計算幾個點的斜率，然后進行加權平均，用于計算下一點低斜率的依據，從而構造出精度更高的數值積分計算方法。本文采用5階R?K方法求解改進Karman微分方程，得到單位壓力沿軋輥接觸弧的分布。

在R?K法求解過程中，將軋件與軋輥的入口接觸弧角in分為等分，由此變形區內得到個微分單元，如圖2所示。結合變形區入口的邊界條件，逐步求出后滑區每個微分單元的單位壓力，接觸弧角由in逐步減小；結合變形區出口的邊界條件，逐步求出前滑區每個微分單元的單位壓力，接觸弧角由0°逐步增大；兩者相交處(單位壓力相等)就是中性點，此時的接觸弧角就是中性角N。前滑區與后滑區的求解過程可以交替進行，如設置當前滑區求得的單位壓力比后滑區大時則啟動后滑區計算，后滑區求得的單位壓力比前滑區大時則啟動前滑區計算。

圖2 變形區內微分單元劃分

采用R?K法求得軋輥接觸弧上的單位壓力分布，根據式(6)和(10)可求摩擦應力分布，根據式(13)可計算軋件單位寬度上的軋制力。需要注意的是：微分方程(7)和(11)的右式中均含有軋輥壓扁半徑′，而初始的壓扁半徑并不知道，初次計算可取原始軋輥半徑。根據本文方法求得軋件的軋制力后，再根據希齊柯克(Hitchcock)公式更新計算軋輥壓扁半徑。以上過程經過多次迭代，當2次計算得到的軋制力偏差小于預先給定的正值小量時，認為滿足收斂條件，結束 迭代計算。

2 新模型在熱連軋中的應用

這里探討新型數值軋制力模型應用于熱連軋機組在線計算面臨的問題。圖3所示為新型軋制力模型的結構圖。由圖3可知：要采用新型軋制力模型在線計算熱軋帶鋼的軋制力，需要事先建立流變應力和摩擦因數2個子模型；根據子模型計算出流變應力、摩擦因數后，采用本文給出的方法可求得變形區內單位壓力及摩擦應力的分布，對單位壓力與摩擦應力進行數值積分求得軋制力，再根據Hitchcock公式更新軋輥壓扁半徑，經過幾次迭代計算可得到最終軋制力。

圖3 數值型軋制力模型的結構

目前，國內外關于流變應力的研究很多，其在線計算模型也比較成熟，但對熱軋過程摩擦因數的研究并不多見。以往研究多針對特定條件來設計實驗或實驗裝置來測定摩擦因數[12?14]，能否直接用于熱連軋在線計算有待進一步考證。研究表明：軋制時變形區內摩擦因數對整個軋制過程的影響關系較復雜，幾乎所有工藝參數(軋制溫度、軋材性質、壓下制度、潤滑劑等)和設備參數(輥面粗糙度、軋制速度等)的變化都會影響變形區內的摩擦狀態，從而引起摩擦因數的變化；而摩擦因數的變化將導致軋制過程的力能參數發生變化。因此，有必要研究摩擦因數對單位壓力與軋制力的影響。下面通過數值模擬來予以說明。

2.1 摩擦因數對單位壓力分布的影響

選取典型熱軋帶鋼F4機架為仿真對象，軋輥直徑為824.90 mm，帶鋼寬度為1 543.50 mm，入口厚度為10.85 mm，出口厚度為8.19 mm，入口張力為 8.28 MPa，出口張力為9.77 MPa；軋件材質為普碳鋼，軋制溫度為933 ℃，流變應力為207.00 MPa，摩擦因數變化范圍為0.15~0.50。圖4所示為單位壓力、摩擦應力隨摩擦因數的變化曲線。從圖4可見：

1) 單位壓力、中性角隨著摩擦因數的增大而增大，當摩擦因數增大到0.30以上時，單位壓力的增加幅度減緩。這是因為變形區開始出現粘著摩擦，整個變形區逐步由滑動摩擦過渡到粘著摩擦。

2) 摩擦應力隨著摩擦因數的增大而增大，當摩擦因數增加到0.40以上時，摩擦應力幾乎不再增大。這是因為當摩擦因數較小時變形區內發生的是滑動摩擦，摩擦應力隨摩擦因數呈線性增大；當摩擦因數較大時變形區內發生粘著摩擦，摩擦應力取材料剪應屈服極限(本例=103.5 MPa)。

摩擦因數：1—0.15；2—0.20；3—0.25；4—0.30；5—0.35；6—0.40；7—0.45；8—0.50。

圖4 摩擦因數對單位壓力和摩擦應力分布的影響

Fig. 4 Effect of friction coefficient on distribution of normal pressure and friction shear stress

圖5所示為軋制力與應力狀態系數p隨著摩擦因數的變化。從圖5可見：軋制力與應力狀態系數p開始都隨著摩擦因數的增大而增大，當摩擦因數增加到一定程度時，兩者的增加效果都不再明顯。這是因為軋制變形區內的摩擦發生變化，逐步由滑動摩擦過渡到粘著摩擦。本仿真實例中，當摩擦因數從0.15增加到0.50時，軋制力從12.7 MN增大到19.6 MN，變化非常顯著。因此，若能適當采取措施提高軋制區的潤滑效果，減小摩擦因數，則可以有效降低精軋帶鋼的軋制力。

1—軋制力；2—p。

圖5 摩擦因數對軋制力和應力狀態系數的影響

Fig. 5 Effect of friction coefficient on roll force and stress state coefficient

圖5中的應力狀態系數p由下式求出：

其中：為根據式(13)求得的單位寬度的軋制力；d為軋輥的壓扁弧長。

2.2 熱軋過程摩擦因數的軟測量

上述分析表明：熱軋過程摩擦因數對單位壓力分布、軋制力的影響顯著，有必要研究熱連軋過程摩擦因數的變化規律。由于熱軋過程摩擦因數的直接測量非常困難，尋找間接的軟測量方法變得很有意義。本文給出了在已知摩擦因數與流變應力的情況下求解軋制力的方法，即建立了如下函數映射關系：

因此，若已知軋制力與流變應力，則可以采用基于非導數優化的方法反求出對應的摩擦因數。布倫特(Brent)方法[15]是一種高效可靠的求解有約束單變量極值問題的方法，它巧妙結合了黃金分割搜索和拋物線插值兩者的優點：基于拋物線插值的思想，在優化迭代步長的選取方面，將拋物線插值與黃金分割法相結合，從而自適應限定移動步長并確定新的區間包含最優解。選擇Brent方法的優點在于：無需提供導數信息，可同時考慮輸入約束，具有很好的自適應性。

選取某熱連軋生產線連續4個軋制計劃的實際生產數據(鋼種為中低碳鋼，寬度為800~1 450 mm，厚度為2.0~6.0 mm；軋輥材質，前4機架為高速鋼輥，后3機架為高Gr鑄鐵軋輥)，將數值軋制力模型計算方法與Brent方法相結合，求得熱軋過程的摩擦因數的變化曲線如圖6所示。

由圖6可知：1) 在軋制過程中，各機架的摩擦因數均在變化，相對而言，F1~F5機架變化幅度較小，而F6~F7機架變化幅度較大；2) 在每個軋制計劃初期，由于軋制長度較少、軋輥輥面較光滑，故摩擦因數稍偏小；隨著軋制長度延長，摩擦因數有所增加但增加幅度不大，到達一定長度后，除F7機架外，其余機架幾乎保持恒定。

F7機架摩擦因數的變化可能與其壓下率較小、摩擦因數對軋制條件較敏感有關，具體原因需要深入 分析。

與實驗條件下對熱軋過程摩擦因數的測量不同，通過數值軋制力模型與Brent方法實現對熱軋生產過程摩擦因數的軟測量很有意義，它為熱軋摩擦因數在線模型的建立提供了數據基礎。收集對摩擦因數影響較大的因素如軋輥速度、軋制溫度、壓下率、軋制長度等參數，通過回歸方法即可得到熱軋摩擦因數的在線計算模型，這為數值軋制力模型在熱連軋機組中的在線應用提供了參考。

機架：1—F1；2—F2；3—F3；4—F4；5—F5；6—F6；7—F7。

圖6 熱連軋精軋過程中摩擦因數的演變

Fig. 6 Evotution of friction coefficient during finishing rolling process in hot strip mills

3 結論

1) 對板帶軋制過程，通過區分滑動摩擦與粘著摩擦，結合應力平衡關系、摩擦規律、幾何條件與塑性方程等條件，得到了滑動摩擦與粘著摩擦共存條件下的改進Karman微分方程，該方程可用于熱軋過程的分析計算。根據方程求得的接觸弧上的單位壓力與摩擦應力分布，給出了軋制力數值計算公式，提出了數值型軋制力模型的體系結構。

2) 給出改進Karman微分方程的數值解法，結合變形區入口與出口的邊界條件，采用五階龍格?庫塔法交替求解前滑區與后滑區的單位壓力分布，2個接觸弧角相交處(單位壓力相等)就是中性點；得到接觸弧上的單位壓力與摩擦應力分布后，通過對其進行數值積分計算軋件的軋制力，再根據Hitchcock公式更新軋輥壓扁半徑，經過多次迭代，當2次計算得到的軋制力偏差足夠小時，認為滿足收斂條件，得到最終的軋制力。

3) 熱連軋精軋過程軋制力隨摩擦因數的增大而增大；當摩擦因數增加到一定程度時，軋制力的增加效果不明顯。借助數值軋制力模型與Brent方法，實現了對熱連軋過程摩擦因數的軟測量，指出摩擦因數在1個軋制周期內的演變規律，為熱軋過程摩擦因數在線模型的建立與數值型軋制力模型在線應用提供了參考。

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(編輯 陳燦華)

Roll force model in consideration of slipping and sticking friction during strip rolling process

LI Weigang1, LU Lingyun1, LIU Chao1, LIU Xianghua2

(1. College of Information Science and Engineering, Wuhan University of Science and Technology,Wuhan 430081, China;2. Research Institute of Science and Technology, Northeastern University, Shenyang 110819, China)

An improved KARMAN equation for hot rolling process was deduced in consideration of slipping and sticking friction in the roll-bite, and the numerical formula of roll force calculation was given. Combined with boundary condition of inlet and outlet in the roll bite, the Runge?Kutta method was adopted to alternately solve the distribution of normal pressure in the forward and backward slip zones. The intersection of contact angle was just the neutral point. The roll force could be calculated by integrating the normal pressure and friction shear stress in the roll bite, and then the final roll force was obtained by repeated iteration calculation in the use of Hitchcock formula. Finally, the problem in the application of the numerical roll force model to hot strip mill was analyzed, and the influence of friction coefficient on the normal pressure distribution and roll force during hot rolling was shown. The soft measurement of friction coefficient during hot rolling process was carried out by Brent method, and evolution rule of friction coefficient in a rolling recycle was pointed out, which provides references for the establishment of online mathematical model of friction coefficient and the application of the proposed numerical roll force model in online process control of hot strip mill.

hot-rolled strip; roll force; differential equation; friction coefficient

10.11817/j.issn.1672-7207.2016.12.009

TG335.5

A

1672?7207(2016)12?4021?07

2015?12?25；

2016?02?06

湖北省教育廳科學技術研究計劃重點項目(D20161103)；武漢市青年科技晨光計劃項目(2016070204010099) (Project(D20161103) supported by the Ministry of Education Science and Technology Research Program of Hubei Province; Project (2016070204010099) supported by the Youth Science and Technology Program of Wuhan Minicipality)

李維剛，博士，教授，從事冶金工業過程控制與智能系統研究；E-mail：liweigang.luck@foxmail.com