新型憶阻器混沌電路及其在圖像加密中的應用

閔富紅王珠林王恩榮曹弋

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新型憶阻器混沌電路及其在圖像加密中的應用

閔富紅*王珠林 王恩榮 曹弋

(南京師范大學電氣與自動化工程學院 南京 210042)

憶阻器是一種擁有記憶功能的電阻，目前憶阻器的研究熱點及難點在于新模型的建立以及相關方面的應用。該文提出一種基于雙曲正弦函數的新型磁控憶阻器模型，通過分析電壓和電流的相軌跡關系，發現其具有典型的憶阻器電壓-電流特性曲線。利用新建的憶阻器模型構造新型憶阻混沌系統，通過數值仿真繪出新系統的相軌跡圖、分岔圖、Lyapunov 指數譜等，分析了不同參數時系統的混沌演化過程。另外，基于電路仿真軟件Multisim研制了實驗仿真電路, 該電路結構簡單、易于實際制作，且仿真實驗與理論分析結論十分吻合，證實了提出的憶阻混沌系統電路在物理上是可以實現的。最后，利用新系統混沌序列對圖像進行加密，重點分析了加密直方圖、相鄰像素相關性以及抗攻擊能力與密鑰敏感性，結果表明新系統對圖像密鑰及明文都非常敏感，密鑰空間較大，新提出的憶阻混沌系統應用于圖像加密具有較高的安全性能。

憶阻器；混沌電路；動力學行為；圖像加密

1 引言

憶阻器是一種具有記憶特性且不同于電容、電阻、電感的純粹非線性電路元件，自從被實現以來，便引起了社會廣泛而密切的關注。直到2008年，Hewlett-Packard(HP)實驗室小組成功地研制出了具有典型憶阻特征的憶阻器[1]，從正面給出了文獻[2]在1971年預測的第4種基本電路元件存在的證明，這種元器件就是憶阻器。此后，憶阻器憑借其獨特的電氣性能和記憶功能，在人工智能[3]、新型存儲器和現場可編輯門陣列[4]、人工神經網絡和新型類腦系統[5,6]、混沌電路設計[7,8]等方面扮演著越來越重要的角色，一次又一次的給人們帶來了驚喜。

近年來，普通混沌系統的理論設計、硬件實現得到了較為全面的發展，除了R?ssler系統、Chen系統、QI系統、超混沌Lü 系統等經典的混沌系統外，還有一些改進的具有更優越非線性特性的系統。然而，擁有比普通系統更高性能的憶阻器系統模型卻很少，因此擴增新型憶阻器模型很有必要。目前，憶阻器主要分為磁控憶阻器和荷控憶阻器兩大類，其憶阻或憶導僅與電路的磁通或電荷有關[13]，但是憶阻器的模型種類卻一直沒有得到應有的關注；一般來說，憶阻器的模型主要分為兩個研究方向：一種是采用三次光滑非線性模型。文獻[14]于2010年提出了三次光滑非線性磁控憶阻器，并利用4個基本電路元件電阻、電容、電感和憶阻器成功實現了一種簡單的變形蔡氏混沌電路；文獻[15]利用這種光滑模型憶阻器和負電導取代蔡氏二極管，形成了新的憶阻振蕩器，發現在光滑憶阻振蕩器的動力學行為依賴于參數和初始條件的改變；作為第4種基本電路元件，同其它基本無源二端口器件一樣，憶阻器同樣也存在其特有的串并聯以及對偶特性[16,17]；文獻[18]以包含兩個磁控憶阻器電路為研究對象，分析了憶阻混沌電路動力學建模時存在的降維問題，發現降維建模降低了系統建模復雜度, 因此更加有利于系統的動力學特性分析。另一種研究方向是采用分段線性模型[7,19]，文獻[19]中提出了一種由一個磁控憶阻器組成的具有單分岔參數的新型無感非線性振蕩電路。

由于憶阻器實際物理模型難以實現，所以現階段的研究重點在對憶阻器的理論模型分析上，對憶阻器應用方面研究的報道目前依舊很少。為進一步拓寬憶阻器混沌電路的研究與應用，本文首先提出了一種基于雙曲正弦函數的新型磁控憶阻器模型，分析流經其兩端的電壓和電流相軌跡關系，發現了其擁有典型的憶阻特性。利用新建憶阻器模型構建新型憶阻混沌系統，繪出了新系統的相軌跡圖、分岔圖、Lyapunov 指數譜等；另外，設計了新型憶阻混沌系統的實驗電路，其結構簡單，且仿真實驗與理論分析吻合；最后，利用新憶阻系統混沌序列對圖像進行加密，結果表明，新系統對圖像密鑰及明文都非常敏感，證明了本文提出的憶阻混沌系統應用于圖像加密具有較高安全性能。

2 新型憶阻器模型

由傳統的電路理論可知基本的二端電路元件電阻()、電容()、電感()建立了4個電路變量電壓()、電流()、磁通量()和電量()間的對應關系，但是,間的關系卻不為人知。直到1971年，文獻[2]從電路變量關系的完整性角度考慮，給出了憶阻的定義，用增量憶阻()來描述,之間的關系：

具有式(1)所定義關系的電路元件被稱為憶阻器。由已有的經典電路理論知識我們知道，關系如下：

這里設計的憶阻器為磁控憶阻器模型是一個簡單的雙曲正弦非線性特性曲線，即

圖1 磁通與電荷和憶導的曲線關系

設憶阻器兩端電壓為，流過其兩端的電流為，現在將其兩端施加一個正弦電壓sin()作為激勵，于是有

由式(5)通過MATLAB 仿真軟件可繪出如圖2所示的電壓與電流關系。圖2(a)所示的為電壓和電流的相位圖，圖2(b)所示的為電壓和電流的時序波形圖。由圖2(a)可發現新建的模型所描述的電壓和電流關系為一條具有一個斜“8”字形的類緊磁滯回線的形狀[1]，所以新的磁控模型具有憶阻器典型的電壓-電流關系特性，表明了本文提出的憶阻器模型較為接近實際器件。

圖2 電壓與電流關系

3 含有憶阻器的混沌系統分析

本文所涉及的新型磁控憶阻器模型的混沌系統是在對經典QI混沌系統[11]模型進行深入研究的基礎上提出的，新系統的數學模型具體描述為

圖3 新系統的混沌吸引子

當系統參數發生改變時，系統的Lyapunov指數以及運動狀態也會隨之發生相應的變化。為了可以直觀的了解系統的非線性特性，下面將詳細分析系統的動力學特性。

3.1動力學特性分析

(1)耗散性：由于

當=10,=1.5時，，所以式(6)系統是耗散的，并且會按照式(8)的指數方程收斂：

可見，體積元0在時刻時收縮為體積元。當時間時，包含系統軌道的每個體積元都會以指數率進行收縮，最終縮到零點，意味著本文提出的憶阻混沌電路可以形成混沌吸引子。

(2)系統參數的影響：當系統的某一個參數發生改變后，系統平衡點的穩定性也將隨之發生相應的變化，當然，系統的運動狀態也會隨之變換。下面我們將借助常規的動力學分析工具，分岔圖和Lyapunov指數譜(LE譜)對系統參數進行分析，簡單、直觀地研究系統在參數改變時，其運動狀態的變化情況。

固定系統參數=10,=8,=15,=5.2,=5 ，改變參數。設定初始值為[0.001, 0.001, 0.001, 0]，當參數變化時，系統關于的分岔以及LE譜如圖4所示，其中數值仿真步長取為0.005。圖4(a)是狀態變量隨參數變化的分岔圖，圖4(b)是系統在參數連續變化時的LE譜。從圖4中可以看出，當和以及時，系統處于周期運動，此時的最大Lyapunov指數小于零；當時，系統處于多倍周期運動狀態；在,以及時系統的最大LE大于零，此時系統處于混沌運動。

圖4系統隨參數變化的分岔圖與 LE 譜圖

系統的部分周期相平面圖如圖5所示，在=7.5時，系統處于周期1運動；當=6.6時，系統處于周期2運動；當4.15時，系統處于多倍周期運動下。因此，系統的部分相軌跡圖和分岔圖以及LE譜圖相互印證，說明了本文的分析是正確的。圖5(a)、5(b)、5(c)為的相平面周期圖。

圖5系統周期運動相位圖

4 電路設計與仿真實驗

混沌電路的模塊化設計主要根據系統的無量綱狀態方程，用模塊化理念進行混沌電路的設計。本文所涉及的混沌電路Multisim整體仿真電路如圖6所示，其中虛線框內電路為磁控憶阻器電路。

圖 6 整體仿真電路圖

由圖6可見整體電路由4個通道電路組成。由圖6中的虛線框可知反向積分器U7的輸出端為信號，經過反向器U8進行系數調整后連接了反向電壓-電流轉換器電路U9，轉換關系為

圖7電路仿真結果

5 在圖像加密中的應用

憶阻混沌電路具有更強的非周期性以及長期的不可預測性，注定了它具有比一般混沌電路擁有更廣闊的應用前景。由于對憶阻器認識的局限性，在以往的報道中提到的大多是將普通的混沌系統用于圖像加密領域[20]，但是將憶阻混沌電路用到圖像加密中的研究卻極少，然而這方面的應用很有必要，因為憶阻混沌電路具有更強的類似噪聲及對初值的極度敏感性，也擁有更強的抗破譯功能。

5.1圖像像素位置置亂方法分析

本文利用一種基于像素置換和像素位置置亂相結合的方法，可使得加密圖像具有較強的抵御統計攻擊能力，以及具有對密鑰和明文及其敏感的特性。設,為待加密的圖像的像素行、列數，為圖像灰度深度。當系統的初始值為[0,0,0,0]時對系統進行迭代，結果會產生4組混沌序列[(),(),(),()]，任取其中的一組并從中隨機選取一段長度為的子序列0，依次取出序列0的前3位小數組成整數數列1，再對灰度深度進行取模，并將最終結果轉化成二進制，同時也把欲加密圖像的像素值轉化成二進制序列；對二進制序列1和進行異或運算獲得新序列1，把1還原成十進制便完成了像素值的預加密處理。再次任取序列的一組，隨機截取長度為的子序列0，將序列0擴大1000倍并進行取模運算得到序列1；新建一個自然數列，將序列的第個元素與1的第個元素交換，再將交換后的向后移動i位，依次鏈接形成置亂矩陣序列作為地址映射表，將1的元素地址重排，得到最終加密序列2。

5.2直方圖與相鄰像素相關性分析

(1)直方圖分析：圖像的直方圖是圖像的重要統計特征，本文以大小為256×256的圖像做加密圖像，如圖8(a)所示。

圖8原圖及加密后圖像

設置新型磁控憶阻混沌系統的初始值為[0.02,0.01,0.03,0.04]，對圖像進行加密仿真，加密后的圖像如圖8(b)所示。圖9給出了圖像加密前后的直方圖，從圖8、圖9可見加密后的圖像已經失去了原圖的特征，直方圖也不在展現原圖的像素統計特征，由圖9(b)可知加密后的直方圖像素值分布較均勻，因此新系統具有較強的抵御統計攻擊的能力。

圖9 像素直方圖

(2)相鄰像素相關性分析：相鄰像素的相關性是評價圖像加密效果的重要指標，所以下面將通過對比加密前后圖像相鄰像素的分布圖研究憶阻混沌系統的加密效果。利用Matlab軟件，仿真得到加密前后水平方向的相鄰像素關系如圖10所示。從圖10中可以看出，原圖相鄰像素之間相關性較大，加密后的像素分布特別均勻和分散，加密效果非常明顯。

圖10 水平方向相鄰像素相關性對比

表1給出了加密前后圖像各方向的相關系數，從表中可以看出加密前圖像在水平、垂直、對角3個方向上的像素相關系數都很接近1，加密后的各系數相關性很小，接近于0，可以說加密后的圖像失去了原圖的特征，加密效果明顯。

表1原始圖像與加密后圖像的相關系數

5.3 抗攻擊能力與密鑰敏感性分析

本文將對加密圖像進行剪切攻擊，假設經過憶阻混沌系統加密后的圖像在其中間區域被剪掉了90×90大小的面積，如圖11(a)所示。觀察解密效果，從圖11(b)的解密圖像看，雖然加密圖被剪掉了一部分，但是經解密的還原圖像仍可以清晰還原出原始圖像，可見圖像在遭受攻擊時仍具有很好的解密效果。

圖11 剪切與解密還原對比

密鑰敏感性是密碼學的基本特性之一，一個好的密碼算法應當對密鑰極其敏感。為了測算密鑰的敏感性，將憶阻混沌系統的初值作為密鑰，正確的密鑰為0=0.02,0=0.01,0=0.03,0=0.04，假設錯誤的密鑰為0=0.02+0.00001，保持其它3個值不變，圖12分別給出了原始圖像和錯誤密鑰的解密圖像，可以看出即使密鑰僅有0.00001的差別，解密圖像與原始圖像也根本不同，無法獲取正確的解密圖像。通過以上對加密直方圖、相鄰像素相關性以及抗攻擊能力與密鑰敏感性的分析，可以發現具有憶阻器的混沌系統在圖像加密上具有更加優越的性能。

圖12 密鑰敏感性測試

6 結論

本文提出了一種基于雙曲正弦函數的新型磁控憶阻器模型，通過對其電壓和電流相軌跡關系的研究，發現具有典型的憶阻特征。在新建憶阻器模型的基礎上構建了新型憶阻混沌系統，并通過數值仿真，繪出了新憶阻混沌系統的分岔圖、Lyapunov 指數譜和相軌跡圖，給出了系統參數連續變化時的混沌演化過程。另外，利用Multisim軟件對新系統進行仿真實驗，證實了本文提出的憶阻混沌系統電路在物理上是可以實現的。最后，基于新系統的混沌序列對圖像進行加密應用，重點分析了加密直方圖、相鄰像素相關性以及抗攻擊能力與密鑰敏感性，結果表明新系統密鑰空間大，并且對圖像密鑰及明文都非常敏感，說明了本文提出的憶阻混沌系統應用于圖像加密具有較高的安全性能，可廣泛應用于保密通信等領域。

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New Memristor Chaotic Circuit and Its Application to Image Encryption

MIN Fuhong WANG Zhulin WANG Enrong CAO Yi

(,,210042,)

Memristor is a kind of resistance and in possession of the function of memory. The research hotspots and difficulties at present memristor lie in the application of the new model and related areas. A novel magnetron memristor model based on hyperbolic sine function is designed and found that its characteristic is consistent with the typical memristor from the trajectory of voltage and current phase. A new memristor chaotic systemshe using the new memristor model is also presented, and then the phase trajectories, the bifurcation diagram and Lyapunov exponent spectrum of the new system are plotted through numerical simulations. In addition, based on Multisim circuit simulation software for the new system simulation, both experimental and simulation results validate the proposed equivalent circuit realization. Finally, the chaotic sequences generated by the new system are used for scrambling the pixel position to protect image information security. The correlation and statistic histogram entropy of adjacent pixels, anti-attack capability and key sensitivity of the encrypted image are analyzed, which indicate that the new memristive chaotic system has much better potential advantages than other existing chaotic system in image encryption application with high safety performance.

Memristor; Chaotic circuit; Dynamical behavior; Image encryption

TP271

A

1009-5896(2016)10-2681-08

10.11999/JEIT160178

2016-03-01；改回日期：2016-04-22；網絡出版：2016-06-12

閔富紅 minfuhong@njnu.edu.cn

國家自然科學基金(51475246)，江蘇省自然科學基金(BK20131402)

The National Natural Science Foundation of China (51475246), The Natural Science Foundation of Jiangsu Province (BK20131402)

閔富紅： 女，1970 年生，副教授，碩士生導師，研究方向為非線性系統的混沌控制與同步.

王珠林： 男，1990年生，碩士生，研究方向為非線性系統的混沌控制與同步.

王恩榮： 男，1962 年生，教授，博士生導師，研究方向為智能車輛懸架控制、磁流變阻尼器減振應用、工業系統智能控制.

曹 弋： 女，1971 年生，副教授，研究方向為計算機應用,電氣控制.