一階歐拉型型無界時(shí)滯中立型微分方程解的振動(dòng)準(zhǔn)則

王媛，申建華

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一階歐拉型型無界時(shí)滯中立型微分方程解的振動(dòng)準(zhǔn)則

王媛1，申建華2

（1. 中南林業(yè)科技大學(xué)理學(xué)院，湖南長(zhǎng)沙 410004； 2. 杭州師范大學(xué)理學(xué)院，浙江杭州 310036）

研究了歐拉型無界時(shí)滯中立型微分方程解的振動(dòng)性，現(xiàn)有文獻(xiàn)只對(duì)c=0, n=1時(shí)的情況進(jìn)行了討論，應(yīng)用時(shí)會(huì)有局限。為了拓寬此方程的應(yīng)用范圍，將條件拓寬至n的一般情形，通過建立其相應(yīng)的“特征方程”，得到了所有解振動(dòng)的充分必要條件，并由此出發(fā)，建立了一些顯式充分條件，所得結(jié)果改進(jìn)和推廣了原有文獻(xiàn)的結(jié)論。

振動(dòng)性；中立型微分方程；無界時(shí)滯；歐拉型

1 研究意義

數(shù)學(xué)中所研究的函數(shù)是反映客觀現(xiàn)實(shí)世界運(yùn)動(dòng)過程中量與量之間的一種關(guān)系。在大量的實(shí)際問題中會(huì)遇到一些復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)過程，這導(dǎo)致無法直接寫出反映運(yùn)動(dòng)規(guī)律的量與量之間的關(guān)系，但建立起這些變量和它們的導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系卻比較容易。這一事實(shí)正是現(xiàn)代應(yīng)用數(shù)學(xué)研究人員和工程人員應(yīng)用微分方程解決實(shí)際問題的理論依據(jù)。微分方程在物理學(xué)、力學(xué)、控制、經(jīng)濟(jì)學(xué)和管理科學(xué)等實(shí)際問題中具有廣泛的應(yīng)用。近年來，隨著機(jī)器人的快速發(fā)展，微分方程在人工智能和數(shù)據(jù)挖掘，尤其是深度學(xué)習(xí)等領(lǐng)域具有越來越重要的作用，因此研究微分方程的解具有理論和實(shí)際的雙重意義。

關(guān)于常系數(shù)和常時(shí)滯的中立型微分方程

[, (1.1)

解的振動(dòng)性的研究已取得了相當(dāng)豐富的結(jié)果[1-6], 這里，特別地，Kulenovic, Ladas等[3]根據(jù)其特征方程，證明了下述定理。

定理A 方程（1.1）的所有解振動(dòng)當(dāng)且僅當(dāng)

. (1.2)

近年來，已有一些文獻(xiàn)[7-9]研究了下列具有變系數(shù)和變時(shí)滯的中立型微分方程

安冉[10]研究了下列歐拉型無界時(shí)滯微分方程

定理B方程（1.4）的每一個(gè)解振動(dòng)當(dāng)且僅當(dāng)

在文[10]中，作者也給出了方程（1.4）解振動(dòng)的一些顯示充分條件。

本文中，究竟下列具有歐拉形式的無界時(shí)滯中立型微分方程

為了推導(dǎo)出微分方程（1.6）解的振動(dòng)準(zhǔn)則，先給出其解以及解為振動(dòng)的定義。

2 引理

引理2.1[11]設(shè)是區(qū)間上連續(xù)可導(dǎo)的正值函數(shù)，如果存在常數(shù)和使得對(duì)于充分大的成立，.

（2.2）

由（2.1），可得

（3）由（2）可知，

因此，引理證畢。

3 主要結(jié)論

在這一節(jié)，將應(yīng)用前面的引理去建立方程（1.6）的所有解振動(dòng)的一個(gè)充分必要條件，并由此出發(fā)，建立方程（1.6）的所有解振動(dòng)的一此顯示充分條件。

. （3.1）

必要性：反設(shè)方程（1.6）不是所有的解都振動(dòng)，那么方程（1.6）至少存在一個(gè)非振動(dòng)解。不妨假設(shè)是方程的一個(gè)最終正解，最終負(fù)解時(shí)的證明相似，故略. 令

由引理2.3，則最終有

再令

（3.3）

， （3.5）

和

定義集合

.

由（3.4）和（3.6）可得

或者

此表明

由引理2.1和引理2.2，有

注3.2 在文[10]中，作者研究了非中立型方程（1.4）解的振動(dòng)性，得到該方程的所有解振動(dòng)的充分必要條件（1.5）。因此，上述定理3.1將[10]中的結(jié)論推廣到了中立型微分方程（1.6）.

定理3.3設(shè)

， （3.8）

那么方程（1.6）的所有解都振動(dòng)。

證明：（3.1）等價(jià)于

根據(jù)定理3.1 ,只須證明當(dāng)（3.8）成立時(shí)，有（3.9）成立即可. 令

那么方程（1.6）的所有解都振動(dòng)。因此，條件（3.8）改進(jìn)了（3.10）。

那么方程（1.6）的所有解都振動(dòng)。

因此

因此有（3.9）成立，利用定理3.1得方程（1.6）的所有解都振動(dòng). 定理證畢。

4 例子

下面舉例說明定理的應(yīng)用。考慮一階中立型時(shí)滯微分方程：

考慮一階中立型時(shí)滯微分方程

通過計(jì)算，發(fā)現(xiàn)定理3.5的所有條件是滿足的。因此方程（4.2）的所有解都振動(dòng)。

[1] Erbe,L.H., Q.K. Kong and B.G. Zhang. Oscillation Theory of Functional Differential Equations [M].Oxford: Clarendon Press, 1991.

[2] GyI. and G. Ladas. Oscillation Theory of Delay Differential Equations with Applications [M].Oxford: Clarendon Press, 1991.

[3] Kulenovic, M.R.S., G. Ladas and A. Meimaridou. Necessary and sufficient condition for oscillation of neutraldifferential equation [J]. J. Austral. Math. Soc. Ser. B, 28(1987):362-375.

[4] Zhang, B.G. Oscillation of first order neutral functional differential equatons [J]. J. Math. Anal. Appl., 139 (1989):311-318.

[5] Jiang, Z.W. Oscillation of first order neutral differential equations [J]. J. Math. Anal.Appl., 196 (1995) :800-813.

[7] Das, P. Oscillation criteria for odd order neutral equations [J]. J. Math. Anal. Appl.,188(1994) :245-257.

[8] Wang, Q.R.Oscillation criteria for first-order neutral differential equations [J]. Appl. Math. Lett.,15 (2002):1025-1033.

[9] Berezansky, L. and E. Braverman. Oscillation criteria for a linear neutral differential equations [J].J. Math. Anal. Appl., 286}(2003) :601-617.

[10] Dahiya, R.S. and T. Candan. Oscillation behavior of arbitrary order neutral differential equations [J]. Appl. Math. Lett., 17 (2004):953-958.

[11] An Ran. Oscillation criteria of solutions for delay differential equations [J].Mathematics in Practice and Theory, 30(3) (2000):310-314.

[12] Guan, K.Z. and J.H. Shen. Oscillation of first order neutral differential equations of Euler form [J]. Analysis, 27(2007):61-7

Oscillation of First-order Neutral Differential Equation of EulerType with Unbounded Delays

WANG Yuan1, SHEN Jianhua2

(1. Institute of Mathematics and Physics, Central South University of Forestry and Technology, Changsha 410004, Hunan, China; 2. Institute of Mathematics and Physics, Hangzhou Normal University, Hangzhou310036, Zhejiang, China)

We have researched the oscillation of solution of first order neutral differential equation of Euler type, which is with unbounded delays in this paper. The existing references have only discussed the equation when c=0 and n=1, but in practice, a lot of problems don't meet this condition. To break the limitation, we extent the equation to n. At first, we introduce its characteristic equation and establish a sufficient and necessary condition for the oscillation of all solutions of the equation. Then some explicit oscillation results are presented. This result is an extension of the existing works, which is significant in both theory and practice.

oscillation; neutral equation; unbounded delay; Euler type.

1672-9129(2016)01-00016-06

O175

A

2016-05-06；

2016-05-24。

國(guó)家自然科學(xué)基金青年項(xiàng)目NO. 11201490。

王媛（1968-- ），女，湖南永州人，副教授，碩士研究生，研究方向：常微分方程；申建華（1961-- ），男，教授，博士研究生，研究方向：常微分方程。